沪科版数学九年级上册同步课时训练
第二十二章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第4课时 相似三角形的判定定理3
自主预习 基础达标
要点1 三边成比例的两个三角形相似
三角形相似判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边 ，那么这两个三角形相似(可简单说成：三边 的两个三角形相似).
要点2 网格中的相似三角形的判定
各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据 求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否对应 来判断两个三角形是否相似.
课后集训 巩固提升
1. 已知△ABC与△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是( )
A. AB＝a，BC＝b，AC＝c，DE＝，EF＝，DF＝
B. AB＝1，BC＝1.5，AC＝2，DE＝8，EF＝12，DF＝16
C. AB＝，BC＝，AC＝，DE＝，EF＝3，DF＝3
D. AB＝3，BC＝4，AC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝10
2. 有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形( )
A. 一定相似 B. 一定不相似
C. 不一定相似 D. 无法判断
3. △ABC和△A′B′C′中，AB＝9cm，BC＝8cm，CA＝5cm，A′B′＝4.5cm，B′C′＝2.5cm，C′A′＝4cm，则有( )
A. ∠A＝∠A′ B. ∠A＝∠B′ C. ∠A＝∠C′ D. ∠C＝∠B′
4. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )
① ② ③ ④
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
5. 如图，△PQR在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点A，B，C，D也是小正方形的顶点，那么与△PQR相似的是( )
A. 以点P，Q，A为顶点的三角形 B. 以点P，Q，B为顶点的三角形
C. 以点P，Q，C为顶点的三角形 D. 以点P，Q，D为顶点的三角形
6. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的长分别是3，4及x，那么x的值( )
A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个
7. 如图，正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.②～⑥中与①相似的是( )
A. ②③④ B. ③④⑤ C. ④⑤⑥ D. ②③⑥
8. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，图中的点D、点E、点F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是( )
A. △ACD B. △ADF C. △BDF D. △CDE
9. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为( )
A. 2.5，3 B. ，
C. 1.6，2.4 D. 2.5，3或1.6，2.4或，
10. △ABC的三边分别为，，，△A1B1C1的两边长分别为1和，当△A1B1C1的第三边长为 时，△ABC与△A1B1C1相似.
11. 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△A′B′C′中，A′B′＝4，A′C′＝3.若BC∶B′C′＝ ，则△ABC∽△ .
12. 如图，在正方形网格上画有梯形ABCD，则∠BDC的度数为 .
13. 网格图中每个方格都是边长为1的正方形.若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明：△ABC∽△DEF.
14. 如图，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且＝＝.
试证明：△ABC∽△A′B′C′.
15. 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且AB＝BD＝DE＝EC.
求证：(1)△ADE∽△CDA；
(2)∠1＋∠2＋∠3＝90°.
16. 一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由.
17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取三个格点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似.(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 对应成比例 成比例
要点2 勾股定理 成比例
课后集训 巩固提升
1. B 2. A 3. B 4. C 5. B 6. B 7. B 8. C 9. D
10.
11. 2∶1 A′C′B′
12. 135°
13. 解：∵AC＝，BC＝＝，AB＝4，DF＝＝2，EF＝＝2，DE＝8，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.
14. 证明：∵＝＝，∴△ABD∽△A′B′D′.∴∠B＝∠B′，∠BAD＝∠B′A′D′.又AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，∴∠BAD＝∠BAC，∠B′A′D′＝∠B′A′C′.∴∠BAC＝∠B′A′C′.又∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
15. 证明：(1)设AB＝BD＝DE＝EC＝m，则AD＝m，CD＝2m，AE＝m，AC＝m，∴＝＝，＝＝，＝＝.∴＝＝，∴△ADE∽△CDA.
(2)由(1)可知△ADE∽△CDA，∴∠DAE＝∠DCA＝∠3.∵∠B＝90°，AB＝BD，∴∠1＝45°.又∵∠1＝∠2＋∠DAE，∴∠2＋∠3＝∠1＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＝90°.
16. 解：两种截法：①把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有＝＝＝，从而两个三角形相似。 ②30厘米与50厘米长的两根钢筋为对应边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分.则有＝＝＝，从而两三角形相似.
17. 解：(1)△ABC和△DEF相似.理由：根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5；DE＝4，DF＝2，EF＝2.∵＝＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.
