课件24张PPT。5.1 相交线垂线——垂线段垂线段
点到直线的距离
垂线段的基本事实1知识点垂线段1.垂线段的定义：在图所示的方格纸中，点A是直线l外
一点， AB与直线l垂直，点B为垂足.点A与直线l上各
点的距离长短不一，我们可以发
现其中最短的应该是线段AB, 线
段AB叫做点A到直线l的垂线段.2.垂线段最短，简单说成：垂线段最短．(过直线外一
点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，
叫这点到已知直线的垂线段)
3.垂线、垂直与垂线段的关系：
(1)区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂直是
两条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直
线垂直的线段．
(2)联系：垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线
段所在的直线与已知直线垂直．从直线外一点引一条直线的________线，这点和________之间的线段叫做垂线段．
2 下列说法正确的是( )
A．垂线段就是垂直于已知直线的线段
B．垂线段就是垂直于已知直线并且与已知直线相
交的线段
C．垂线段是一条竖起来的线段
D．过直线外一点向该直线作垂线，这一点到垂足
之间的线段叫垂线段
3 如图，下列说法不正确的是( )
A．点B到AC的垂线段是线段AB
B．点C到AB的垂线段是线段AC
C．线段AD是点D到BC的垂线段
D．线段BD是点B到AD的垂线段 2知识点点到直线的距离 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线
段的长度，叫做点到直线的距离． 例1 如图，P为直线l外一点，点A，B，C在直线l上，
且PB⊥l，垂足为B，∠APC＝90°，则错误的
语句是( )
A．线段PB的长度叫做
点P到直线l的距离
B．PA，PB，PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长度等于点P到直线l的距离
D．线段PA的长度叫做点A到直线PC的距离
C导引：A项是判断PB是不是点P到直线l的垂线段；B项
是判断PA，PB，PC中，哪条线段是点P到直线l
的垂线段；C项是判断AC是不是点P到直线l的垂
线段；D项是判断线段PA是不是点A到直线PC的
垂线段． 判断一条线段的长度是不是表示点到直线的距离，
关键是看这条线段是不是这个点到这条直线的垂线段，
判断是不是垂线段，一定要搞清哪个是直线外“一
点”，哪个是直线，垂直符号必须落在直线那头，而
不是点那头． 例2 如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥
AB，垂足为D.若AC＝4 cm，BC＝3 cm，AB＝
5 cm，则点A到直线BC的距离为______cm，点
B到直线AC的距离为______cm，点C到直线AB
的距离为______cm.432.4导引：根据点到直线的距离的定义可知，点A到直线BC
的距离是线段AC的长，点B到直线AC的距离是线
段BC的长，点C到直线AB的距离是线段CD的长．
因为三角形ABC的面积S＝
所以AC·BC＝AB·CD，进而可得CD＝2.4 cm. 正确理解点到直线的距离及两点间的距离是解决
此类问题的关键．解决此类问题应注意：(1)点到直线
的距离是点到直线的垂线段的长度，而不是垂线，也
不是垂线段；(2)距离表示线段的长度，是一个数量，
与线段不能等同；(3)用垂线段的长度表示点到直线的
距离，其实质是点与垂足两点间的距离，体现了数形
结合思想． 1 (中考·厦门)如图，三角形ABC是锐角三角形，过
点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距
离是( )
A．线段CA的长
B．线段CD的长
C．线段AD的长
D．线段AB的长 2 如图，是一名跳远运动员跳落沙坑时的痕迹，则表
示该运动员成绩的是( )
A．线段AP1的长
B．线段BP1的长
C．线段AP2的长
D．线段BP2的长3知识点垂线段的基本事实 例3 如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB上由A
向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，
设汽车行驶到点P位置时，离村庄M最近，行驶
到点Q位置时，离村庄N最近，请你在AB上分别
画出P，Q两点的位置．解：P，Q两点的位置如图所示．例4 (实际应用题)如图，平原上有A，B，C，D四个
村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修
建一个蓄水池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位
置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？
并说明根据．解：(1)如图，连接AD，BC，交于点H，则H点为蓄水池
的位置，它到四个村庄距离之和最小．
(2)如图，过点H作HG⊥EF，垂足为G，则沿HG开
渠最短．根据：连接直线外一点与直线上各点的
所有线段中，垂线段最短． 本题考查了垂线段的性质在实际生活中的运用．
体现了建模思想的运用． 1 如图，计划在河边建一水厂，过C点作CD⊥AB于D
点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，
这样设计的依据是____________________． 2 如图，在三角形ABC中，∠BCA＝90°，BC＝3，
AC＝4，AB＝5.点P是线段AB上的一动点，则线
段CP的最小值是________． 3 如图，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P
可以在直线BC上自由移动，则AP的长不可能是
( )
A．2.5 B．3 C．4 D．5知3－练
垂线、垂线段和点到直线的距离的区别与联系：
区别：它们是三个不同的概念，不能混淆，垂线是直线；
垂线段是线段；点到直线的距离是垂线段的长度，是一
个数量．
联系：它们都与垂直相联系．课件27张PPT。5.1 相交线垂线——垂线的定义与性质垂直的定义
垂线的画法
垂线的基本事实1知识点垂直的定义1.定义：当两条直线AB和CD所构成的四个角中有一个
为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线
AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”，其中一条直
线叫做另一条直线的垂线，它们
的交点 O叫做垂足．如图.2.推理格式：
因为∠AOC＝90°(已知)，
所以AB⊥CD(垂直定义)．
反过来：因为AB⊥CD(已知)，
所以∠AOC＝90°(垂直定义)．导引： 要判断OE，OF是什么位置关
系，其实质是说明OE，OF是
否垂直，即要看∠EOF是否为
90°；要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝
∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题
转化为说明∠AOE＝∠COF(已知)了．例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射
线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．解：射线OE，OF互相垂直．理由如下：
因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°.
又因为∠AOE＝∠COF，
所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，
即∠AOC＝∠EOF＝90°.
所以OE与OF互相垂直(垂直定义)． 判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要
依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四
个角中有一个角是直角即可．导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角，
且∠BOD与∠BOE互余，即可
求出∠AOC的度数；根据OD平
分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋2∠BOD即可求出
∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得
∠AOF的度数．例2 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，
OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF. 如果∠BOE＝
50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数．解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定义)．
因为∠BOE＝50°，
所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝
90°－50°＝40°.
因为OD平分∠BOF，
所以∠BOF＝2∠BOD＝80°.
所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°，
∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.1.本题解题思路可概括为“顺藤摸瓜”，即由已知条
件 OE⊥CD入手，根据对顶角、邻补角、角平分线
的有关知识，逐步深入求得各角的度数．
2.已知两条直线垂直或已知一条直线的垂线时，能直
接得到90°的角，因此利用这个条件，并与角平分
线、余角、补角、邻补角、对顶角等知识相结合，
可求出图中其他未知各角的度数．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是___
时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫
做另一条直线的________，它们的交点叫做______．
2 垂直定义的应用格式：如图，
(1)因为∠AOC＝90°，所以______．
(2)因为AB⊥CD，所以∠AOC＝_____°.
3 如图，CD⊥EF，∠1＝∠2，则AB⊥EF.请说明理由
(补全解题过程)．
解：因为CD⊥EF，
所以∠1＝________(垂直的定义)．
因为∠2＝∠1，所以∠2＝________，
所以AB________EF(垂直的定义)．4 如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC＝27°，则
∠BOD的度数是( )
A．117° B．127°
C．153° D．163°
2知识点垂线的画法1.试一试： 经过直线AB外一点P，按图所示的两种方法，
画出垂直于直线AB的直线.这样的垂线能画多少条呢？
如图,你能经过直线AB上一点P，画出垂直于直线AB
的直线吗？这样的垂线能画多少条呢？2.垂线的画法
经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线，
步骤如下：
(1)靠线：让直角三角尺的一条直角边与已知直线重合；
(2)过点：沿直线移动，使直角
三角尺的另一条直角边经过
已知点；
(3)画线：沿直角边画线，则这
条直线就是经过这个点的已
知直线的垂线．如图.例3 如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请
你按照下列要求画图：
(1)过M点画直线AB的垂线m；
(2)过M点画直线BC的垂线n；
(3)过M点画直线AC的垂线p.导引：观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画
已知直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知
直线的垂线，所以按照“一靠、二过、三画”
的方法画图即可．
解：画出的直线m，n，p如上页图. 过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知
点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角
是90°. 1 下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法
正确的是( ) 2 下列说法正确的是( )
A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，
垂足一定在该直线上
B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段
或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上
C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射
线的垂线
D．过直线外一点与直线上一点画的一条直线与该
直线垂直3知识点垂线的基本事实关于垂线的基本事实：
(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直．
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短，简单说成：垂线段最短．(过直线外一点画已
知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫这点
到已知直线的垂线段) 例4 如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引
到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：
方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别
为点 E，F，沿CE，DF铺设管道；
方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管
道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？
为什么？(忽略河流的宽度)
导引：要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度尽可能
短．方案一中CE，DF是垂线段，而方案二中PC，
PD不是垂线段，所以CE＜PC，DF＜PD，所以CE
＋DF＜PC＋PD，所以方案一更节省材料．
解：按方案一铺设管道更节省材料，理由如下：
因为CE⊥AB，DF⊥AB，CD不垂直于AB，
所以根据“垂线段最短”可知，CE＜PC，DF＜PD，
所以CE＋DF＜PC＋PD.
所以沿CE，DF铺设管道更节省材料． 本题主要利用“垂线段最短”来解决实际问题，
解这类求最短距离问题时，要注意“垂线段最短”与
“两点之间，线段最短”的区别，辨明这两条性质的
应用条件：点到直线的最短距离，两点间的最短距离；
正确运用解题方法． 1 在同一平面内，下列语句正确的是( )
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．和一条直线垂直的直线有两条
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两直线相交，则一定垂直如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取
一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线
能折出( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
以下几个方面由学生自己总结:
① 垂线的定义及垂直的符号表示;
② 垂线的有关性质;
③ 过一点作已知直线的垂线的方法.
