沪科版数学九年级上册同步课时训练
第二十二章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定定理1
自主预习 基础达标
要点 两角分别相等的两个三角形相似
判定三角形相似的定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角 ，那么这两个三角形相似.简单说成， 分别相等的两个三角形相似.
课后集训 巩固提升
1. 如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
第1题 第2题
2. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，若∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为( )
A. 1 B. C. 2 D.
3. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有( )
A. △ADE∽△ECF B. △ECF∽△AEF
C. △ADE∽△AEF D. △AEF∽△ABF
第3题 第4题
4. 如图所示，△AOB和△COD相似，∠A＝∠C，下列各式正确的是( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
5. 如图，△ABC中，各边互不相等，点P是AC的中点，过点P作一条直线，使截得的三角形与原三角形相似.这样的直线至多可作( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
第5题 第6题
6. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，则△ABC∽ .
7. 如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC △A2B2C2.
8. 如图，若∠B＝∠C，则 ∽ ， ∽ ，理由是 .
第8题 第9题
9. 如图所示，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为 .
10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，BD＝10，AC＝BC，则DE＝ .
11. 对于下列命题：(1)所有的等腰三角形都相似；(2)有一个角是50°的两个等腰三角形相似；(3)有一个角是60°的两个等腰三角形相似；(4)有一个角是100°的两个等腰三角形相似；(5)所有的等腰直角三角形都相似.其中真命题是 (填序号).
12. 如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD.已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，求线段CD的长.
13. 将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子，试问△ABE∽△DAE成立吗？
14. 如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1 S2＋S3(填“＞”“＝”或“＜”)；
(2)写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.
15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且∠APB＝∠APC＝135°.
(1)求证：△CPA ∽△APB；
(2)求的值.
16. 在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，＝3，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证：＝；
(2)若∠CGF＝90°时，求的值.
17. 如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)，点B(8，0)，AB＝10.动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒.
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并求出此时点P与点Q的坐标.
参考答案
自主预习 基础达标
要点 对应相等 两角
课后集训 巩固提升
1. D 2. C 3. A 4. D 5. D
6. △BDC
7. ∽
8. △ABE △ACD △BOD △COE 两角分别相等的两个三角形相似
9. 4
10. 6
11. (3)(4)(5)
12. 解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△ACB，∴＝，即AB2＝AD·AC.又AB＝6，AD＝4，∴AC＝9，∴CD＝AC－AD＝5.
13. 解：成立.∵△ABC和△AFG都是等腰直角三角形，∴∠B＝∠DAE＝45°，又∵∠AED＝∠BEA，∴△ABE∽△DAE.
14. (1)＝
(2)证明：答案不唯一，如：△DCE∽△BDC，△DCE∽△CBF，△BDC∽△CBF.选择△DCE∽△BDC证明如下：∵四边形ABCD，BDEF是矩形，∴∠E＝∠BCD＝∠BDE＝90°.又∵∠EDC＋∠DCE＝∠EDC＋∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠DCE，∴△DCE∽△BDC.
15. (1)证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°.又∵∠APB＝∠APC＝135°，∴∠CAP＋∠ACP＝45°，∴∠ACP＝∠BAP，∴△CPA∽△APB.
(2)解：由△CPA ∽△APB得＝＝.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AB＝AC，∴＝＝，∴PC＝PA，PB＝PA，∴＝＝.
16. (1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠HBG＝∠HEC，∠HGB＝∠HCE，∴△BHG∽EHC，∴＝.
(2)解：∵∠A＝∠CBG＝90°，又∵∠CGF＝90°，∴∠AGF＋∠BGC＝90°.又∵∠AGF＋∠AFG＝90°，∴∠BGC＝∠AFG，∴△AFG∽△BGC，∴＝.由(1)知，＝＝3，∴BG＝EC＝CD＝AB，∴AG＝AB.又∵△FDE∽△FAG，∴＝＝，∴FA＝AD＝BC，由＝得，＝，∴＝18，∴＝3.
(2)由题意，知AP＝t，AQ＝10－2t.可分两种情况讨论：①当∠APQ＝∠AOB时，有△APQ∽△AOB，此时t＝，P(0，)，Q(，).②当∠AQP＝∠AOB时，有△APQ∽△ABO，此时t＝，P(0，)，Q(，).
