沪科版数学九年级上册同步课时训练
第二十二章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第3课时 相似三角形的判定定理2
自主预习 基础达标
要点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三角形相似判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边 ，并且夹角 ，那么这两个三角形相似(可简单说成：两边 且夹角 的两个三角形相似).
课后集训 巩固提升
1. 如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD·AB.其中能够单独判定△ABC∽△ACD的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第1题 第2题
2. 如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A. ＝ B. ＝
C. ∠B＝∠D D. ∠C＝∠AED
3. 给出下面四个命题：①全等三角形是相似三角形；②所有的矩形都相似；③所有的等边三角形都相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似.其中真命题的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( )
A. P1 B. P2 C. P3 D. P4
第4题 第5题
5. 如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到点A，点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )
A. 3秒或4.8秒 B. 3秒 C. 4.5秒 D. 4.5秒或4.8秒
6. 如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应是 .
第6题 第7题
7. 如图，等腰三角形ABC中，∠A＝36°，若BC2＝CD·CA，则∠DBC＝ ，图中有 个等腰三角形.
8. 如图，在直角坐标系中两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为 时，使得由点B，O，C组成的三角形与△AOB相似.(不包括全等)
第8题 第9题
9. 如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD，AD上滑动，当DM＝ 时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似.
10. 如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝ .
11. 已知△ABC和△A′B′C′，∠A＝50°，∠A′＝50°，AB＝8，BC＝15，A′B′＝16，B′C′＝30，请问这两个三角形是否相似？请说明你的理由.
12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是AB，CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE，若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.
13. 如图，点C，D在线段AB上，且△PCD是等边三角形.
(1)当AC，DC，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；
(2)当△PDB∽△ACP时，试求∠APB的度数.
14. 如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE，过B点折纸片使 D点叠在直线AD上，得折痕PQ.
(1)求证：△PBE∽△QAB；
(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由；
(3)如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上，为什么？
15. 如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.
(1)证明：Rt△ABM∽Rt△MCN.
(2)设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数表达式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积.
(3)当M点运动到什么位置时，Rt△ABM ∽Rt△AMN，求此时x的值.
参考答案
自主预习 基础达标
要点 对应成比例 相等 成比例 相等
课后集训 巩固提升
1. C 2. B 3. C 4. C 5. A
6.
7. 36° 3
8. (1，0)或(－1，0)
9. 或
10. 或
11. 解：△ABC与△A′B′C′不一定相似.理由如下：∵∠A＝∠A′＝50°，但不知道是否等于＝，∴根据已知条件不能确定△ABC与△A′B′C′相似.
12. 证明：在△ACB中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10.∵AD＝15，CE＝9，∴DB＝AD－AB＝5，BE＝CE－BC＝3.在△ABC与△DBE中，＝＝2，且∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE.
13. 解：(1)当CD2＝AC·DB时，△ACP∽△PDB相似.∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°.∴∠ACP＝∠PDB＝120°，若要△ACP∽△PDB，需＝，∴AC·DB＝PC·PD，又PC＝PD＝CD，∴CD2＝AC·DB.
(2)∵△PDB∽△ACP，∴∠A＝∠DPB.∵∠A＋∠APC＋∠ACP＝180°，∴∠A＋∠APC＝60°.∵∠A＝∠DPB，∴∠BPD＋∠APC＝60°.又∵∠CPD＝60°，∴∠APB＝∠APC＋∠BPD＋∠CPD＝60°＋60°＝120°.
14. 解：(1)证明：由题意得∠EPB＝∠BQA＝90°.∵∠ABE＝90°，∴∠ABQ＋∠EBP＝90°.又∵∠ABQ＋∠BAQ＝90°，∴∠BAQ＝∠EBP，∴△PBE∽△QAB.
(2)相似.理由：由(1)中△PBE∽△QAB可得＝.由题意知PB＝QB，∴＝.又∵∠BPE＝∠ABE＝90°，∴△PBE∽△BAE.
(3)能.由(2)中△PBE∽△BAE，∴∠AEB＝∠BEP，∴沿直线EB折叠纸片，点A能叠在直线EC上.
15. 解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠B＝∠C＝90°.∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°，∴∠CMN＋∠AMB＝90°.在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠CMN＝∠MAB，∴Rt△ABM ∽Rt△MCN.
(2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，.∴＝，∴＝，∴CN＝，∴y＝S梯形ABCN＝×(＋4)×4＝－x2＋2x＋8＝－(x－2)2＋10，当x＝2时，y取最大值，最大值为10.
(3)∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM∽△AMN，必须有＝，由(1)知＝，∴BM＝MC，
