课件34张PPT。5.2 平行线平行线的判定
——利用“内错角、同旁内角”判定由“内错角相等”判定两直线平行
由“同旁内角”判定两直线平行1知识点由“内错角相等”判定两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，
那么这两条直线平行．
简称：内错角相等，两直线平行．
表达方式：如图：
∵∠1＝∠2(已知)，
∴a∥b(内错角相等，
两直线平行)． 例1 如图，直线a、b被直线l所截，已知 ∠1
=115°，∠2=115°，
直线a、b平行吗？
为什么？
分析：由已知条件可得∠1=∠2.根据内错角相等，
两直线平行，可知a∥b.
我们用符号“∵”、 “∴”分别表示“因
为”、“所以”，于是分析中的推理过程
就可以写成如下形式.解： ∵∠1 =115°，∠2=115°（已知），
∴ ∠1 =∠2（等量代换），
∴ a∥b(内错角相等，两直线平行).
括号内所写的，就是括号前这一结论
成立的理由.
等量代换以及等式的性质是我们常用的
推理依据. 例2 如图，∠AEF＝∠EFC，则下列结论中正 确
的是( )
A．AD∥BC
B．AB∥CD
C．AD∥EF D．EF∥BC
导引：∠AEF和∠EFC是直线AB,CD被直线EF所截
得到的内错角，根据“内错角相等，两直线平
行”可知，AB∥CD.B利用内错角相等来判定两直线平行的方法：
(1)看两角是不是两直线被第三条直线截得的角；
(2)看两角是不是由上述直线形成的内错角，若是，
看其是否相等．若相等，则两条直线平行． 例3 如图，已知∠ADE＝60°，DF平分∠ADE，
∠1＝30°，试
说明：DF∥BE.
导引：要想说明DF∥BE，可通过说明∠1＝∠EDF
来实现，∵∠1＝30°，∴只需求出∠EDF＝
30°，而这个结论可通过DF是∠ADE的平分
线来求得．解：∵DF平分∠ADE(已知)，
∴∠EDF＝ ∠ADE(角平分线的定义)．
又∵∠ADE＝60°，
∴∠EDF＝30°.
又∵∠1＝30°(已知)，
∴∠EDF＝∠1，
∴DF∥BE(内错角相等，两直线平行)．
要判定两直线平行可以通过说明同位角相等
或内错角相等来实现，至于到底选用同位角还是
选用内错角，要看具体的题目，要尽可能与已知
条件联系．如图，由∠2＝∠D，得到的一组平行线是________；由∠1＝∠D，得到的一组平行线是____________．
1如图．
(1)如果∠3＝∠B，那么________∥________，
根据是________________________；
(2)如果∠3＝∠D，那么________∥________，
根据是________________________；
(3)如果要使BE∥DF，
必须∠1＝________，
根据是__________ _．
2(中考·福州)下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是( )3如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，若要使AB∥CD，则需要添加的条件是( )
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠3＝∠4 D．∠4＝∠5
42知识点由“同旁内角”判定两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，
那么这两条直线平行．
简称：同旁内角互补，两直线平行．?
表达方式：如图：
∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
∴a∥b(同旁内角互补，两
直线平行)． 例4 如图，在四边形ABCD中，已知∠B=60°,
∠C=120°，AB
与CD平行吗？AD
与BC平行吗？
解： ∵∠B=60°, ∠C=120°（已知），
∴∠B+∠C=180°（等式的性质），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
本题中，根据已知条件，无法判定AD与
BC是否平行. 例5 如图，直线AE，CD相交于点O，如果∠A＝
110°，∠1＝70°，就可以说明AB∥CD，
这是为什么？
?
导引：由题意可知∠1＝∠AOD＝70°，又∵∠A＝
110°,∴∠A＋∠AOD＝180°,故 AB∥CD.解：∵∠1＝∠AOD(对顶角相等)，∠1＝70°，
∴∠AOD＝70°.
又∵∠A＝110°，
∴∠A＋∠AOD＝180°(等式的性质)．
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
1．本题运用数形结合思想．平行线的判定是由角之间
的数量关系到“形”的判定．要判定两直线平行，可
围绕截线找同位角、内错角或同旁内角，若同位角
相等、内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行．
2．用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补中的一
个方法说明两直线平行时，一般都要通过结合对顶角、
邻补角等知识来说明． 例6 如图，∠1＝65°，∠2＝65°，∠3＝115°，试
说明(1)DE∥BC； (2)DF∥AB.
根据图形，完成下列推理：
(1)∵∠1＝65°，∠2＝65°，
∴∠1＝∠2.
∴_____∥_____( )．
(2)∵AB，DE相交，∴∠1＝∠4( )．
∴∠4＝65°，又∵∠3＝115°，
∴∠3＋∠4＝180°，
∴_____∥____( )．同旁内角互补，两直线平行
DEBC同位角相等，两直线平行对顶角相等DFAB∠1与∠2是直线DE，BC被直线AB所截得到的同
位角，∴DE∥BC，理由是“同位角相等，两直线
平行”．∠1与∠4是两条直线AB与DE相交得到的
对顶角，∴∠1＝∠4，理由是“对顶角相等”，
∠3与∠4是直线DF，AB被直线DE所截得到的同
旁内角，∴DF∥AB，理由是“同旁内角互补，两
直线平行”．导引：(1)由两角相等或互补关系，判定两条直线平行，其
关键是找出两个角是哪两条直线被哪一条直线所
截而成的角．
(2)是选用两角相等，还是选用互补关系说明两直线
平行，应根据实际图形，灵活运用其中一种方法
说明．
判定两直线平行的方法：
方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两
条直线就是平行线．
方法二：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这
两条直线也互相平行．
方法三：同位角相等，两直线平行．
方法四：内错角相等，两直线平行．
方法五：同旁内角互补，两直线平行．
方法六：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直
线平行． 例7 如图，直线MN和直线AB，CD，EF分别交于点
G，H，P，∠1＝∠2，
∠2＋∠3＝180°，试问：
AB与EF平行吗？为什么？
导引：要说明AB∥EF，我们无法找出这两条直线被
MN所截的角相等或互补的条件，因此可考虑这
两条直线是否同时与第三条直线CD平行；即只
需说明AB∥CD，EF∥CD即可．平行．
∵∠1＝∠2，∠1＝∠BGH，
∴∠2＝∠BGH(等量代换)，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
∵∠2＋∠3＝180°，∠3＝∠HPF，
∴∠2＋∠HPF ＝180°(等量代换)．
∴CD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
∴AB∥EF(如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行)．解： 在判定两条直线互相平行的问题中，如果不能
直接根据平行线的判定方法得出结论，可根据题目
中的已知条件与哪些判定方法的条件相同或相关联，
运用转化思想(用第三条直线作中介)将问题进行转
化(同平行于第三条直线或同垂直于第三条直线)，
使之满足平行线的判定方法． 例8 如图所示，∠B＝∠D，
∠CEF＝∠A.试问CD
与EF平行吗？为什么？
导引：1.要说明CD∥EF，我们无法找出相等的同位
角、内错角，也无法说明其同旁内角互补，
因此需找第三条直线与它们平行(即AB∥CD，
AB∥EF)，这都能由已知∠B＝∠D，∠CEF
＝∠A说明． 2.由已知∠B＝∠D，∠CEF＝∠A很容易就能得出
AB∥CD及EF∥AB，再由如果两条直线都和第三
条直线平行，那么这两条直线也互相平行就可得到
CD∥EF.
解：CD∥EF，理由：
∵∠B＝∠D，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
∵∠CEF＝∠A，
∴EF∥AB(同位角相等，两直线平行)．
∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)．找寻说明平行的方法：
1．分析法：由结论往前推，要说明这个结论成立需要
什么样的条件，一直递推到已知条件为止；(如导引1)
2．综合法：由已知条件一步一步往后推理，看这个已知
条件能推出什么结论，一直推导出要说明的结论为止；
(如导引2)
注：当遇到复杂问题的时候，我们常常将分析法和综合法
同时进行，即由两头向中间推，寻找到中间的结合点．如图，若∠1＝100°，∠4＝80°，则__________，理由是____________________；若∠3＝70°，则∠2＝________时，也可推出AB∥CD.
1(中考·黔南州)如图，下列说法错误的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c
D．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c2(中考·长春)如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转( )
A．15° B．30° C．45° D．60°3如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定BC∥AD的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠DAB＋∠D＝180°
C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠DCE
4 1.由“内错角相等”判定两直线平行：内错角相等，
两直线平行.
2.由“同旁内角”判定两直线平行：同旁内角互补，
两直线平行.课件21张PPT。5.2 平行线平行线的判定
——利用“同位角、垂直于第三直线”判定由“同位角相等”判定两直线平行
由“垂直于第三直线”判定两直线平行 要判定两条直线互相平行，我们无法依据它
的定义，判断这两条直线在无限延长的过程中是否
永远不相交.那么从前面画平行线的过程，我们可
以得到什么启示呢？1知识点由“同位角相等”判定两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么
这两条直线平行．
简称：同位角相等，两直线平行．
表达方式：如图：
∵∠1＝∠2(已知)，
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 例1 如图，已知∠1＝∠2，则下列结论正确的是( )
A．AD∥BC B．AB∥CD
C．AD∥EF D．EF∥BC
导引：要判定哪两条直线平行，就是要确定∠1，∠2
是哪两条直线被第三条直线
截得到的同位角, 即找出∠1，
∠2除公共边所在直线外的另
两边所在直线．
C利用同位角相等来判定两直线平行的方法：
首先要找出这对同位角是哪两条直线被第三条直线
所截形成的；再根据“同位角相等，两直线平行”推
导出这两条直线平行． 例2 如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，
∠1＋∠2＝180°.
AB与CD平行吗？
请说明理由．
导引：要说明AB与CD平行，需找出AB，CD被第三条
直线所截形成的一组同位角相等，即要说明∠1
＝∠3即可；要说明∠1＝∠3，由于已知∠1＋
∠2＝180°，因此只需说明∠2＋∠3＝180°即
可，这可由邻补角定义得出．解： AB∥CD.理由如下：
∵∠1＋∠2＝180°，
∠2＋∠3＝180°(邻补角定义)，
∴∠1＝∠3(同角的补角相等)．
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
判断两条直线是否平行，可以找出这两条直
线被第三条直线所截得到的一对同位角，并利用
相关角的条件判断其是否相等，如果相等，那么
这两条直线平行．
如图，若∠1＝110°，当∠2＝________时，a∥b.
如图，如果∠1＝∠2，则________∥________；
如果∠2＝∠3，则________∥________.
12如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为________，理由是_______________________．
3如图，CD平分∠ACE，且∠B＝∠ACD，可以得出的结论是( )
A．AD∥BC B．AB∥CD
C．CA平分∠BCD D．AC平分∠BAD
42知识点由“垂直于第三直线”判定两直线平行判定方法：在同一平面内，垂直于同一条直线的两
条直线平行．
表达方式：如图：直线a，b，c在同一平面内．
∵b⊥a，c⊥a，
∴b∥c.例3 如图，在同一平面内，直线CD、EF均与直
线AB垂直，D、F为垂足.试判断CD与EF是
否平行.解：∵ CD ⊥AB，EF⊥AB（已知），
∴∠ADC=∠AFE=90°，
∴ CD∥ EF（同位角相等，两直线平行）.例4 如图，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D，
∠1＝∠2.
(1)请说明AB∥CD的理由；
(2)试问BM与DN是否平行？为什么？导引：(1)要说明AB∥CD，方法很多，本题中AB⊥EF，
CD⊥EF，则根据同一平面内垂直于同一条直线
的两条直线平行可得到结论；(2)要说明BM与DN
是否平行，可观察一对同位角∠MBE和∠NDE是
否相等，由于∠ABE＝∠CDE，∠1＝∠2，因此
根据等式性质可得∠MBE和∠NDE相等，从而得
到BM∥DN.
解： (1)∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的
两条直线平行)．
(2)BM∥DN.
理由如下：∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2(等式的性质)，
即∠MBE＝∠NDE，
∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)． ∠1和∠2不是同位角，不能误认为∠1和∠2是
同位角，直接得出BM∥DN，要得到BM∥DN，应
说明∠MBE＝∠NDE.如图，木工师傅利用直角尺在木板上画出两条线段，则线段AB________CD.
1在同一个平面内，不重合的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一条边( )
A．互相平行 B．互相垂直
C．共线 D．互相平行或共线
2判定两直线平行的方法：
(1)利用平行线的定义判定；
(2)利用“同位角相等，两直线平行”判定；
(3)利用“第三直线”(平行或垂直)判定．
