沪科版数学九年级上册同步课时训练
第二十二章 相似形
22.4 图形的位似变换
第1课时 位似图形
自主预习 基础达标
要点1 位似图形的概念
如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线 ，这样的相似变换叫做位似变换.这样的两个多边形叫做位似图形.每组 的连线都经过的点叫做位似中心.
要点2 位似图形的性质
位似图形除了具有相似图形的性质外，还有以下性质：
(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ；
(2)不经过位似中心的对应线段 .
要点3 位似图形的画法
画位似图形的步骤如下：
(1)确定 ；
(2)作过图形上各点与位似中心的射线；
(3)按 取点；
(4)顺次连接各点.所得的图形就是所求作的图形.
课后集训 巩固提升
1. 观察下列各组图形，它们之间不是位似关系的是( )
A B C D
2. 下列说法中正确的是( )
A. 全等图形一定是位似图形
B. 相似图形一定是位似图形
C. 位似图形一定是全等图形
D. 位似图形是具有某种特殊位置关系的相似图形
3. 将△ABC的三边缩小为原来的，得到对应的△DEF，下列说法正确的个数是( )
①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF周长比为2∶1；④△ABC与△DEF面积比为4∶1.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 如图所示，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为( )
A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶5 D. 1∶9
第4题 第5题
5. 如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )
A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N
6. 用画位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心( )
A. 只能选在原图形的外部 B. 只能选在原图形的内部
C. 只能选在原图形的边上 D. 可以选择任意位置
7. 如图所示，已知AB∥CD，AC与BD相交于点O，EF过点O，交AB，CD分别于点F，E，则图中位似图形有 组，它们分别是 .
第7题 第8题
8. 如图所示，点O是等边△PQR的中心，P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，则△P′Q′R′与 是位似图形，它们的位似比是 ，位似中心是点 .
9. 如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，A为位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，则矩形ABCD的面积为 .
第9题 第10题
10. 如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中图形的高度为6cm，则屏幕上的图形的高度为 cm.
11. 如图所示，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2cm，则A′B′＝ cm，并在图中画出位似中心.
12. 如图，在正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O为位似中心将其放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1(不要求写作法).
13. 作一个四边形A′B′C′D′与如图所示的四边形ABCD位似，相似比为，位似中心为点O.
14. 如图，点O是△ABC内一点，A′，B′，C′分别是OA，OB，OC的中点.
求证：△A′B′C′与△ABC是位似三角形.
15. 如图，△OAB与△ODC是位似图形.试问：
(1)AB与CD平行吗？请说明理由.
(2)如果OB＝3，OC＝4，OD＝3.5，试求△OAB与△ODC的相似比及OA的长.
16. 如图所示，如果AC∥BD，CE∥DF，那么，
(1)△OAE与△OBF是否相似？是否位似？
(2)△ACE与△BDF是否位似？
17. 在数学活动中，林老师按如下的步骤进行操作：如图(1)，①在△AOB内画任意等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作C′E′∥CE，交OA于点C′，作D′E′∥DE，交OB于点D′，连接C′D′.林老师告诉同学们△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形.
(1)请证明林老师的结论；
(2)仿照林老师的操作步骤，请在图(2)中作出内接正方形CDEF，要求DE在OB上，点C，F分别在OA，AB边上.(不需要写作图过程，画出图形即可)
图(1) 图(2)
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 交于一点 对应顶点
要点2 (1)位似比 (2)互相平行
要点3 (1)位似中心 (3)位似比
课后集训 巩固提升
1. C 2. D 3. D 4. D 5. A 6. D
7. 3 △EOD与△FOB，△COE与△AOF，△DOC与△BOA
8. △PQR 1∶2 O
9. 32
10. 18
11. 解：4 图略
12. 解：连接OA，OB，OC，OD并延长到点A′，B′，C′，D′，使OA′，OB′，OC′，OD′的长度是OA，OB，OC，OD长度的2倍，再顺次连接各点.图略.
13. 解：如图所示，作法：连接AO，DO，BO，CO在AO上找一点A′使得OA′＝OA同理OD′＝OD，OC′＝OC，OB′＝OB，依次连接A′D′，D′C′，C′B′，A′B′，四边形A′B′C′D′就是所求作的四边形ABCD的位似图形.
14. 证明：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，∴A′B′∥AB，同理得A′C′∥AC，B′C′∥BC.∴＝＝，＝＝.∴＝＝，又△ABC与△A′B′C′对应点的连线都经过点O，∴△A′B′C′与△ABC是位似三角形.
15. 解：(1)AB∥CD.理由：∵△OAB与△ODC是位似图形，AB的对应边是CD，根据位似性质知AB∥CD.
(2)△OAB中OB的对应边是△ODC中的OC，故△OAB与△ODC的相似比为＝；＝，得OA＝.
16. 解：(1)△OAE与△OBF相似且位似.∵AC∥BD，∴＝.又∵CE∥DF，∴＝，∴＝，∴AE∥BF.∴△OAE∽△OBF.又∵△OAE和△OBF对应点的连线都经过点O，∴△OAE与△OBF位似.
(2)△ACE与△BDF位似.由(1)得AE∥BF，∴＝.又∵AC∥BD，∴＝＝.又∵CE∥DF，∴＝，∴＝＝.∴△ACE∽△BDF.又∵△ACE和△BDF对应点的连线都经过点O，∴△ACE与△BDF位似.
17. (1)证明：∵C′E′∥CE，D′E′∥DE，∴＝，＝，∠CEO＝∠C′E′O，∠DEO＝∠D′E′O，∴＝，∠CED＝∠C′E′D′，∴△CDE∽△C′D′E′.又∵△CDE是等边三角形，∴△C′D′E′是等边三角形，∴△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形.
