课题
向量数量积的物理背景与定义
编号
1
授课教师
课型
新授
课时
1
使用日期
2019.4.15
授课班级
授课节次
2
应到人数
实到人数
缺勤名单及原因
学 习
目 标
知识与技能：（1）、掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.
（2）、会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
过程与方法：（1）通过物理学中同学们已经学习过的功的概念引导学生探究出数量积的定义并由定义探究性质；
（2）由功的物理意义导出数量积的几何意义.
情感态度与价值观：通过本节的自主性学习，让学生尝试数学研究的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于培养学生的核心素养，树立正确的数学观。
教材
分析
教学重点：向量夹角的定义、数量积的定义
教学难点：数量积的应用
教具学具：多媒体、手机、几何画板、喀秋莎录像软件
教学
环节
教学活动过程
学习内容
学生活动
教师活动
创设
情境
明确
目标
（5分钟）
探究新知：（通过画图软件和微课的形式展示本节重难点，可以使学生对知识点产生兴趣并准确把握本节精髓）
1.两个向量夹角的定义
已知两个非零向量a，b，作 ＝a， ＝b，
则 ∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定它的范围是 0≤〈a，b〉≤π .
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝ 〈b，a〉 .
(2)当 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b
2.向量数量积的定义
|a||b|cos〈 a，b 〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，
即a·b＝|a||b|cos〈 a，b 〉.
3.两个向量内积有如下重要性质
(1)a⊥b?a·b＝ ，且a·b＝ ?a⊥b(a≠0，b≠0).
(2)a·a＝ 或|a|＝ .
(3)cos〈a，b〉＝ (|a||b|≠0).
例1 在三角形ABC中，∠ABC=45度，向量BA与向量BC的夹角是多少？?向量BA与向量CB的夹角呢？
例2 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.
一题多变：
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a·b＝10；(2)a·b＝-10，分别求a与b的夹角.
已知|a|＝4，a与b的夹角为30°，a·b＝ ，求|b|？
课前预习、观看微课、独立思考、小组讨论
播放微课、引导学生给出定义
检测
反馈
达成
目标
（ 10 分钟）
自主完成并小组讨论
引导学生独立解决问题
总结
拓展
强化
目标
（5 分钟）
1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos(的符号所决定。
2、两个向量的数量积称为内积，写成a(b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积书写时要严格区分。
3、在实数中，若a(0，且a(b=0，则b=0；但是在数量积中，若a(0，且a(b=0，不能推出b=0。因为其中cos(有可能为0。
巩固强化目标
回顾总结
作业：
完成学案导学有关习题
学习
反思
课件18张PPT。课程名称：向量数量积的物理背景与定义
学科：数学
年级：高一
版本：人教版-必修四
题型探究预习导学内容索引当堂训练课堂小结预习导学两个向量夹角的定义
(1)已知两个非零向量a，b，作 ＝a， ＝b，
则 称作向量a和向量b的夹角，记作 ，并规定它的范围是
.
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝ .
(2)当 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 .探究新知：∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π〈b，a〉a⊥b知识点二 向量的数量积(内积)思考 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？ 答案答案 W＝|F||s|cos θ.向量数量积的定义：
叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈 a，b 〉.探究新知：|a||b|cos〈 a，b 〉知识点二 向量的数量积(内积)思考：a·b＝|a||b|cos〈 a，b 〉 1.向量数量积运算的结果与向量加法、减法、数乘运算的结果有什么不同？
2.向量数量积的符号取决于什么？两个向量内积有如下重要性质
(1)a⊥b?a·b＝ ，且a·b＝ ?a⊥b.
(2)a·a＝ 或|a|＝ .
(3)cos〈a，b〉＝ (|a||b|≠0).
梳理00|a|2题型探究 求两向量的夹角例1 在三角形ABC中，∠ABC= ，向量BA与向量BC的夹角是多少？?向量BA与向量CB的夹角呢？
求两向量的数量积例2 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.
解 (1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，
∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°一题多变1.已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a·b＝10；(2)a·b＝-10，分别求a与b的夹角.
2.已知|a|＝4，a与b的夹角为30°，a·b＝ ，求|b|？当堂训练1. （）
5.已知正三角形ABC的边长为1，求： A 锐角三角形 B 直角三角形
C 钝角三角形 D 不能确定A 锐角三角形 B 直角三角形
C 钝角三角形 D 不能确定3.已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b课堂小结1.两个向量夹角的定义：
已知两个非零向量a，b，作 ＝a， ＝b，
则 称作向量a和向量b的夹角，记作 ，并规定它的范围是
.
2.向量数量积的定义：
|a||b|cos〈 a，b 〉 叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，
即a·b＝|a||b|cos〈 a，b 〉.
∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π作业：必做：练习A1、2；
选做：练习B2 只要时刻保持一份自信、一颗不息的奋斗雄心，生命的硕果就会如影随行。向量数量积的物理背景与定义评测练习
例1、已知，在下列条件下，分别求
（1）
（2）
（3）的夹角为
变式训练：在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则（ ）
A. B. C. D.
类型二、平面向量夹角与模
例2、已知向量夹角为45°，且，求
变式训练：
若，则向量，的夹角为（ ）
A B C D
（2）已知向量不超过5，则k的取值范围为（ ）
A [4，6] B [6，4] C [6，2] D [2，6]
（3）已知向量是两个非零向量，同时满足，则是 。
