评测练习
（限时20分钟，1-8每题5分，9-10，每题10分，共60分）
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量．( )
(2)若a，b反向，则a·b＝－|a||b|.( )
2．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的正射影的数量为( )
A. B. C. D.
3．在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
4．设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是( )
A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1 C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<1
5．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是( )
A．－25 B．25 C．－24 D．24
6．已知|b|＝3，a在b方向上的正射影的数量是，则a·b的值为( )
A．3 B. C．2 D.
7．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的正射影的数量为－2，则a与e的夹角为________．
8．如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________．
9．已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
10.已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积．
《向量数量积的物理背景与定义》教学设计
一、教学目标
1.知识与技能目标
（1）通过物理中“功”的具体实例，了解平面向量数量积的物理背景；
（2）理解向量数量积的定义及其物理意义；
（3）掌握向量数量积的性质
2.过程与方法目标
（1）经历从物理背景抽象概括出定义的过程，培养学生归纳概括的能力；
（2）通过不同的探究方式，体会由特殊到一般、分类讨论及数形结合的思想方法。
3.情感态度与价值观目标
（1）通过师生互动、生生互动的教学活动过程，培养学生的钻研精神和合作交流的学习度。
（2）通过学生上台讲解，激发学生学习的积极性，形成学生的体验性认识。
二、教学重点、难点
【重点】数量积的定义及性质；
【难点】数量积的定义及性质的理解和应用.
三、教学过程
环节1：创设情境、导入新课
问题1：请同学们回顾一下，我们学习了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？（学生口答）
【设计意图】
让学生复习回顾已经学过的向量运算，为平面向量数量积的学习奠定基础。
问题2：一个物体在力F的作用下发生了位移S，那么力对物体所做的功为多少？（教师引导，学生口答，分析背景 ）
学生根据所学物理知识容易得到：，教师明确指出物理中的矢量就是数学中的向量，物理中的标量就是数学中的数量。进一步分析功的计算公式特点，引出两个概念：“两个向量的夹角”和“正射影的数量”.
【设计意图】
从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，展示数量积的物理背景，激发学生的学习热情，引导学生感知数学问题，便于学生接受和理解。
问题3：从求功的运算中，我们可以抽象出什么样的数学运算？（将功的运算推广到任意两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念）。
问题 ：从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？
学生讨论：如果把力和位移抽象地看成两个“向量”，把力与位移的夹角抽象地看成两个向量的夹角，就可以得到一种新的运算，它就是从向量得到一个数量（即）的运算，这里是向量的夹角。（类比思想，本节课学习目标的过程与方法之一）
【设计意图】以物理背景为脚手架，通过抽象概括归纳形成引出三个概念：即“两个向量的夹角”、“正射影的数量”和“向量数量积”.让学生体会由特殊到一般的认知规律，培养学生抽象概括能力。
环节2：学习目标（多媒体展示，）
1.了解平面向量数量积的物理背景；
2.理解数量积的定义及物理意义；
3.掌握数量积的性质.
【设计意图】展示目标，学生体会本节课的核心知识及对知识点的要求.
设置问题，引导学生学习以下两个概念“两向量的夹角”和“正射影（数量）”。
环节3：形成概念
探究一：两个向量的夹角
问题4：两个向量的夹角是如何定义的？夹角的取值范围是什么？你认为在求两向量夹角时需注意什么问题？（学生口答并总
结注意事项）
注:（1）夹角的取值范围为 注意边界情况） ;
(2)求两向量的夹角时，两向量必须是同一起点;
(3)规定：零向量与任意向量垂直.
（老师指出前面还学习：零向量与任意向量平行）.
【设计意图】通过提出问题，强化学生对两个向量的夹角概念的准确把握和深入理解，并及时巩固所学概念，强调求两向量夹角的注意事项.
探究二、向量在轴上的正射影
问题5：如何定义向量在轴上的正射影？“正射影”与“正射影的数量”
本质区别是什么？（教师设问，学生口答）
【设计意图】通过问题，使学生深入理解“正射影”与“正射影的数
量”的含义，体会它们的本质区别，为学习数量积的几何意义做准备。
【典型例题】例题1（1）.向量︱OA︱=5, ＜OA, l＞=60°,求OA在上的正射影的数量OA1（2）.向量︱OB︱=5, ＜OB,l ＞=120°,求OB在l上的正射影的数量OB1（ 学生口答）
【设计意图】及时巩固所学知识，加深对正射影的数量这一概念的理解。
将功的计算公式中两个矢量F和S,推广到数学中任意两个向量，从而得到本节的重要概念-----向量数量积.
探究三：向量的数量积
定义：（学生读），教师引导学生进一步剖析概念的内涵.
教师提问：数量积运算的结果是什么？它与线性运算的区别
是什么？强调数量积符号应如何规范书写？它的物理意义是什么？（学生口答：通过以上问题的回答，得到概念的的四点说明）.
（1）两向量的数量积是一个实数，而不是向量
（2）数量积符号的规范书写；
（3）公式中四个量，知三求一；
（4）数量积的物理意义：力对物体所做的功。
学生进行整理，反思。
思考1：功的数学本质是什么？
思考2.作为一个新的数学概念，它的几何意义是什么？（学生口答）
3、探究几何意义：（板书作图）
让学生画出钝角的情况下的射影图形，体验数形结合的思想
（板书）数量积 a · b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向上的投正射影的数量 |的乘积.
学生叙述|a|cosθ的几何意义
4、应用几何意义
课本109页练习B1
【设计意图】教师通过问题的形式开展教学，使学生对平面向量数量积这一全新概念的理解更加深刻。让学生从“形”的角度重新认识平面向量数量积，从中体会数量积与向量正射影数量的关系。学生对数量积的定义已经有了初步的认知，通过以下题目进行巩固。
【典型例题】例2.已知|a|=5，|b|=4，
=120°，求a·b.
练习.（1）已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b
（例2学生口答，练习题目由学生板演，学生独立完成，教师巡视，最后规范学生答题过程）
【设计意图】设计的题目有明显的梯度，使学生灵活的应用和理解数量积的定义。前面研究了数量积的定义，下面进一步由定义研究数量积具备哪些性质？
教师：小组前后4人一组先讨论，组长做好记录，最后推荐一名代表进行成果展示.
【设计意图】充分调动学生的学习积极性，发挥学生的主体地位。增进学生之间的合作精神。
（学生上台讲解性质（1）—（5）），老师补充）分析性质的作用
【设计意图】通过归纳形成系统的知识体系；通过对性质的探究，教师向学生明确性质的作用，加深学生的理解并体会其作用。
环节4：应用性质
（课件展示，学案纸上做，教师及时作出评价）
环节5课堂小结：今天你学到了什么？引导学生从知识与方法两个层面完成归纳小结，教师加以补充完善。
1.理解平面向量的数量积的物理意义，了解几何意义
2.掌握平面向量的数量积的概念 *
3.掌握平面向量的数量积的性质 *
4.理解数量积的运算是不同于实数运算的一种新的运算，注意它们的区别；
5.会用数量积的定义及性质解决向量的夹角、长度、垂直等问题。*
知识层面：两向量的夹角、向量的正射影及数量、数量积的定义、数量积的性质
思想方法层面：特殊到一般、数形结合、分类讨论思想
学生总结，教师进行补充完善。
【设计意图】
通过学生对本节所学知识、思想方法进行提炼、反思，加深对知识、方法的理解，形成系统的知识网络，并培养学生良好的学习习惯。
【设计意图】（1）巩固本节课所学内容；（2）分层布置作业，尊重学生的个体差异，让不同的学生有不同的发展。
环节6：当堂检测
1、
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定
2、已知|a|=3, |b|=5，且a?b=－12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。
3、则与的夹角为___________.
4.已知向量与的夹角为，，分别在下列条件下求：
（1） ；（2）∥ ；（3）
（学生限时完成，5分钟，订正答案）
【设计意图】巩固本节课所学知识，及时发现和弥补教学中的不足。
环节7：板书设计
2.3.1向量数量积的物理背景与定义
1、两个向量的夹角 例题1：
2、向量在轴上的正射影 例题2：
3、向量的数量积 例题3：
4. 向量数量积性质 小结
本节课设计理念：
本节课我在概念教学上进行了尝试.在教学过程中，努力创设一个探索数学问题的学习环境,通过创设问题情景，设计一系列问题,使学生在探究问题的过程中，经历数学概念的发生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵,深入理解概念。让学生手脑并用，在学习知识的同时培养学生的能力。
课件19张PPT。课题：向量数量积的物理背景与定义
学科: 数学
年级: 高一
版本：人教B版高中数学必修4
2.3.1 向量数量积的
物理背景与定义 学习目标：1.了解向量数量积的物理背景；
2.理解向量数量积的定义及物理意义；
3.掌握数量积的性质 ．
重点：数量积的定义和性质
难点：数量积的定义及性质的
理解和应用
复习回顾：
前面我们学习了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？问题导入：力做功的计算探究一：两个向量的夹角探究二. 向量在轴上的正射影 （2）正射影的数量：例1.已知轴l解：OA1=5COS600=5×( ?)=5/2-5/2典型例题：探究三. 向量的数量积（内积） 1.定义： 叫做向量a和b的数量积（或内积）
记作：a·b .
即 a·b = 注：（ 1）两向量的数量积是一个实数，而不是向量
（2）数量积符号的规范书写；
（3）公式中四个量，知三求一；
（4）数量积的物理意义：力对物体所做的功。2.数量积的几何意义：例2.已知|a|=5，|b|=4，=120°，求a·b.
解： a?b =|a|·|b|cos
=5×4×cos120°
= －10.
典型例题巩固练习：探究四. 两个向量的数量积的性质：判定两向量垂直计算向量的模计算向量的夹角解：典型例题 例3：当堂检测课堂小结特殊到一般、数形结合、分类讨论思想
作业：
（1）课本115页 习题2-3A:1.2.3
（2）探究数量积的运算律