北师大版数学八年级上册1.1探索勾股定理（2）教学设计
课题
1.1探索勾股定理（2）
单元
第一单元
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识与技能：1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.
2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
过程与方法：通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.
情感态度与价值观：培养学生大胆探索,不怕失败的精神.
重点
经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.
难点
用拼图法验证勾股定理.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：【思考】什么是勾股定理？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
【思考】我们是怎样探索勾股定理的？
在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理。
那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!
学生回答问题；教师订正答案。
通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.
讲授新课
师：分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.
想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?
请同学们将上面两图的所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.
图一：所有三角形的面积都是ab
正方形的面积分别是b2，a2，（a+b）2
图二：所有三角形的面积都是ab
正方形的面积分别是b2，a2，（a-b）2
下图中正方形ABCD的面积分别是多少?
你能利用下图验证勾股定理吗?
【总结归纳】
割补法是几何证明中常用的方法，要注意这种方法的运用.
【例】我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
【思考】
(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?
(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?
【解析】根据题意,可以画出下图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.
解:由勾股定理,可以得到AB2=AC2+BC2,
也就是5002=BC2+4002,
所以BC=300.
敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.
【拓展提高】
利用面积相等来验证勾股定理，关键是利用不同的方法表示图形的面积，一要注意部分面积和等于整体面积的思想，二要注意拼接时要做到不重不漏.
【思考】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
生：用割补法进行验证.
生：在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形
把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.
学生思考回答问题。
生：1中正方形ABCD的面积是（a+b）2
又可以表示为：c2+2ab
2中正方形ABCD的面积是（a+b）2
又可以表示为：c2-2ab
生：图中正方形ABCD的面积是（a+b）2
又可以表示为：c2+2ab
∴a2+b2=c2
图中正方形ABCD的面积是（a-b）2
又可以表示为：c2-2ab
∴a2+b2=c2
生：左图：
a2=22+22=8，
b2=32=9，
c2=52+22=29
故a2+b2≠c2
右图：
a2=12+22=5，
b2=22+22=8，
c2=32=9
故a2+b2≠c2
设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.
学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.
（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.
学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.
通过这个结论，学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识，并为后续直角三角形的判别打下基础。
课堂练习
1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是 ( D )
2.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是 ( A )
A.1 B.2
C.12 D.13
3.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是 ( A )
A.c2=a2+b2
B.c2=a2+2ab+b2
C.c2=a2-2ab+b2
D.c2=(a+b)2
4.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为 ( D )
A.35 B.43 C.89 D.97
5.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.
(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)
(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)
(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.
解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,即c2=4×ab+(a-b)2=a2+b2.
(2)如图所示.
(3)∵2ab=(a+b)2(a2+b2)=196100=96,∴ab=48,
∴S=24
6.（2018?泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ D ）
A．9 B．6 C．4 D．3
7.（2018?郑州）如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它验证勾股定理．
解：S小正方形=（b﹣a）2=b2﹣2ab+a2，
另一方面S小正方形=c2﹣4×ab=c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab，∴a2+b2=c2．
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
通过这节课的学习，你有什么样的收获？
在Rt△ABC中， ∠C=90°,
a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
1.勾股定理的验证方法
（1）测量法
（2）数格子法
（3）面积法
2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题.
课件31张PPT。1.1探索勾股定理（2）北师版 八年级上新知导入【思考】什么是勾股定理？直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.新知导入在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理。【思考】我们是怎样探索勾股定理的？那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!新知讲解分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流. 用割补法进行验证.新知讲解想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形新知讲解想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.新知讲解请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.所有三角形的面积都是 ab正方形的面积分别是b2，a2，（a+b）2新知讲解请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.所有三角形的面积都是 ab正方形的面积分别是b2，a2，（a-b）2新知讲解下图中正方形ABCD的面积分别是多少?图1中正方形ABCD的面积是（a+b）2
又可以表示为：c2+2ab图2中正方形ABCD的面积是（a-b）2
又可以表示为：c2-2ab新知讲解你能利用下图验证勾股定理吗?图中正方形ABCD的面积是（a+b）2
又可以表示为：c2+2ab
∴a2+b2=c2新知讲解你能利用下图验证勾股定理吗?图中正方形ABCD的面积是（a-b）2
又可以表示为：c2-2ab
∴a2+b2=c2新知讲解割补法是几何证明中常用的方法，要注意这种方法的运用.【总结归纳】新知讲解【例】我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?【思考】
(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?
(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?新知讲解【解析】根据题意,可以画出下图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.新知讲解解:由勾股定理,可以得到AB2=AC2+BC2,
也就是5002=BC2+4002,
所以BC=300.
敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.新知讲解【拓展提高】
利用面积相等来验证勾股定理，关键是利用不同的方法表示图形的面积，一要注意部分面积和等于整体面积的思想，二要注意拼接时要做到不重不漏.新知讲解【思考】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.左图：
a2=22+22=8，
b2=32=9，
c2=52+22=29
故a2+b2≠c2新知讲解【思考】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.右图：
a2=12+22=5，
b2=22+22=8，
c2=32=9
故a2+b2≠c2课堂练习1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是 ( )D课堂练习2.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是 ( ) A.1 B.2
C.12 D.13A课堂练习3.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是 ( ) A.c2=a2+b2 B.c2=a2+2ab+b2
C.c2=a2-2ab+b2
D.c2=(a+b)2A课堂练习4.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为 ( )
A.35 B.43 C.89 D.97D拓展提高5.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)
(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)
(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.拓展提高(2)如图所示.
(3)∵2ab=(a+b)2(a2+b2)=196100=96,∴ab=48,
∴S=中考链接6.（2018?泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A．9 B．6 C．4 D．3D中考链接7.（2018?郑州）如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它验证勾股定理．解：S小正方形=（b﹣a）2=b2﹣2ab+a2，
另一方面S小正方形=c2﹣4×ab=c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab，∴a2+b2=c2．课堂总结勾股定理内容在Rt△ABC中， ∠C=90°,
a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪个角是直角已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论板书设计1.勾股定理的验证方法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题.（1）测量法
（2）数格子法
（3）面积法作业布置课本 P6 习题1.2谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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