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必修五第一章章末测试
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70°
B．a＝30，b＝25，∠A＝150°
C．a＝7，b＝8，∠A＝98°
D．a＝14，b＝16，∠A＝45°
解析：A中已知两角与一边，有唯一解；B中，a＞b，且∠A＝150°，也有唯一解；C中b＞a，且∠A＝98°为钝角，故解不存在；D中由于b·sin 45°＜a＜b，故有两解．
答案：D
2．在△ABC中，A＝60°，b＝6，c＝10，则△ABC的面积为( )
A．15 B．15
C．15 D．30
答案：B
3．△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，C为钝角，则x的取值范围是( )
A．x<5 B．5
C．1解析：由已知条件可知x<3＋4且32＋42∴5答案：B
4．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，cos A＝－.则sin B的值为( )
A．1 B．
C. D.
解析：在△ABC中，sin A＝＝＝.∵＝，∴sin B＝·sin A＝×＝.
答案：D
5．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A. B．3
C. D．5
解析：c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴c＝.
答案：A
6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )
A. B．
C. D.
解析：b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a.
∴cos B＝＝.
答案：B
7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＝(1－cos B)，则sin A的值为( )
A. B．
C. D.
解析：由sin B＝(1－cos B)，得sin＝.又0＜B＜π，得B＝，由＝?sin A＝.
答案：C
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝3，
B＝30°，若加一个条件，使△ABC唯一，则可加的条件是( )
A．A≠60°
B．A≠150°
C．△ABC是钝角三角形
D．△ABC是锐角三角形
解析：由正弦定理，得＝，得sin C＝，则C＝60°或C＝120°，由此可得A＝90°或A＝30°，则当△ABC是钝角三角形时，A＝30°，确定唯一的△ABC.
答案：C
9．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A．1 km B．2sin 10° km
C．2cos 10° km D．cos 20° km
解析：如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1 km，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理＝，∴AD＝AB·＝＝2cos 10°(km)．
答案：C
10．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为( )
A. B．
C. D.
解析：∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝＝，∴C＝.
答案：B
11．在△ABC中，已知BC＝5，外接圆半径为5.若·＝，则△ABC的周长为( )
A．11 B．9
C．7 D．5
解析：由正弦定理，得＝2×5，∴sin A＝，∴∠A＝60°或120°.∵·＝，∴∠A＝60°，bccos 60°＝，∴bc＝11.∵a2＝b2＋c2－2bcos 60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝75，∴(b＋c)2＝108，∴a＋b＋c＝5＋6＝11.
答案：A
12．设锐角△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为( )
A．(，) B．(1，)
C．(，2) D．(0,2)
解析：由＝＝，得b＝2cos A.答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．在等腰△ABC中，已知sin A∶sin B＝1∶2，底边BC＝10，则△ABC的周长是________．
解析：由正弦定理得BC∶AC＝sin A∶sin B＝1∶2.
又∵BC＝10，∴AC＝20，∴AB＝AC＝20.
∴△ABC的周长是10＋20＋20＝50.
答案：50
14．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则＝________.
解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即49＝b2＋25＋5b，解得b＝3或b＝－8(舍去)，
所以＝＝.
答案：
15．在△ABC中，若S△ABC＝12，ac＝48，c－a＝2，则b＝________.
解析：由S△ABC＝acsin B得sin B＝，∴B＝60°或120°.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a－c)2＋2ac－2accos B＝22＋2×48－2×48cos B，∴b2＝52或148，即b＝2或2.
答案：2或2
16．在锐角三角形ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设m＝(cos A，sin A)，n＝(cos A，－sin A)，a＝2，m·n＝－，则b＋c的最大值为________．
解析：由m·n＝－，得cos2A－sin2A＝－?cos 2A＝－.又△ABC为锐角三角形，得2A＝?A＝.由＝＝＝＝4，结合B＋C＝π－A＝，得b＋c＝4sin B＋4sin＝4sin.当B＋＝，即B＝时，b＋c取得最大值4.
答案：4
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，b＝5，c＝.
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)依题意，由余弦定理得
cos C＝＝－.
∵0°(2)S△ABC＝absin C＝×4×5×sin 120°＝×4×5×＝5.
18．(12分)在△ABC中，已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
解析：由题意可知a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]＝b2[sin(A－B)＋sin(A＋B)]，即a2·2sin Bcos A＝b2·2sin Acos B．
∵sin Asin B≠0，
∴2sin Acos A＝2sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
19．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2－(b－c)2＝bc，
(1)求角A；
(2)若＝c＝2，求b的值．
解析：(1)由a2 －(b－c)2＝bc得：a2－b2－c2＝－bc，
∴cos A＝＝，
又0＜A＜π，
∴A＝.
(2)＝，∴sin C＝1.∴C＝，
∴B＝.∵＝c＝2，
∴b＝2sin B＝2sin＝1.
20．(12分)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asin Asin B＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
解析：(1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.
故sin B＝sin A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cos B>0，故cos B＝，所以B＝45°.
21．(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.
(1)求A；
(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值．
解析：(1)由余弦定理得cos A＝＝＝－.
又因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)由(1)得sin A＝.又由正弦定理及a＝得
S＝absin C＝··asin C＝3sin Bsin C，
因此，S＋3cos Bcos C＝3(sin Bsin C＋cos Bcos C)
＝3cos(B－C)．
所以，当B＝C，
即B＝＝时，S＋3cos Bcos C取最大值3.
22．(13分)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ且与点A相距10海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；
(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解析：(1)如图所示，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝θ，sin θ＝.
由于0°<θ<90°，
所以cos θ＝＝.
由余弦定理得
BC＝＝10.
所以船的行驶速度为
＝＝15(海里/小时)．
(2)如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D，
由题设有，x1＝y1＝AB＝40，
x2＝ACcos∠CAD
＝10cos(45°－θ)＝30，
y2＝ACsin∠CAD＝10sin(45°－θ)＝20.
所以过点B、C的直线l的斜率
k＝＝2，
直线l的方程为y＝2x－40.
又点E(0，－55)到直线l的距离
d＝＝3<7，
所以船会进入警戒水域．
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必修五第一章章末测试
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70°
B．a＝30，b＝25，∠A＝150°
C．a＝7，b＝8，∠A＝98°
D．a＝14，b＝16，∠A＝45°
2．在△ABC中，A＝60°，b＝6，c＝10，则△ABC的面积为( )
A．15 B．15C．15 D．30
3．△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，C为钝角，则x的取值范围是( )
A．x<5 B．54．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，cos A＝－.则sin B的值为( )
A．1 B．C. D.
5．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A. B．3C. D．5
6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )
A. B．C. D.
7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＝(1－cos B)，则sin A的值为( )
A. B．C. D.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝3，
B＝30°，若加一个条件，使△ABC唯一，则可加的条件是( )
A．A≠60°B．A≠150°C．△ABC是钝角三角形D．△ABC是锐角三角形
9．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A．1 km B．2sin 10° kmC．2cos 10° km D．cos 20° km
10．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为( )
A. B．C. D.
11．在△ABC中，已知BC＝5，外接圆半径为5.若·＝，则△ABC的周长为( )
A．11 B．9C．7 D．5
12．设锐角△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为( )
A．(，) B．(1，)C．(，2) D．(0,2)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．在等腰△ABC中，已知sin A∶sin B＝1∶2，底边BC＝10，则△ABC的周长是________．
14．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则＝________.
15．在△ABC中，若S△ABC＝12，ac＝48，c－a＝2，则b＝________.
16．在锐角三角形ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设m＝(cos A，sin A)，n＝(cos A，－sin A)，a＝2，m·n＝－，则b＋c的最大值为________．
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，b＝5，c＝.
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面积．
18．(12分)在△ABC中，已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
19．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2－(b－c)2＝bc，
(1)求角A；
(2)若＝c＝2，求b的值．
20．(12分)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asin Asin B＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
21．(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.
(1)求A；
(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值．
22．(13分)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ且与点A相距10海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；
(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
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