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第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
1．锐角的三角函数
第1课时 正切
1．[2018秋·金牛区期末]在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AC＝3，BC＝2，则tan A的值是( )
A. B．
C． D．
2．如图23－1－6是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平长度为12 m，斜面坡度i为1∶2，则斜坡AB的长为( )
A．4 m B．6 m
C．12 m D．24 m
图23－1－6
3．[2017·广州]如图23－1－7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan A＝，则AB＝________.
图23－1－7
4．[2019·闵行区一模]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tan A＝，那么BC＝________.
5．如图23－1－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)若AC＝3，AB＝5，求tan ∠BCD的值；
(2)若BD＝1，AD＝3，求tan ∠BCD的值．
图23－1－8
6．[2017·滨州]如图23－1－9，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan ∠DAC的值为( )
图23－1－9
A．2＋ B．2
C．3＋ D．3
7．如图23－1－10，在锐角△ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值．
图23－1－10
8．如图23－1－11，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上的点F处，求tan ∠AFE的值．
图23－1－11
参考答案
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
1.锐角的三角函数
第1课时 正切
【分层作业】
1.B 2.B
3.17 4.2
5.(1)
(2)
6.A
7.
8.
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第2课时 正弦与余弦
1．如图23－1－14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是( )
图23－1－14
A．sin A＝ B．cos A＝
C．tan A＝ D．tan B＝
2．[2019·静安区一模]在Rt△ABC中，∠C＝90°.如果∠A＝α，AB＝3，那么AC＝( )
A．3sin α B．3cos α
C． D．
3．[2017·天水]在正方形网格中，△ABC的位置如图23－1－15所示，则cos B的值为( )
A. B．
C． D．
图23－1－15
4．[2018秋·禅城区期末]如图23－1－16，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cos A的值的个数是( )
图23－1－16
①；②；③；④.
A．1 B．2
C．3 D．4
5．如图23－1－17，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB于点D，求sin∠BCD的值．
图23－1－17
6．[2018秋·定安县期末]如图23－1－18，P是∠α的边OA上的一点，且点P的横坐标为4，sin α＝，则tan α＝( )
图23－1－18
A. B．
C. D．
7．如图23－1－19，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sin A＝.求△ABC的面积和tan B的值．
图23－1－19
8．如图23－1－20，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若AB＝12，CD＝6，tan A＝，求sin B＋cos B的值．
图23－1－20
9．如图23－1－21，在Rt△ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切，记作cot α，即cot α＝＝.根据上述角的余切定义，解答下列问题：
图23－1－21
(1)cot 30°＝________；
(2)如图23－1－23，已知tan A＝，其中∠A为锐角，试求cot A的值．
参考答案
第2课时 正弦与余弦
【分层作业】
1.A 2.B 3.B 4.C
5. 6.B
7.S△ABC＝4，tan B＝
8.
9.(1) (2)
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2.30°，45°，60°角的三角函数值
第1课时 30°，45°，60°角的三角函数值
1.[2018·大庆]2cos 60°＝( )
A.1 B．
C． D．
2.计算2cos 30°－tan 45°－的结果为( )
A.2－2 B．0
C．2 D．2
3.计算：sin 30°cos 30°－tan 30°＝________(结果保留根号)．
4.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A＝，cos B＝，则∠C＝________.
5.[2017·烟台]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin ＝________.
6.计算：
(1)＋2sin 60°tan 60°－＋tan 45°；
(2)[2019·静安区一模]；
(3)[2017·邵阳]4sin 60°－－1－；
(4)[2017·张家界]－1＋2cos 30°－＋(－1)2 017.
7．[2018·广州校级二模]在Rt△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则sin B＝( )
A. B．
C． D．1
8．先化简，再求值：÷，其中x＝2＋tan 60°，y＝4sin 30°.
9．已知α是锐角，且sin (α＋15°)＝，计算－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋－1的值．
参考答案
2.30°，45°，60°角的三角函数值
第1课时 30°，45°，60°角的三角函数值
【分层作业】
1.A 2.B
3.－ 4.60° 5.
6.(1)5－ (2)3－2 (3)－2 (4)2
7.C
8.，
9.3
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第2课时 互余两角正余弦的关系
1．[2018·济宁模拟]如果α是锐角，且sin α＝，那么cos (90°－α)的值为( )
A. B．
C． D．
2．下列等式中成立的有( )
①sin 30°＋sin 30°＝sin 60°；②若cos A＝sin B，则∠A＝∠B；③若sin A＝cos 30°，则锐角∠A为60°；④sin 60°＋sin 30°＝2(sin 30°＋cos 30°)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
3．若cos (36°－∠A)＝，则sin (54°＋∠A)的值是( )
A. B．
C． D．
4．在△ABC中，若sin A＝sin B＝，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
5．[2019·金山区一模]已知α是锐角，sin α＝，那么cos α＝________.
6．计算：
(1)cos 45°tan 45°＋tan 30°－2cos 60°sin 45°；
(2)cos 30°＋sin 245°cos 60°－－tan 45°.
7．[2018·平邑县三模]同角三角函数的基本关系为：sin 2α＋cos 2α＝1，＝tan α.利用同角三角函数的基本关系求解：已知tan α＝2，则＝________.
8．在△ABC中，已知∠A与∠B满足(1－tan A)2＋＝0.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求(1＋sin A)2－2－(3＋tan C)0的值．
9．阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
①sin 30°＝，cos 30°＝，则sin 230°＋cos 230°＝________；
②sin 45°＝，cos 45°＝，则sin 245°＋cos 245°＝________；
③sin 60°＝，cos 60°＝，则sin 260°＋cos 260°＝________；
……
观察上述等式，猜想：对任意锐角∠A，都有sin 2A＋cos 2A＝________.
(1)如图23－1－24，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
(2)已知∠A为锐角(cos A>0)，且sin A＝，求cos A的值．
图23－1－24
参考答案
第2课时 互余两角正余弦的关系
【分层作业】
1.B 2.B 3.B 4.A
5. 6.(1)1 (2)－
7.
8.(1)△ABC是锐角三角形
(2)
9.1 1 1 1
(1)证明略 (2)
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3.一般锐角的三角函数值
1．如图23－1－26，已知45°<∠A<90°，则下列各式成立的是( )
A．sin A＝cos A B．sin A>cos A
C．sin A>tan A D．sin A图23－1－26
2．[2017·威海]为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的坡道(如图23－1－27)．我们可以借助科学计算器求这条坡道倾斜角的度数，具体按键顺序是( )
图23－1－27
A.
B.
C.
D.
3．用计算器计算．
(1)×tan 63°27′≈______________(精确到0.01)．
(2)13××sin 14°≈______________(精确到0.1)．
4．[2017·宁波]如图23－1－28，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500 m，则这名滑雪运动员的高度下降了________m(精确到1 m)．
图23－1－28
5．[2018·枣庄]如图23－1－29，某商场营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12 m，则大厅两层之间的高度为________m(结果保留两个有效数字，参考数据：sin 31°≈0.515，cos 31°≈0.857，tan 31°≈0.601)．
图23－1－29
6．[2017·台州]如图23－1－30是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8 m．已知小汽车车门宽AO为1.2 m，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．
图23－1－30
7．[2017·福建]小明在某次作业中得到如下结果：
sin2 7°＋sin2 83°≈0.122＋0.992＝0.994 5；
sin2 22°＋sin2 68°≈0.372＋0.932＝1.001 8；
sin2 29°＋sin2 61°≈0.482＋0.872＝0.987 3；
sin2 37°＋sin2 53°≈0.602＋0.802＝1.000 0；
sin2 45°＋sin2 45°＝2＋2＝1.
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2 α＋sin2(90°－α)＝1.
(1)当α＝30°时，验证sin2 α＋sin2(90°－α)＝1是否成立．
(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
参考答案
3.一般锐角的三角函数值
【分层作业】
1.B 2.A
3.(1)5.29 (2)11.3
4.280 5.6.2
6.车门不会碰到墙，理由略．
7.(1)成立
(2)小明的猜想成立，证明略．
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23.2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
1．如图23－2－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A. B．4
C．8 D．4
图23－2－3
2．[2019·禹州市一模]如图23－2－4，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan C＝，∠BAC＝105°，AC＝2，那么BC的长度为________．
图23－2－4
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠A＝________，sin A＝________.
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知∠A＝60°，b＝4，求a；
(2)已知c＝28，∠B＝30°，求a；
(3)已知a＝2，cos B＝，求b.
5．[2018·眉山]如图23－2－5，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan ∠AOD＝________.
图23－2－5
6．[2018·上海]如图23－2－6，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan ∠ABC＝.
(1)求边AC的长；
(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
图23－2－6
7．如图23－2－7，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.
(1)求BC的长；
(2)求sin ∠ADC的值．
图23－2－7
参考答案
23.2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
【分层作业】
1.D 2.1＋ 3.30°
4.(1)4
(2)14
(3)4
5.2
6.(1)AC＝ (2)
7.(1)4
(2)
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第2课时 用解直角三角形解决仰角、俯角问题
1．如图23－2－13，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为 45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m，则旗杆AB的高度是________m(结果保留根号)．
图23－2－13
2．[2017·菏泽]如图23－2－14，某小区的1号楼和11号楼隔河相望，李明家住在1号楼，他很想知道11号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42 m高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮李明计算11号楼的高度．
图23－2－14
3．[2017·潍坊]如图23－2－15，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5 m，上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5 m，在A处测得五楼顶部D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部E的仰角为30°，AB＝14 m．求这栋居民楼的高度(精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)．
图23－2－15
4．[2017·株洲]如图23－2－16，在一架水平飞行的无人机AB的尾端点A处测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tan α＝2，无人机的飞行高度AH＝500 m，桥的长PQ为1 255 m.
(1)求点H到桥的左端点P的距离；
(2)在无人机前端点B处测得正前方的桥的右端点Q的俯角β为30°，求这款无人机的长度．
图23－2－16
参考答案
第2课时 用解直角三角形解决仰角、俯角问题
【分层作业】
1．9＋3
2．63 m
3．约18.4 m
4．(1)250 m
(2)5 m
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第3课时 用解直角三角形解决航行问题
1．[2017·百色]如图23－2－21，在距离铁轨200 m的B处，有一列由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10 s后，动车车头到达C 处，恰好位于B处的西北方向上，则这列动车的平均车速是( )
图23－2－21
A．20(1＋) m/s B．20(－1) m/s
C．200 m/s D．300 m/s
2．[2018·绵阳]一艘在南北航线上的测量船，于点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，测量船继续向南航行30海里到达点C处时，测得海岛B在点C的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位，参考数据：≈1.732，≈1.414)( )
A．4.64海里 B．5.49海里
C．6.12海里 D．6.21海里
3．[2017秋·乳山市期中]如图23－2－22，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港口沿北偏东60°方向以34 n mile/h的速度出发，同时乙货船从B港口沿西北方向出发，2 h后在点P处相遇，则乙货船每小时航行________ n mile(结果保留根号)．
图23－2－22
4．[2017·成都]科技改变生活，手机导航极大地方便了人们的出行．如图23－2－23，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．
图23－2－23
5．[2017·黄冈模拟]如图23－2－24，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C.经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向上，位于点B的北偏东30°方向上，AB＝2 km，∠DAC＝15°.
(1)求B，D之间的距离；
(2)求C，D之间的距离．
图23－2－24
参考答案
第3课时 用解直角三角形解决航行问题
【分层作业】
1．A 2.B
3．17
4．2 km
5．(1)2 km
(2) km
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第4课时 用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题
1．如图23－2－31，在平面直角坐标系中，直线OA过点A(3,4)，则tan α的值是( )
A. B．
C． D．
图23－2－31
2．[2018·重庆]如图23－2－32，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20 m到达点C，再经过一段坡度为i＝1∶0.75、坡长为10 m的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40 m到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°＝0.45)( )
图23－2－32
A．21.7 m B．22.4 m
C．27.4 m D．28.8 m
3．如图23－2－33，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是(3，y)，且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是.
(1)求y的值；
(2)求∠α的正弦值．
图23－2－33
4．[2018·威海]如图23－2－34，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画．下列结论错误的是( )
图23－2－34
A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距O点的水平距离为3 m
B．小球距O点水平距离超过4 m呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7 m
D．斜坡的坡度为1∶2
5．如图23－2－35是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10 m，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝ ∶3.若新坡角下需留3 m宽的人行道，问离原坡角(A点处)10 m的建筑物是否需要拆除？(参考数据：≈1.414，≈1.732)
图23－2－35
6．[2017·荆门]金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高度．如图23－2－36，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°.已知升旗台的高度BE为1 m，点C距离地面的高度CD为3 m，台阶的坡角为30°，且点E，F，D在同一直线上．求旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)．
图23－2－36
参考答案
第4课时 用解直角三角形解决坡度
及一次函数与x轴的夹角问题
【分层作业】
1．D 2.A
3．(1)4
(2)
4．A
5．离原坡角10 m的建筑物需要拆除．
6．约18.4 m
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