5.1.2 垂线 教案（表格式）

5．1　相交线
2.垂线
课题
2.垂线
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.使学生理解垂线的概念及表示、垂线的性质和点到直线的距离等概念.
2.在理解概念的基础上，使学生会用三角尺或量角器画垂线，掌握点到直线的距离的测量方法.
3.逐步训练学生正确使用几何符号、几何语言，逐步熟悉一步推理的格式．
数学思考
　　通过作图，把抽象的几何知识转化为具体的平面模型，提高了学生动手动脑的能力，同时更加清晰地认识到点到直线的所有线段中，垂线段最短．
问题解决
　　提高学生观察理解能力、几何语言能力、画图能力、抽象思维能力，以及运用知识解决实际问题的能力．
情感态度
　　通过创设情境，利用变式训练等多种教学手段来激发学生的学习兴趣，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会．
教学
重点
　　垂线的概念、画法和垂线的两个性质．
教学
难点
　　垂线的画法．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体，量角器，三角板，直尺，相交线模型
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
问题1：如图5－1－52，(1)∠AOC的对顶角是哪个角，这两个角的关系怎样？
(2)∠AOC的邻补角有几个，是哪几个角？

图5－1－52 图5－1－53
问题2：如图5－1－53，当∠AOC＝90°时，∠AOD，∠DOB，∠BOC各等于多少度？为什么？直线AB，CD的位置关系怎样？
问题1是巩固对顶角和邻补角的相关知识，在此基础上完成问题2的内容，从而初步认识垂直，为新课作好铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
教师出示相交线的模型，演示模型，学生观察思考：固定木条a，转动木条b，当b的位置变化时，a，b所成的角α是如何变化的？
图5－1－54
创设情境，引导探究从一般到特殊，借助于教具、模型、教学手段，使学生先得到直观的感性认识.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】垂线的概念
1．垂线的定义
(1)如上图，直线a不动，当直线b转到什么位置时，两条直线互相垂直？
(2)转动木条b时，它和不动的木条a互相垂直的位置有几个？
(3)当a，b相交有一个角是直角时，其他三个角呢？
通过模型展示及学生交流应使学生明白：当b的位置变化时，α从锐角变为钝角，其中α是直角是特殊情况．其特殊之处还在于：当α是直角时，它的邻补角、对顶角都是直角，即a，b相交所成的四个角都是直角，都相等．
引导学生概括垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．
辨析：“互相垂直”与“垂线”：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名．如果说两条直线“互相垂直”，则其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”．
2．垂线的符号表示
垂直用符号“⊥”来表示，“⊥”读作“垂直于”．如图5－1－55，直线AB垂直于直线CD，垂足为O，则记为AB⊥CD，垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号．
图5－1－55
3．用垂线的定义进行推理
(1)如上图，你能说出由什么条件能知道AB与CD互相垂直吗？
板书：∵∠BOC＝90°(已知)，
∴AB⊥CD(垂直的定义)．
(2)如果AB⊥CD，那么可得到什么结论？
(填空)∵AB⊥CD于点O(已知)，
∴________________(垂直的定义)．
1．通过学生独立思考，动手操作，经历探索过程，发现结论，提高学生探索问题的能力．
2．让学生概括结论，可以培养学生的概括能力．
3．提高学生的符号意识．

活动
二：
实践
探究
交流
新知
4.课堂练习
判断以下两条直线是否垂直：
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
②两条直线相交所成的四个角相等；
③两条直线相交，有一组邻补角相等；
④两条直线相交，对顶角互补．
【探究2】垂线的画法
如图5－1－56，已知一条直线l，画出它的垂线：
图5－1－56
作图工具：直尺、三角板．
垂线的作图方法：如图5－1－57，把直尺放在直线上，三角板的直角边紧靠直尺上面，然后移动三角板到需要画垂线的位置，画出所需垂线，最后标注字母和直角符号，直线a就是直线l的垂线．
口诀：一放二靠三移四画五标
图5－1－57
学生练习画图：(1)经过直线AB上一点P，画出垂直于直线AB的直线．这样的垂线能画出多少条？
图5－1－58
根据垂线的画法，按照一放二靠三移四画五标的作图方法完成．
(2)如图5－1－38，经过直线AB外一点P，分别在两图中画出过点P垂直于直线AB的直线，这样的垂线分别能画出多少条？
图5－1－59
【探究3】垂线的性质
由上述画图操作，师生探究，得到一个关于垂线的基本事实：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
如图5－1－60，点A是直线l外一点，AB与直线l垂直，点B为垂足，点A到直线l上各点的距离长短不一，我们可以发现其中最短的线段应该是AB.线段AB叫做点A到直线l的垂线段．
图5－1－60
4.训练学生的推理能力．
5．通过学生动手操作画图，教师在教学中及时订正学生发生的错误，使学生更好地掌握画垂线的方法，训练学生以严谨的科学态度研究问题、解决问题．

性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
【探究4】点到直线的距离
定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图5－1－39，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离．
思考：在体育课中，怎样正确量出跳远的成绩？
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1　①直线AB垂直于CD，垂足为O，则直线AB与直线CD的位置关系是______，记作______，此时，∠AOD＝∠______＝∠______＝∠______＝90°.
②过一点有且只有______条直线与已知直线垂直．
③画一条线段或射线的垂线，就是画它们____________________的垂线．
④直线外一点到这条直线的__________________，叫做点到直线的距离．
例2　如图5－1－61，分别过点P作AB的垂线．
图5－1－61
1.例1的设置存在梯度，给予学生层次递进的学习过程．
2．学生不断质疑、解惑，不但完善了思维也提高了能力，使学生形成对知识的总体把握.
【拓展提升】
例3　如图5－1－62，过点P作AB的垂线．
图5－1－62
例4　如图5－1－63，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M，N是分别位于公路两侧的村庄．
图5－1－63
①设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到Q点时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置；
②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段，距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？
分析：①当汽车距离M最近时，相当于过点M画直线AB的垂线，垂足就是P点的位置，同理，过点N画直线AB的垂线，垂足就是Q点的位置；
3.进一步巩固垂线的概念及作图．
4．让学生运用垂线段最短的性质解决生活中的实际问题，让他们感受到数学来源于生活，从而增加他们学习数学的兴趣．
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
②可以观察图形发现，当处于AP路段时距离两村庄都越来越近，在处于PQ路段时距离M越来越远、距离N越来越近．
例5　如图5－1－64，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；
(2)若∠1＝∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．
图5－1－64
教师重点关注学生对待已解问题与未解问题的对比分析能力；给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到解答方法；鼓励学生大胆猜想，发表见解．
5.利用垂直进行有关的角度计算.
【达标测评】
1．如图5－1－65所示，下列说法不正确的是(　　)
图5－1－65
A．点B到AC的垂线段是线段AB
B．点C到AB的垂线段是线段AC
C．线段AD是点D到BC的垂线段
D．线段BD是点B到AD的垂线段
2．到直线l的距离等于2 cm的点有(　　)
A．0个　　B．1个　　C．无数个　　D．无法确定
3．如图5－1－66，过点C画线段AB或射线AB的垂线．
图5－1－66
4．如图5－1－67，O为直线AB上一点，∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOD的平分线．
(1)求∠COD的度数；
(2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由．
图5－1－67
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
活动
四：
课堂
总结
反思
1.课堂总结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说．
师生总结：①垂线的定义；②垂线的性质；③点到直线的距离．
2．布置作业：教材P165练习．
注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
【知识网络】
提纲挈领，重点突出．
【教学反思】
①[授课流程反思]
让学生能由实物的形状想象出垂线的几何模型，使新知识建立在对周围环境的直接感知的基础上．训练学生用数学的眼光研究实际问题，增强学生对数学模型的理解，提高学生学习数学的兴趣．
②[讲授效果反思]
本节采用“引导发现”法鼓励学生自己去发现、分析、解决问题，使学生在自己动手的基础上，发现垂线的性质，又借助于教具、实物、图形，从直观的感性认识抽象出数学概念，使他们成为探求知识的主体，同时还利用边讲边练的教学方法让学生对新课加以巩固理解．通过变式训练习题、开放性习题帮助学生逐步树立转化的思想和发展性思维．在授课过程中努力遵循由学生置疑—感知—概括—应用的原则，通过学生积极参与，使学生从被动的学习转化到主动探索和发现的过程中，使学生能感受到学习与探索的乐趣．
③[师生互动反思]
从课堂交流和课堂检测来看，学生能够运用直尺、三角板作垂线，并且效果很好．
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思，更进一步提升．