沪科版数学九年级上册同步课时训练
第二十二章 相似形
22.3 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质定理1及应用
自主预习 基础达标
要点1 相似三角形的性质定理1
相似三角形的对应角 ，对应边 .
性质定理1：相似三角形 的比、 的比和 的比都等于相似比.
要点2 相似三角形的性质定理1的应用
在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为 ，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.
课后集训 巩固提升
1. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )
A. 3∶4 B. 4∶3 C. 9∶16 D. 16∶9
2. 顺次连接三角形三边的中点，所形成的三角形与原三角形对应边上的中线的比为( )
A. 1∶4 B. 1∶3 C. 1∶2 D. 1∶
3. 如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，BM⊥CE，则Rt△BEM与Rt△BCM斜边上的高的比是( )
A. 1∶1 B. 1∶2 C. 1∶ D. 1∶4
第3题 第4题
4. 如图所示，路灯距地面8m，身高为1.6m的小明从距离灯的底部(点O)20m的点A处，沿AO所在直线行走14m到点B时，人影的长度( )
A. 增大1.5m B. 减小1.5m C. 增大3.5m D. 减小3.5m
5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G，DE∶BC＝2∶3，那么AG∶GH＝ .
第5题 第6题
6. 如图，△ABC∽△DEF，AG⊥BC，DH⊥EF，BC＝8，EF＝4，AG＝4，则△DEF的面积为 .
7. 如图所示，一油桶内有油，一根木棒长1.2m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端正好到小口.抽出木棒，量得棒上浸油的部分长为0.45m，则桶内油的高度为 .
第7题 第8题
8. 如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米.
9. 如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量OA＝1m，OB＝3m，O′A′＝0.5m，O′B′＝3m(点A，O，O′，A′在同一条水平线上)，则该山谷的深h为 m.
10. 如图，是一个照相机成像的示意图.
(1)如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
(2)如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
11. 如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片.AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm.从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
(1)求证：＝；
(2)求这个矩形EFGH的周长.
12. 马戏团让老虎和公鸡表演跷跷板节目，跷跷板支柱AB的高度为1.2m(如图所示).
(1)若吊环高度为2m，支点A为跷跷板PQ的中点，老虎能否将公鸡送到吊环上？为什么？
(2)若吊环高度为3.6m，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移动到跷跷板PQ的什么位置时，老虎刚好能将公鸡送到吊环上？
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF(点E，F分别在边AC，BC上).
(1)若△CEF与△ABC相似，
①当AC＝BC＝2时，AD的长为 ；
②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为 .
(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由.
14. 探索规律：在△ABC中，AB＝10，AB边上的高CH＝6.
(1)如图①，正方形DEFG内接于△ABC，求正方形的边长；
(2)如图②，两个相同的正方形组成矩形DEFG内接于△ABC，求正方形的边长；
(3)如图③，n个相同的正方形组成矩形DEFG内接于△ABC，试求此时正方形的边长.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 相等 成比例 对应高 对应中线 对应角平分线
要点2 对应边的比
课后集训 巩固提升
1. A 2. C 3. B 4. D
5. 2∶1
6. 4
7. m
8. 22.5
9. 30
10. 解：(1)由题意知MN∥AB，∴△MNL∽△BAL.∴＝，即＝，＝，LD＝7m.答：拍摄点离景物有7m远.
(2)由题意，AB＝2m，LD＝4m，MN＝35mm，由(1)得＝，＝，LC＝70mm.答：相机的焦距应调整为70mm.
11. 解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，即HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝.
(2)设HE＝MD＝xcm，∵AD＝30cm，∴AM＝(30－x)cm，∵HG＝2HE，∴HG＝2xcm，∵＝，∴＝，解得x＝12，则2x＝24，∴矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm).
12. 解：(1)老虎能将公鸡送到吊环上.当老虎将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ，∵AB为△PHQ的中位线，AB＝1.2(m)，∴QH＝2.4＞2(m).
(2)支点A移动到跷跷板PQ的三分之一处(PA＝PQ)，老虎刚好能将公鸡送到吊环上.如题图，△PAB∽△PQH，＝＝，∴QH＝3AB＝3.6(m).
13. 解：(1)① ②1.8或2.5
(2)相似.理由如下：如图所示，由折叠可知EF⊥CD，∴∠2＋∠3＝90°.又∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3.∵D是AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∴∠1＝∠A，∴∠3＝∠A.又∵∠ECF＝∠BCA，∴△CEF∽△CBA.
14. 解：(1)设正方形边长为x.∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB.∴＝，即＝，解得x＝.
(2)同理＝，∴＝.∴x＝.
