高中数学必修一知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：08【基础】函数的单调性

单调性与最大（小）值
【学习目标】
1.理解函数的单调性定义；
2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．
【要点梳理】
要点一、函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间上是减函数.
要点诠释：
（1）属于定义域A内某个区间上；
（2）任意两个自变量且；
（3）都有；
（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
要点诠释：
①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
基本方法：观察图形或依据定义.
3．函数的最大（小）值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1)对于任意的，都有（或）；
(2) 存在，使得，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值；
②对于定义域内的任意元素，都有（或），“任意”两字不可省；
③使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
4.证明函数单调性的步骤
(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
(4)得出结论.
5.函数单调性的判断方法
(1)定义法；
(2)图象法；
(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数．
要点二、基本初等函数的单调性
1.正比例函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
2.一次函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
（2）反比例函数
当时，函数在区间上是减函数；
当时，函数在区间上是增函数.
4.二次函数
若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；
若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；
(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.
【典型例题】
类型一、函数的单调性的证明
例1.已知：函数
（1）讨论的单调性.
（2）试作出的图象.
【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
【解析】
（1）设x1，x2是定义域上的任意实数，且x1①当时，x1-x2<0，1，故，即f(x1)-f(x2)<0
∴x1上是增函数.
②当-1∵0故，即f(x1)-f(x2)>0
∴x1f(x2)
上是减函数.
同理：函数是减函数, 函数是增函数.
（2）函数的图象如下
【总结升华】
（1）证明函数单调性要求使用定义；
（2）如何比较两个量的大小？(作差)
（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)
举一反三：
【变式1】（2014 福建南安期中）
已知函数．
（Ⅰ）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（Ⅱ）若，求函数在上的值域．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当时，任取，
因为，，，
所以，得，故函数在上是减函数；
（Ⅱ）当时，由（1）得在上是减函数,
从而函数在上也是减函数，
,.
由此可得，函数在上的值域为．
类型二、求函数的单调区间
例2. 判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2； (2)
【思路点拨】 对进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。
【答案】（1）f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
（2）f(x)在上递增.
【解析】(1)由图象对称性，画出草图
∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
(2)
∴图象为
∴f(x)在上递增.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|； (2)　　　　(3) ；（4）y=|x2-2x-3|.
【答案】（1）函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；（2）上为减函数；（3）单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；(4)单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）．
【解析】(1)画出函数图象，
∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；
(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；
(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；
（4）先画出y=x2-2x-3，然后把轴下方的部分关于轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下图
所以y=|x2-2x-3|的单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.■
【总结升华】
（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；
（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.
（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化(复合函数为增函数；内外层函数反向变化(复合函数为减函数.
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
例3. 已知函数是定义域为的单调增函数．
（1）比较与的大小；
（2）若，求实数的取值范围．
【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）因为，所以，由已知，是单调增函数，所以．
（2）因为是单调增函数，且，所以，解得或．
例4. 求下列函数的值域：
(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2)；
(3)；
(4).
【思路点拨】(1)可应用函数的单调性；(2)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(3)由单调性求值域，此题也可换元解决；(4)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围.
【答案】（1）1），2）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图
1)f(x)在[5，10]上单增，；
2)；
(2) ；
(3)经观察知，，；
(4)令.
举一反三：
【变式1】已知当的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.
（1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）.
【答案】（1）在区间[0，3]上，当时，；当时，.
（2）在区间[-1，1]上，当时，；当时，.
（3）在区间[3，+∞）上，当时，；在这个区间上无最大值.
【总结升华】由本例可知，作出二次函数的图象后，利用图象的形象直观很容易确定二次函数在闭区间上的单调性，由单调性不难求出二次函数在闭区间上的最值.因此，确定二次函数在所给的闭区间上的单调性是求二次函数在闭区间上的最大（小）值的关键.
例5．（2017 西安周至县一模）已知函数，x∈[―5，5]，
（1）当a=1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[―5，5]上是单调函数．
【思路点拨】（1）先求出二次函数的对称轴，结合开口方向可知再对称轴处取最小值，在离对称轴较远的端点处取最大值；
（2）要使y=f（x）在区间[―5，5]上是单调函数，只需当区间[―5，5]在对称轴的一侧时，即满足条件．
【解析】（1），
其对称轴为x=―a，当a=1时，，
所以当x=―1时，f（x）min=f（―1）=1―2+2=1；
当x=5时，即当a=1时，f（x）的最大值是37，最小值是1．
（2）当区间[―5，5]在对称轴的一侧时，
函数y=f（x）是单调函数．所以－a≤―5或―a≥5，
即a≥5或a≤―5，即实数a的取值范围是（―∞，－5]∪[5，+∞）时，
函数在区间[－5，5]上为单调函数．
【总结升华】本题主要考查了利用二次函数的性质求二次函数的最值，以及单调性的运用等有关基础知识，同时考查分析问题的能力．
举一反三：
【变式1】（2017秋 江苏盐城期末）已知函数在[4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________
【答案】[―3，+∞）
【解析】∵在[4，+∞）上是增函数，
∴对称轴1―a≤4
即a≥―3，
故答案为：[―3，+∞）．
【巩固练习】
1．定义域上的函数对任意两个不相等的实数，总有，则必有( )
A．函数先增后减
B．函数先减后增
C．函数是上的增函数
D．函数是上的减函数
2．在区间上为增函数的是( )
A． B．
C． D．
3．函数的一个单调递减区间可以是（ ）
A.[-2，0] B.[0，2] C.[1，3] D. [0，+∞）
4．若函数在上是递减的，则a的取值范围是（ ）
A． a≥﹣3 B． a≤﹣3 C． a≤5 D． a≥3
5．（2018 江西一模）设函数，若f（a）＜a，则实数a的取值范围为（ ）
A．（－1，+∞） B．（－∞，－1） C．（3，+∞） D．（0，1）
6．设，函数的图象关于直线对称，则之间的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7．函数的递增区间是（ ）
A． B． [﹣5，﹣2] C． [﹣2，1] D．
8．函数的值域是____________.
9．（2018 陕西安康三模）若函数在（2，3）上为增函数，则实数a的取值范围是________．
10．已知一次函数在上是在增函数，且其图象与轴的正半轴相交，则的取值范围是 .
11．已知函数是上的减函数，且的最小值为正数，则的解析式可以为 .（只要写出一个符合题意的解析式即可，不必考虑所有可能情形）
12．（2018春 山西怀仁县月考）试用定义讨论并证明函数在（－∞，－2）上的单调性．
13．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.
14．已知函数.
① 当时，求函数的最大值和最小值；
② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.
【答案与解析】
1.【答案】C.
【解析】由知，当时，，当时，，所以在上单调递增，故选C.
2.【答案】B.
【解析】,故选B．
3.【答案】C.
【解析】函数，图象开口向下，对称轴是，故选C.
4.【答案】B．
【解析】函数的对称轴是x=1﹣a
又函数在上是递减的，
∴ 4≤1﹣a
∴ a≤﹣3
故选B．
5．【答案】A
【解析】不等式f（a）＜a等价于或，解得a≥0或－1＜a＜0，
∴不等式f（a）＜a的解集为（－1，+∞），
故选A．
6.【答案】A.
【解析】由于，且函数图象的对称轴为所以函数在上单调递曾增.因为，从而.
7．【答案】B．
【解析】由，得函数的定义域为 {x|﹣5≤x≤1}．
∵ ，
对称轴方程为x=﹣2，拋物线开口向下，
∴函数t的递增区间为[﹣5，﹣2]，故函数的增区间为[﹣5，﹣2]，
故选：B
8.【答案】
【解析】 是的增函数，当时，.
9．【答案】
【解析】若函数在（2，3）上为增函数，
则在（2，3）上恒成立，
则9a+1≥0，解得：，
故答案为：．
10.【答案】
【解析】 依题意 ，解得.
11.【答案】答案不唯一，如等.
12．【解析】；
设，且；
；
∵，且；
∴
∴若1－2a＜0，即时，，∴f（x）在（―∞，―2）上单调递增；
若1－2a＞0，即时，，∴此时f（x）在（―∞，―2）上单调递减．
13．【解析】，则，
14．【解析】对称轴
∴
(2)对称轴当或时，在上单调
∴或.