高中数学必修一知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：05《集合》全章复习与巩固

《集合》全章复习巩固
【学习目标】
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
4．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：集合的基本概念
1．集合的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一个集合。
2．元素与集合的关系
（1）属于： 如果是集合A的元素，就说属于A，记作∈A。要注意“∈”的方向，不能把∈A颠倒过来写.
（2）不属于：如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作。
3．集合中元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素；
（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。
（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同一个集合。
4．集合的分类
集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：
有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
要点诠释：
把不含有任何元素的集合叫做空集，记作，空集归入有限集。
要点二：集合间的关系
1．(1)子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB，对于任何集合A规定。
(2) 如果A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记做.
两个集合A与B之间的关系如下：
其中记号（或）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A）。
2．子集具有以下性质：
（1）AA，即任何一个集合都是它本身的子集。
（2）如果，，那么A=B。
（3）如果，，那么。
（4）如果，，那么。
3．包含的定义也可以表述成：如果由任一x∈A，可以推出x∈B，那么（或）。
不包含的定义也可以表述成：两个集合A与B，如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素，那么（或）。
4．有限集合的子集个数：
（1）n个元素的集合有2n个子集。
（2）n个元素的集合有2n－1个真子集。
（3）n个元素的集合有2n－1个非空子集。
（4）n个元素的集合有2n－2个非空真子集。
要点诠释：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集．
要点三：集合的基本运算
1．用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义，“或”是两个皆可的意思，“且”是两者都有的意思，在使用时不要混淆。
2．用维恩图表示交集与并集。
已知集合A与B，用阴影部分表示A∩B，A∪B，如下图所示。

3．关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：
（1）A∩A=A，A∩=，A∩B=(B∩A)A（或B）；
A∪A=A，A∪=A，A∪B=(B∪A)A（或B）。
（2）；。
（3）德摩根定律：；。；
（4）；。
4．全集与补集
（1）它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合，则称之为全集。而补集则是在时，由所有不属于A但属于U的元素组成的集合，记作。数学表达式：若，则U中子集A的补集为。
（2）补集与全集的性质
①
②，。
③，。
5．空集的性质
空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；；；。
【典型例题】
类型一：集合的含义与表示
例1．选择恰当的方法表示下列集合。
（1）“mathematics”中字母构成的集合；
（2）不等式的解集；
（3）函数的自变量的取值范围。
【思路点拨】集合的表示有两种形式，我们必须了解每种方法的特点，选择最佳的表达形式。
【解析】（1）；
（2）或
（3）或
【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法表示集合，关键是确定集合中的元素。然后根据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。
举一反三：
【变式1】将集合表示成列举法，正确的是（ ）
A.{2，3} 　 B.{（2，3）} 　 C.{x=2，y=3} 　 D.（2，3）
【答案】B
【变式2】已知集合?∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为 （ ）
Ａ．0　　　　Ｂ．1　　　　Ｃ．2　　　　　Ｄ．3
【答案】Ｃ
例2．若含有三个元素的集合可表示为，也可以表示为，求的值。
【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。
【答案】
【解析】
由，可得且，
则有或解得或（舍去）
故
【总结升华】利用集合中元素特性来解题，既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，初学者在解题时容易忽视元素的互异性。必须在学习中高度重视。另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想。
举一反三：
【变式1】（2017秋 安徽省无为县期末）已知集合A={a―2，12，2a2+5a}，且―3∈A，求a的值．
【答案】
【解析】∵－3∈A，
∴a―2=―3，或2a2+5a=―3，
得：a=―1，或，
检验知：a=―1不满足集合元素的互异性，
∴．
例3．已知集合
（1）若A是空集，求的取值范围。
（2）若A中只有一个元素，求的值。
（3）若A中至多只有一个元素，求的取值范围。
【答案】（1） （2）0， （3）或者m=0
【解析】
（1）当时，，A不为空集，则不满足题意。
当m≠0时，若A为空集，则一元二次方程实数范围内无解，
即,。
综上若A为空集，则。
（2）由集合中只含有一个元素可得，方程有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当时，可得是一次方程，故满足题意.
当m≠0时，则为一元二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的实根，即判别式为0时的值，可求得为.故的取值为0，.
（3）∵A中元素至多只有一个 ，∴有以下两种情况存在：
集合A是空集；集合A是只有一个元素．
综合(1)(2)知,若A中元素至多只有一个, 或者m=0.
【总结升华】 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集，所以本题实际上是讨论方程mx2-2x+3=0解的个数问题。
类型二：集合的基本关系
例4．设集合A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x－a≥0}，若AB，则a的取值范围是________。
【思路点拨】 此题考查判断两个集合的包含关系。由于题中所给集合为含不等式的描述法形式，可以借助数轴进行直观的分析。
【解析】AB={x｜x≥a}，利用数轴作图如下：

由此可知：a≤1。
【总结升华】 要确定一个集合的方法之一是：明确集合中元素的范围及其满足的性质，借助Venn图来分析，直观性强。集合是由元素构成的，要确定一个集合的方法之二是：把集合中的元素一一找出来，用列举法表示。要确定一个集合的方法之三是：明确集合中元素的范围及其满足的性质。用特征性质描述法表示的集合，可借助数轴来分析，直观性强。
举一反三：
【变式1】 已知集合A={x｜x≥1或x＜－1}，B={x｜2a＜x＜a+1}，若BA，求a的取值范围。
【解析】
（1）当B是空集，需要2a≥a+1，得到a≥1
（2）当B不是空集且B的上限小于等于-1，即a＜1且a+1≤-1，得到a≤-2
（3）当B不是空集且B的下限大于等于1，即a＜1且2a≥1，得到1/2≤a＜1综上，a≤-2或a≥1/2
【变式2】若集合B={1，2，3，4，5}，C={小于10的正奇数}，且集合A满足AB，AC，则集合A的个数是________。
【思路点拨】 由题设，C={1，3，5，7，9}。因为AB，AC，可用Venn图发现集合B与C的公共元素为1，3，5，则集合A可能含有1，3，5三个数中的0个，1个，2个，或3个。故集合A的个数即为{1，3，5}的子集的个数。
【解析】由已知作Venn图

{1，3，5}的子集中含0个元素的有1个：；
{1，3，5}的子集中含1个元素的有3个：{1}，{3}，{5}；
{1，3，5}的子集中含2个元素的有3个：{1，3}，{1，5}，{3，5}；
{1，3，5}的子集中含3个元素的有1个：{1，3，5}。
由上述分析知集合A的个数为{1，3，5}的子集的个数：1+3+3+1=8个。
例5．设集合,若，求实数的范围。
【答案】或
【解析】
，或
当时，即，则是方程的两根，代入解得
当时，分两种情况：
（1）若，则，解得。
（2）若，则方程有两个相等的实数根。
，解得，此时，满足条件。
综上可知，所求实数的范围为或。
【总结升华】要解决此题，应明确的具体含义：一是，二是。而时还应考虑能否是的情况，因此解题过程中必须分类讨论，另外还要熟练掌握一元二次方程根的讨论问题。
举一反三：
【变式】已知集合．
（1）若，求 ；（2）若，求实数的取值所组成的集合．
【答案】详见解析
【解析】（1）由题意，
当时，
　　　　　　
（2）由题意，
∴ 当时，
当时，

类型三：集合的基本运算
例6．已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个
【答案】B
【解析】 ∵阴影部分为M∩N={x|－2≤x－1≤2}∩{x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k－1，k=1，2，…}={1，3}，∴阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B项．
【总结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象，因而也是高考命题的热点．
举一反三：
【变式1】已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛x关系的韦恩图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【变式2】设全集为，，，
求及．
【答案】=；=.
例7．若集合A={x｜x2―ax+a2―19=0}，B={2，3}，C={2，―4}，满足A∩B，且A∩C=，则实数a的值是________。
【思路点拨】 由题设，A∩B且A∩C=知，2，3与集合A的关系，再进行解答。
【解析】 由已知：3∈A，2A，则32―3a+a2―19=0，即a=5或a=―2。
当a=5时，A={2，3}，与题意矛盾；
当a=―2时，A={―5，3}，符合题意。
由上述分析知a=―2。
【总结升华】 集合是由元素构成的，要确定一个集合首先明确集合中元素的范围及其满足的性质，再把集合中的元素一一找出来。
例8．（2018春 江西省抚州期末）已知集合A={x｜x2―2x―8≤0}，B={x｜x2―(2m―3)x+m(m―3)≤0，m∈R}．
（1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；
（2）设全集为R，若，求实数m的取值范围．
【思路点拨】（1）根据所给的两个集合的不等式，写出两个集合对应的最简形式，根据两个集合的交集，看出两个集合的端点之间的关系，求出结果．
（2）设全集为R，若，求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】（1）由已知得A={x｜x2―2x―8≤0，x∈R}=[―2，4]，
B={x｜x2―(2m―3)x+m2―3m≤0，x∈R，m∈R}=[m－3，m]．
∵A∩B=[2，4]，∴，∴m=5．
（2）∵B=[m－3，m]，∴．
∵，
∴m－3＞4或m＜－2．
∴m＞7或m＜－2．
∴m∈（－∞，－2）∪（7，+∞）
【总结升华】本题考查集合之间的关系与参数的取值，本题解题的关键是利用集合之间的关系，得到不等式之间的关系．
举一反三：
【变式1】 已知集合A={x｜－2≤x≤5}，B={x｜k+1≤x≤2k－1}，若A∩B=，求实数k的取值范围。
【解析】
A∩B=，
当时，2k－1当时，k+1>5或2k－1<－2 ，即k>4。
综上知。
例9．已知集合．
（Ⅰ）求；；
（Ⅱ）若，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）∵
∴ 如图，；
或
∴ 或
（Ⅱ）画数轴同理可得：．
【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．
举一反三：
【变式1】 已知集合A={x｜－2≤x＜7}，，若A∪B=R，求实数k的取值范围。
【解析】在数轴上画出集合A
要使A∪B=R，即且
解得。
【巩固练习】
1．全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若集合，，且，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或或
3．若集合，则有（ ）
A． B． C． D．
4．（2018 吉林模拟）已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（ ）
A．{2，4} B．{―2，4} C．{―2，2，4} D．{－4，2，4}
5．表示图形中的阴影部分( )

A．
B．
C．
D．
6. 已知全集U=A∪B中有m个元素，中有n个元素。若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（ ）
A．mn B．m+n C．n―m D．m―n
7．已知集合若∩B的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设S是整数集Z的非空子集，如果，有，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，，且，有有，则下列结论恒成立的是
A．中至少有一个关于乘法是封闭的
B．中至多有一个关于乘法是封闭的
C．中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．中每一个关于乘法都是封闭的
9．设,则。
10．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为 。
11．若且，则 。
12．（2018春 江苏启东市期中）如果集合A={x｜mx2－4x+2=0}中只有一个元素，则实数m的值为________．
13．已知集合，，．
（Ⅰ）求A∪B；；
（Ⅱ）若，求a的取值范围．
14．设，其中，同时满足①；②。求的值。
15．（2018春 山东德州期末）已知集合A={x｜1≤x＜5}，B={x｜x2－2x－15≤0}，C={x｜－a＜x≤a+3}．
（1）求A∩B；
（2）若C∩A=C，求a的取值范围．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】∵ 集合，
全集，
∴ ．
∴ ．
故选B．
2. 【答案】 D
【解析】当时，满足，即；当时，
而，∴；∴；
3. 【答案】 A
【解析】，；
4．【答案】C．
【解析】∵集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，
∴a2=4，解得：a=2或a=－2，
当a=2时，A={2，4}，B={2，4}，不合题意，舍去；
当a=－2时，A={－2，4}，B={2，4}，
则A∪B={－2，2，4}．
故选C．
5. 【答案】A
6．【答案】D
【解析】 ∵中有n个元素，如下图所示阴影部分，又∵U=A∪B中有m个元素，故A∩B中有（m－n）个元素。

7．【答案】A
【解析】利用数轴去解
8．【答案】A
【解析】若按照整数集的范围考虑，则不妨令T＝N，V为负整数集，满足题意，但x，y∈V时，，排除D；若从整数特征考虑，令T为偶数集，V为奇数集，均关于数的乘法是封闭的，排除B、C，故选A。
9. 【答案】
【解析】
10. 【答案】 45
【解析】 画出Venn图如下图所示。

11. 【答案】
【解析】由，则，且。
12．【答案】0或2
【解析】当m=0时，显然满足集合{x｜mx2－4x+2=0}中只有一个元素，则实数m的值为________．
当m≠0时，由集合{x｜mx2－4x+2=0}有且只有一个元素，可得判别式Δ=16－8m=0，解得m=2，
∴实数m的值为0或2．
故答案为：0或2．
13．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）∵ ，，
∴ A∪B
或
或
（Ⅱ）若，由数轴知
14．【解析】，所以两个方程至少有一个共同解且—2是前者方程的解，
设两方程的共同解为，则，解得。当时，又—2是前者方程的解，由根与系数的关系得。同理得。
15．【答案】（1）A∩B={x｜1≤x＜5}；（2）a≤－1
【解析】（1）B={x｜x2－2x－15≤0}={x｜－3≤x≤5}，
∵A={x｜1≤x＜5}，
∴A∩B={x｜1≤x＜5}，
（2）∵C∩A=C，
∴，
当，满足，此时－a≥a+3，解得；
当，要使，则，解得，
综上所述，a≤－1．