沪科版数学九年级上册同步课时训练
第二十二章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第5课时 直角三角形相似的判定
自主预习 基础达标
要点1 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 ，那么这两个直角三角形相似.
要点2 三角形相似的判定的综合
判定两个直角三角形相似，除了上面所讲的定理外，还有下面的方法：
(1)顶角(或底角)对应相等的两个等腰三角形相似；
(2)一腰与底边对应成比例的两个等腰三角形相似；
(3)一锐角相等的两个直角三角形相似；
(4)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与 相似；
(5)等腰直角三角形都相似，等边三角形都相似.
课后集训 巩固提升
1. 已知两直角三角形的一条直角边和斜边分别为1，4和3，12，则这两个直角三角形( )
A. 一定相似 B. 一定不相似
C. 不一定相似 D. 以上都不对
2. 现有下列说法：①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰直角三角形都相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④有两边对应成比例的两个直角三角形相似.其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，一束光从点A射入经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD＝12m，那么该古城墙的高度是( )
A. 6m B. 8m C. 18m D. 24m
第3题 第4题
4. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝ 时，△ABC∽△A′B′C′.
6. 已知在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AB＝5，AC＝3，DE＝6，当DF＝ 时，Rt△ABC∽Rt△DEF.
第6题 第7题
7. 如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，AD＝8，CD＝6，则当BD＝ 时，△ADC∽△CDB，∠ACB＝ .
8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点P在DC上，当AP＝ 时，△ADP∽△ABC.
9. 如图，BC⊥AD，垂足为C，AD＝6.4，CD＝1.6，BC＝7.8，CE＝2.6，求证：△ABC∽△DEC.
10. 如图，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，C是线段BD的中点，且ED＝1，AC＝2，BD＝4.
求证：△ABC∽△CDE.
11. 如图，△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm.D是AB上一点，AD＝4cm，DE⊥AB交AC于是点E.当AE的长为多少时，△ADE与△ABC相似？
12. 在△ABC与△DEF中，∠C＝∠E＝90°，AC＝5，AB＝13，DF＝26，要使△ABC与△DEF相似，DE的长可以是多少？
13. 在Rt△ABC中，∠A＝90°，在正方形DEFG，且E，F在斜边BC上，D，G分别在AB，AC上，求证：EF2＝BE·FC.
14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，AD⊥DE，且DE交AB于点E，过C作CF⊥AB，交AD于点G，F为垂足.
(1)求证：△ACG∽△DBE；
(2)当CD＝BD，BC＝2AC时，求.
15. 如图所示，已知Rt△ABC与Rt△DEF不相似，其中∠C，∠F为直角，能否将这两个三角形各分割成两个三角形，使△ABC所分成的每一个三角形与△DEF所分成的每一个三角形分别对应相似？如果能，请设计出一种分割方案，并说明理由.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 对应成比例
要点2 原三角形
课后集训 巩固提升
1. A 2. C 3. B 4. C
5. 10
6. 3.6
7. 90°
8.
9. 证明：∵AD＝6.4，CD＝1.6，∴AC＝AD－CD＝6.4－1.6＝4.8.∴＝＝3.又∵＝＝3，∴＝.又∵BC⊥AD，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC.
10. 证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°.又∵C是线段BD的中点，BD＝4，∴BC＝CD＝2.∵AC＝2，BC＝2，∴AB＝＝4，∴AB∶CD＝BC∶DE＝2∶1，∴△ABC∽△CDE.
11. 解：∵AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，∴AC2＋BC2＝AB2.∴∠C＝90°.又∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°.∴当＝，即＝时，△ADE∽△ACB.∴当AE长为5cm时，△ADE与△ABC相似.
12. 解：若△ABC∽△DFE，则＝，即＝，则DE＝10；若△BAC∽△DFE，则＝，即＝，则DE＝24.∴DE的长可以是10或24.
13. 证明：∵∠A＝90°，∴∠B＋∠C＝90°.又∵四边形DEFG是正方形，∴DE＝GF＝EF，∠BED＝∠GFC＝90°，∴∠B＋∠BDE＝90°，∴∠C＝∠BDE，∴Rt△BDE∽Rt△GCF，∴＝，∴DE·GF＝BE·CF，∴EF2＝BE·FC.
14. (1)证明：∵AD⊥DE，CF⊥AB，∴∠ADE＝∠AFC＝90°.∵∠CAB＋∠B＝90°，∠CAF＋∠ACF＝90°，∴∠B＝∠ACG.∵∠BDE＋∠ADC＝90°，∠CAG＋∠ADC＝90°，∴∠BDE＝∠CAG，∴△ACG∽△DBE.
(2)解：∵CD＝BD，BC＝2AC，∴AC＝CD，∴∠ADC＝45°，∴∠BDE＝45°.作EH⊥BD于点H，设DH＝EH＝x，则DE＝x，设BD＝CD＝a，则AD＝a，BH＝a－x.由△ABC∽△EBH，得＝，即＝，解得x＝，∴DE＝，∴＝＝.
15. 解：如图所示，在△ABC中，作∠ACG＝∠E，CG交AB于点G，在△EFD中，作∠EFH＝∠A，FH交DE于点H.CG，FH就是所求的分割线. 理由：∵∠EFH＝∠A，∠ACG＝∠E，则△ACG∽△FEH，又∵∠A＋∠B＝90°，则∠EFH＋∠B＝90°，而∠EFH＋∠DFH＝90°，故∠B＝
