北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用教学设计
课题
1.3勾股定理的应用
单元
第一单元
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识与能力：能灵活运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。
过程与方法：在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。
情感态度价值观：激发学生强烈的求知欲，使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验。
重点
应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。
难点
从实际问题中合理抽象出数学模型。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：1. 勾股定理的内容是什么？
如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
2. 勾股定理的逆定理是什么？
a2+b2=c2 三角形是直角三角形
3.欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？
在Rt△ABC中，
AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132；
AB＝13米.
学生思考回答问题。
提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．
讲授新课
师：如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
（2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？
师：想一想为什么线段AB是最短的路线？
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
已知圆柱的高是12，∴AA'=12；底面周长是18，∴A'B=9；∴AB2=AA'2+A'B2=144+81=225，
∴AB=15
答：爬行的最短路程是15cm。
【总结提高】
求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法：
先将圆柱的侧面展开，确定两点的位置，两点连接的线段即为最短
路线，再在直角三角形中，利用勾股定理求其长度即可．
【做一做】
李叔叔想要检测雕塑（如图）底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm,点B,D之间的距离是50cm,边AD垂直于边AB吗?
∵AD2+AB2=302+402=2500
BD2=2500
∴AD2+AB2=BD2
∴AD和AB垂直．
（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
在AD边上取AE=3cm，在AB上取AF=4cm，
或AE=8cm，AF=15cm，量EF，只需保证斜边EF≤20cm的勾股数都可取。
【总结归纳】
在解一些求高度、宽度、长度、距离等的问题时，首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看作直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求解．
【例】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.
【解】
设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm，AE的长度为（x－1）m,在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即(x－1)2+32=x2，解得x=5.
故滑道AC的长度为5m.
合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．
生：两点之间，线段最短
先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．
学生做例题。
通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．
运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．
该变式练习的设置的目的在于让学生增强运用知识的灵活性，帮助学生对新知识进行类比内化.
课堂练习
1.如图，正方体的边长为1，一只蚂蚁沿正方体的表面从一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短路程的平方是( D )。
A．2 B．3 C．4 D．5
2.已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是__5KM______；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的____正北____方向．
3.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险。某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走。1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进。上午10：00，甲、乙两人相距多远？
解：根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10：00时甲到达B点，
则AB＝2×6＝12(千米)；
乙到达C点，则AC＝1×5＝5(千米).
在Rt△ABC中，
BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132，
所以BC＝13千米.即甲、乙两人相距13千米.
4.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
我们可以将这个实际问题转化成数学模型.
解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x＋1)尺，由勾股定理可求得
(x＋1)2＝x2＋52，
x2＋2x＋1＝x2＋25.
解得x＝12.
则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.
5.（2019?南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有—__5_____cm．
6.（2018?湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为x2+32=（10-x）2
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
这节课你学到了什么？
1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．
2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
利用勾股定理和它的逆定理解决生活中的实际问题
最短路径问题
把实际问题转化为数学问题
课件28张PPT。1.3 勾股定理的应用北师版 八年级上新知导入1. 勾股定理的内容是什么？
2. 勾股定理的逆定理是什么？如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.a2+b2=c2直角三角形新知导入欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？在Rt△ABC中，
AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132；
AB＝13米.新知讲解如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的
周长等于18cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃
到上底面上与点A相对的点B处的食 物，
沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到
点B沿圆柱侧面画出几条路线，
你觉得哪条路线最短呢？新知讲解AB路线1路线2新知讲解路线3路线4新知讲解（2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？两点之间，线段最短新知讲解（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？利用勾股定理解决该问题。已知圆柱的高是12，∴AA'=12；底面周长是18，∴A'B=9；
∴AB2=AA'2+A'B2=144+81=225，
∴AB=15答：爬行的最短路程是15cm。新知讲解【总结提高】
求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法：
先将圆柱的侧面展开，确定两点的位置，两点连接的线段即为最短
路线，再在直角三角形中，利用勾股定理求其长度即可．新知讲解【做一做】
李叔叔想要检测雕塑（如图）底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
新知讲解【做一做】
（2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm,点B,D之间的距
离是50cm,边AD垂直于边AB吗?∵AD2+AB2=302+402=2500BD2=2500∴AD2+AB2=BD2∴AD和AB垂直．新知讲解【做一做】
（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验
边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？在AD边上取AE=3cm，在AB上取AF=4cm，
或AE=8cm，AF=15cm，量EF，只需保证斜边EF≤20cm的勾股数都可取。 新知讲解在解一些求高度、宽度、长度、距离等的问题时，首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看作直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求解．【总结归纳】新知讲解【例】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.新知讲解【解】
设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm，AE的长度为（x－1）
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即(x－1)2+32=x2，解得x=5.
故滑道AC的长度为5m.课堂练习1.如图，正方体的边长为1，一只蚂蚁沿正方体的表面从一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短路程的平方是( )。
A．2 B．3 C．4 D．5D课堂练习2.已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是________；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的________方向．5 km正北课堂练习3.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险。某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走。1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进。上午10：00，甲、乙两人相距多远？课堂练习解：根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10：00时甲到达B点，
则AB＝2×6＝12(千米)；
乙到达C点，则AC＝1×5＝5(千米).
在Rt△ABC中，
BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132，
所以BC＝13千米.即甲、乙两人相距13千米.拓展提高4.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？拓展提高我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x＋1)尺，由勾股定理可求得
(x＋1)2＝x2＋52，
x2＋2x＋1＝x2＋25.
解得x＝12.
则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.中考链接5.（2019?南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有—_______cm．5中考链接6.（2018?湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为__________________________．x2+32=（10-x）2课堂总结这节课你学到了什么？1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．
2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．板书设计利用勾股定理和它的逆定理解决生活中的实际问题最短路径问题把实际问题转化为数学问题作业布置课本 P14 练习题
P14 习题1.3谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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