高中数学必修一知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：02【提高】集合的含义及表示

集合及集合的表示（B层）
【学习目标】
1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系．
2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．
【要点梳理】
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.
要点一：集合的有关概念
1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.
2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.
要点诠释：
（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体．
（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素．
3．关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.
要点诠释：
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．
解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”．
4．元素与集合的关系：
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作aA
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作
5．集合的分类
(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.
(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.
(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.
6．常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集)，记作N
正整数集，记作N*或N+
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
要点二：集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.
1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.
2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….
3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
要点诠释：
（1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合.
【典型例题】
类型一：集合的概念及元素的性质
例1．集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？
【答案】是
【解析】由分母有理化得，.由题中集合可知均有，，即.
【总结升华】（1）解答本题首先要理解与的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，能否化成此形式，进而去判断是不是集合中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.
举一反三：
【变式1】设
(1)若aZ，则是否有aS？
(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？
解：(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，∴aS；
(2)x1，x2S，则
∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z
∴x1·x2S.
类型二：元素与集合的关系
例2．（2017 北京西城区学探诊）给出下列六个关系：
（1）0 （2）0{－1，1} （3）{0}
（4） （5）{0}{0，1} （6）{0}{0}
其中正确的关系是 ．
【答案】（2）（4）（6）
【思路点拨】首先要熟悉集合的常用符号，空集，记作，N表示自然数集，或表示正整数集，Z表示正整数集，Q表示有理数集，R表示实数集；然后要明确元素与集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的性质．给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一．解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论．
【解析】（1）0不是正整数，故错误；
（2）0不是集合{－1，1}中的元素，故正确；
（3）空集是一个集合，使用的符号错误，故错误；
（4）空集是任何一个集合的真子集，故正确；
（5）是集合与集合的关系，应该使用符号或，故错误；
（6）一个集合是它本身的子集，故正确．
【总结升华】本题主要是区别0，{0}，和非空数集以及常用的集合之间的关系．此类问题在解答时，既要熟悉集合的常用符号，又要明确元素与集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的性质，特别是{0}与，最容易混淆，必须在学习中引起足够的重视．
举一反三：
【变式1】 用符号“”或“”填空
（1）若,则 ；-2 .
（2）若则 ；-2 .
【答案】
（1）， （2），
类型三：集合中元素性质的应用
例3.设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（a,b）,在中唯一确定的元素与之对应），若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】抓住本题的本质恒成立. 只要为中元素即可有. B中由已知即为符合已知条件形式.中即可. D中相当于已知中的也正确.只有A不一定正确.
【总结升华】本题应紧紧抓住关系式，即关系式中有三个数，其中有两个数相同且分别在两边，此时关系式等于中间的数，只要分析出这个特点即可解决.
例4. ，则M=( )
A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4}
【答案】D
【解析】集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以
由aZ，所以-1≤a≤4
当a=-1时，符合题意；
当a=0时，不符合题意；
当a=1时，不符合题意；
当a=2时，符合题意；
当a=3时，符合题意；
当a=4时，符合题意.
故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D正确.
举一反三：
【变式】（2017 北京西城区期末）设M={1，2}，N={1，2，3}，，则集合P中元素的个数为 ．
【答案】4个
【解析】集合P中的元素满足c=a+b，且，所以
由aM，bN
当a=1，b=1时，c=1+1=2；
当a=1，b=2时，c=1+2=3；
当a=1，b=3时，c=1+3=4；
当a=2，b=1时，c=2+1=3；
当a=2，b=2时，c=2+2=4；
当a=2，b=3时，c=2+3=5；
故根据元素的互异性，P中元素，即P={2，3，4，5}，答案为4个．
例5. 设集合={x|}，当集合为单元素集时，求实数的值.
【答案】0，1
【解析】由集合中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.
当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.
例6.已知集合，若，求实数的值及集合.
【答案】，
【解析】（1）若则.
所以，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.
（2）若，则或，
当时，满足题意；
当时，，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.
（3）若，则或，由上分析知与均应舍去.
综上，，集合.
【总结升华】本题中由于1和集合中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.
举一反三：
【变式1】（2017秋 无为县期中）已知集合，且－3∈A，求a的值．
【答案】
【解析】∵ －3∈A，
∴ a－2=－3，或，
得a=－1，或
检验知：a=－1不满足集合元素的互异性，
∴ ，答案为．
例7．（2018春 徐州期中）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ，且
（1）若3∈A，求A；
（2）证明：若a∈A，则；
（3）A能否只有一个元素，若能，求出集合A，若不能，说明理由．
【答案】（1）；（2）略；（3）
【思路点拨】（1）根据集合A的定义，找出A的所有元素即可；
（2）由集合A的定义证明即可；
（3）假设A只有一个元素，然后转化为一元二次方程解的问题．
【解析】（1）∵ 3∈A，∴
∴
∴
∴
（2）∵ a∈A，∴
∴
（3）假设集合A只有一个元素，∏A={a}，则
即有且只有一个解，
又因为
∴ 无实数解．
与有且只有一个实数解矛盾．
所以假设不成立，即集合A不能只有一个元素．
【总结升华】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点.
类型四：集合的表示方法
例8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程的所有实数根组成的集合；
(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.
【答案】；．
【解析】(1)设方程的实数根为x，并且满足条件
因此，用描述法表示为；
方程有两个实数根
因此，用列举法表示为.
(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15因此，用描述法表示为；
大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，
因此，用列举法表示为.
【总结升华】（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.
（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.
（3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.
举一反三：
【变式1】用列举法表示集合：
(1)A={xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0}
(2)B={(x，y)|x+y=3， xN， yN}
(3)C={y|x+y=3，xN， yN}
(4)
(5)
(6)P={x|x(x-a)=0， aR}
【解析】本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.
(1)A={1，-2，-1，2}
(2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}
(3)C={0，1，2，3}
(4)D={(0，0)}
(5)M={0}
(6)当a≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}.
【总结升华】此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母aR，需要分类讨论.
【变式2】用适当的方法表示下列集合：
（1）比5大3的数；
（2）方程的解集；
（3）二次函数的图象上的所有点组成的集合．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）比5大3的数显然是8，故可表示为．
（2）方程可化为，
方程的解集为．
（3）用描述法表示为．
【总结升华】用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
【巩固练习】
1．下列四个集合中，是空集的是( )
A． B．
C． D．
2．集合可化简为（ ）
A． B． C． D．
3．集合 用描述法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．若以集合中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5． 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018 衡水模拟）已知集合A={t2+s2｜t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是（ ）
A．x+y∈A B．x－y∈A C．xy∈A D．
7．设集合，则 （ ）
A． B． C．　 D．
8． 方程组用列举法表示为 ．
9．设，则集合中所有元素之积为 ．
10．（2017秋 嘉兴期末）（设非空集合S={x｜m≤x≤1}，对任意的x∈S，都有x2∈S，若，则l的取值范围________。
11．设a，b∈R，集合，则b－a= ．
12．设是整数集的一个非空子集，对于,如果，且，那么称是的一个“孤立元”．给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个．
13．已知集合，试用列举法表示集合．
14．（2017秋 益阳期中）已知集合A={x｜ax2+2x+1=0，x∈R}，a为实数。
（1）若A是空集，求a的取值范围
（2）若A是单元素集，求a的值。
15．已知集合={x|，}．
（1）若中只有一个元素，实数的取值范围．
（2）若中至少有一个元素，实数的取值范围．
（3）若中元素至多只有一个，求实数的取值范围．
16．设集合．
求证：（1）一切奇数属于集合；
（2）偶数不属于；
（3）属于的两个整数，其乘积仍属于．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项D中的方程无实数根．
2．【答案】 B
【解析】解方程得，因为，故选B．
3．【答案】 C
【解析】集合A表示所有的正奇数，故C正确．
4．【答案】D
【解析】元素的互异性．
5．【答案】 D
【解析】，故选D．
6．【答案】C
【解析】∵集合A={t2+s2｜t，s∈Z}，
∴1∈A，2∈A，1+2=3A，故A“x+y∈A”错误；
又∵1―2=―1A，故B“x―y∈A”错误；
又∵，故D“”错误；
故选C。
7．【答案】B
【解析】本题考查元素与集合的关系，集合A用语言法叙述是所有大于－1的有理数，
所以0是集合A中的元素，故A错，
是无理数，不是集合A中的元素，故B正确，
{2}应该是集合A的子集，故错误，
而不是集合A的子集，故错误．故选B．
8．【答案】
【解析】加减消元法，解二元一次方程组，解集是点集．
9．【答案】
【解析】 ，，解得，代入，得，由韦达定理，得所有元素之积为．
10．【答案】
【分析】由m的范围求得，再由题意列关于l的不等式组，解该不等式组即得l的范围。
【解析】由时，得，则，
解得：；
∴l的范围是。
故答案为：。
11．【答案】b－a=2
【解析】∵ ，∴ a+b=0或a=0（舍去，否则无意义），
∴ a+b=0，，∴ －1∈，a=－1，
∵ a+b=0，b=1，∴ b－a=2．
12．【答案】6
【解析】若，因为1不是孤立元，所以．设另一元素为，假设，此时，，且，不合题意，故．据此分析满足条件的集合为，共有6个．
13．【答案】
【解析】由题意可知是的正约数，当；当；
当；当；而，∴，即 ．
14．【答案】（1）a＞1；（2）0或1
【解析】（1）若，则只需ax2+2x+1=0无实数解，显然a≠0，所以只需Δ=4－4a＜0，即a＞1即可。
（2）当a=0时，原方程化为2x+1=0解得；当a≠0时，只需Δ=4－4a=0，即a=1，故所求a的值为0或1。
15．【解析】（1）若时，则，解得，此时．
若时，则
或时，中只有一个元素．
（2）①中只有一个元素时，同上或．
②中有两个元素时，，解得且．综上．
（3）①时，原方程为，得符合题意；
②时，方程为一元二次方程，依题意，解得．
综上，实数的取值范围是或．
16．证明：（1）设为任意奇数，则，因为且均为整数，．由的任意性知，一切奇数属于．
（2）首先我们证明如下命题：
设：，则与具有相同的奇偶性．
以下用反证法证明．
假设，则存在，使得．若与同为奇数，则（）（ ）必定为奇数，而表示偶数，矛盾；若与同为偶数，则（）（ ）必定被4整除，但表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾．
综上所述，形如的偶数不属于．
（3）设，则存在，使得．
=
=，
又因为，均为整数，
．