5.2.4平行线的判定与性质的综合应用 课件（30张PPT）

(共30张PPT)
5.2 平行线
平行线的判定与性质的综合应用
平行线的性质的应用
平行线的判定的应用
平行线的性质与判定的综合应用
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知识点
平行线的性质的应用
例1 如图，将一张长方形的纸片沿EF折叠后，点D，
C分别落在D′，C′位置上，ED′与BC的交点为
点G，若∠EFG＝50°，求∠EGB的度数．
导引：本题根据长方形的对边是平行的，利用平行线
的性质：两直线平行，内错角相等，先求
∠DEF＝50°，再根据折叠前后的对应角相等
求得∠D′EF＝50°，然后根据平角的定义得
∠AEG＝80°，最后根据两直线平行，同旁内
角互补求得∠EGB＝100°.
解：∵四边形ABCD是长方形(已知)，
∴∠A＝∠B＝90°(长方形的定义)．
∴∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠DEF＝∠EFG(两直线平行，内错角相等)．
∵∠EFG＝50°(已知)，
∴∠DEF＝50°(等量代换)．
∵∠DEF＝∠D′EF(折叠的性质)，
∴∠D′EF＝50°(等量代换)．
∴∠AEG＝180°－∠DEF－∠D′EF＝80°(平角的定义)．
又∵AD∥BC，
∴∠AEG＋∠EGB＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠EGB＝180°－∠AEG＝180°－80°＝100°.
总 结
解决折叠问题的关键是找到折叠前后相等的角，
然后熟练利用平行线的性质来求角的度数．
平移作图的一般步骤：
平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得
到许多美丽的图案，在具体作图时，应抓住作图的“四
部曲”——定、找、移、连．
(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接
点)；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对
应点；
(4)连：按原图顺次连接对应点．
例2 如图，四边形ABCD的顶点A移动到了A′处，
作出四边形ABCD平移后的图形．
导引：∵点A移动到了A′处，∴平移的
方向就是AA′方向，平移的距离
就是线段AA′的长度，要作出平移后的图形，需要先
作出点B，C，D的对应点B′，C′，D′，由“对应点
所连的线段平行且相等”可知，BB′∥CC′∥DD′∥
AA′，BB′＝CC′＝DD′＝AA′，据此可作出点B′，C′，
D′，再顺次连接A′，B′，C′，D′即可．
解：(1)连接AA′；
(2)分别过点B，C，D作BB′∥AA′，
CC′∥AA′，DD′∥AA′；
(3)在BB′上沿射线AA′的方向截取BB′＝AA′，
在CC′，DD′上按同样的方法截取CC′＝AA′，
DD′＝AA′；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，即得到
四边形ABCD平移后的图形，如图.
总 结
画平移图形的方法：首先分析题目的要求，找
出平移的方向和距离，再分析已知图形，确定构成
图形的关键点，然后根据平移方向和距离平移每个
关键点，最后顺次连接所作的每个关键点的对应点，
并标出相应的字母，得出平移后的图形．
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如图，直线AB∥CD，AF交CD
于点E，∠CEF＝140°，则∠A
等于(　　)
A．35° B．40°
C．45° D．50°
(中考 黄冈)如图，a∥b，∠1＝
∠2，∠3＝40°，则∠4等于
(　　)
A．40° B．50°
C．60° D．70°
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3
(中考 十堰)如图，AB∥CD，点E
在线段BC上，若∠1＝40°，∠2
＝30°，则∠3的度数是(　　)
A．70° B．60° C．55° D．50°
如图是我们生活中经常接触的小刀，
刀柄的外形是一个直角梯形(挖去一
个半圆形)，刀片上、下两边是平行
的，转动刀片时形成∠1、∠2，则
∠1＋∠2＝________.
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知识点
平行线的判定的应用
例3 如图所示，∠B＝∠D，∠CEF＝∠A.
试问CD与EF平行吗？为什么？
导引：1.要说明CD∥EF，我们无法找出相等的同位
角、内错角，也无法说明其同旁内角互补，
因此需找第三条直线与它们平行(即AB∥CD，
AB∥EF)，这都能由已知∠B＝∠D，
∠CEF＝∠A说明．
2.由已知∠B＝∠D，∠CEF＝∠A很容易就能
得出AB∥CD及EF∥AB，再由如果两条直线
都和第三条直线平行，那么这两条直线也互
相平行就可得到CD∥EF.
解：CD∥EF，理由：
∵∠B＝∠D，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
∵∠CEF＝∠A，
∴EF∥AB(同位角相等，两直线平行)．
∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平
行)．
总 结
找寻说明平行的方法：
1.分析法：由结论往前推，要说明这个结论成立需要什么样
的条件，一直递推到已知条件为止；(如导引1)
2.综合法：由已知条件一步一步往后推理，看这个已知条件
能推出什么结论，一直推导出要说明的结论为止；(如导引2)
注：当遇到复杂问题的时候，我们常常将分析法和综合
法同时进行，即由两头向中间推，寻找到中间的结合点．
例4 光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，
这种现象叫做光的折射现象．同样，光线从水
中射入空气中时，也会发生折射现象，一束光
线从空气射入水中再从水中射入空气中时，光
线的传播方向如图，其中，直线a，b都表示空
气与水的分界面．已知∠1＝
∠4，∠2＝∠3，请你判断光
线c与d是否平行？为什么？
导引：设光线在水中的部分为e，e与直线a所成的钝
角为∠5，e与直线b所成的钝角为∠6，只要
能说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6，则根据“内错
角相等，两直线平行”即可判定c∥d.
解：c∥d.理由如下：
如图，设光线在水中的部分为e.
∵∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，
∠2＝∠3，
∴∠5＝∠6(等角的补角相等)．
又∵∠1＝∠4，
∴∠1＋∠5＝∠4＋∠6.
∴c∥d(内错角相等，两直线平行)．
总 结
判断光线c与d是否平行，应首先解决两个关键问
题，一是把实物图抽象为“三线八角”的基本图形；
二是把直线c，d看作被直线e所截的两条直线．如此，
问题转化为说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6.
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如图，已知BE平分∠ABC，
CF平分∠BCD，∠1＝∠2，
那么直线AB与CD的位置关
系是________．
(改编 江西)一大门的栏杆如
图所示，BA垂直地面AE于A，
要使CD平行于地面AE，则
∠ABC＋∠BCD＝________度．
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知识点
平行线的性质与判定的综合应用
例5 如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，
则∠P与∠Q一定相等吗？说说你的理由．
导引：如果∠P和∠Q相等，那么PB∥
CQ，∴要判断∠P与∠Q是否相
等，只需判断PB和CQ是否平行．
要说明PB∥CQ，可以通过说明
∠PBC＝∠BCQ来实现，由于∠1＝∠2，因此
只需说明∠ABC＝∠BCD即可．
解：∠P＝∠Q.
理由如下：∵∠ABC与∠ECB互补(已知)，
∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)，
即∠PBC＝∠BCQ.
∴PB∥CQ(内错角相等，两直线平行)．
∴∠P＝∠Q(两直线平行，内错角相等)．
总 结
一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条
件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果
题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未
指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性
的数学问题．
例6 如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D的
大小关系如何？为什么？
导引：本题涉及两直线平行，要研究角之间的大小
关系，可考虑研究同位角、内错角和同旁内
角，可考虑作辅助线构造出同位角、内错角
和同旁内角解决问题．
解：∠BCD＝∠B－∠D.
理由：如图，过点C作CF∥AB.
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线平行)．
∴∠DCF＝∠D(两直线平行，内错角相等)．
∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF(等式的性质)．
∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，
∴∠BCD＝∠B－∠D.
总 结
已知图形中有平行线和折线或拐角时，常过折
点或拐点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁
内角，这样就可以利用角之间的关系求解．
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(中考 河南)如图，直线a，b
被直线c，d所截，若∠1＝
∠2，∠3＝125°，则∠4的
度数为(　　)
A．55° B．60° C．70° D．75°
如图，已知AB∥CD，∠1＝30°，
∠2＝90°，则∠3等于(　　)
A．60° B．50°
C．45° D．30°
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如图，如果AB∥DE，∠1＝∠2，那么AE∥
DC，请说明理由．
从图形中得出结论是图形的性质；而从具备
什么条件推理出图形是图形的判定；特别说明，
图形的定义既是图形的判定，也是图形的性质；
即：条件
结论.
图形