专题07 数列
【必备知识点】
1、数列中与之间的关系：
注意通项能否合并。
2、等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数成等差数列
⑶通项公式：
或
⑷前项和公式：
⑸常用性质：
①若，则；
②下标为等差数列的项，仍组成等差数列；
③数列（为常数）仍为等差数列；
④若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、，…也成等差数列。
⑤单调性：的公差为，则：
ⅰ）为递增数列；
ⅱ）为递减数列；
ⅲ）为常数列；
⑥数列{}为等差数列（p,q是常数）
⑦若等差数列的前项和，则、、… 是等差数列。
3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
⑵等比中项：若三数成等比数列（同号）。反之不一定成立。
⑶通项公式：
⑷前项和公式：
⑸常用性质
①若，则；
②为等比数列，公比为(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；正项等比数列；则是公差为的等差数列；
④若是等比数列，则
是等比数列，公比依次是
⑤单调性：
为递增数列；为递减数列；
为常数列；
为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列的前项和，则、、… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解。
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。
类型Ⅲ 累加法：[来源:学
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
③若是关于的二次函数，累加后可分组求和;
④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和.
类型Ⅳ 累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
类型Ⅴ 构造数列法：
㈠形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列; [来
（2）若时，数列{}为等比数列;
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：
法一：设,展开移项整理得,与题设比较系数（待定系数法）得,即构成以为首项，以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
㈡形如型的递推式：
⑴当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
⑵当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q, r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。
⑶当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得.
类型Ⅵ 对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求.
类型Ⅷ 形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解。方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型。
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
5、非等差、等比数列前项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法.
②将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列的前项和.[来源:Z,xx,k.Com]
此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法.
⑵裂项相消法
一般地，当数列的通项 时，往往可将变成两项的差，采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得，从而可得
常见的拆项公式有：
①
②
③
④
⑤
⑶分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法[来源:学
如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：
⑸记住常见数列的前项和：
①
②
③
【基础提分训练】
1. 如表定义函数：
对于数列，，，，则的值是（ ? ）
A. B. C. D.
2. 已知数列的前项和满足:,且,那么等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列的通项公式为,则此数列中最小项为第（ ）项
A. B. C. D.
4. 数列满足,,,,则（ ）
A. B. C. D.
5. 观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...的特点,按此规律,则第100项为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知是公差为的等差数列,为的前项和.若,,成等比数列,则（ ）
A. B. C. D.
7. 在和两数中之间插入5个数,使他们与,组成等差数列,则该数列的公差为（ ）
A. B. C. D.
8. 设数列是递增的等差数列，前三项之和为，前三项的积为，则它的首项是( ? )
A. B. C. D.
9. 等差数列中，，，则当取最大值时，（ ）
A. B. C. D.
10. 已知数列中，，且是等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知数列,满足,,,则数列的前项的和为（ ）
A. B. C. D.
12. 设等差数列的前项的和为,若,,则（ ）
A. B. C. D.
13. 设是等差数列的前项和，若，则（ ? ）
A. B. C. D.?
14. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（ ）
A.是常数? B.是常数 C.是常数? D.是常数
15. 已知等差数列的前项和为,,,则数列的前项和为(? ?)
A. B. C. D.
16. 在等差数列中,,其前项和为,若,则的值等于（ ）
A. B. C. D.
17. 等差数列中，若，则的值为（ ）
A.250 B.260 C.350 D.360
18. 椭圆上有个不同的点，…，，且椭圆的右焦点为，数列是公差大于的等差数列，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
19. 各项均不为零的等差数列中，若,则（ ）
A. B. C. D.
20. 若等比数列的前项和为，，且，则等于( )
A.?? B. C.?? D.
21. 已知是等比数列，前项和为，，，则（ ? ）
A. B. C. D.
22. 在正项等比数列中,,分别是方程的两根,则等于（ ）
A. B. C. D.
23. 已知等比数列，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
24. 在数列中,已知,则（ ）
A. B. C. D.
25. 等差数列的公差为,若,,成等比数列,则数列的前项_______.
26. 已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为_______.
27. 在数列中，其前项和为，，，则_______.
28. 设数列是首项为的正项数列，且，则它的通项公式是_______.
29. 已知数列，其中，，且当时，，则它的通项公式是_______.
30. 已知数列中，，则_______.
31. 数列?满足，则_______.
32. 若,满足,,则的前项和为_______.
33. 在数列中，若，，则_______.
34. 在数列中,,,对所有正整数均有,则_______.
35.已知数列满足,,则_______.
36. 已知数列是递增的等比数列,且
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和,,求数列的前n项和.
37. 数列，满足.
（1）若为等差数列，且，求数列的通项公式；
（2）若，是的前项和，求.
38. 已知递减等比数列满足，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.
39. 已知正数数列的前项和.
（1）求证：是等比数列；[
（2）求证：.
40. 已知数列满足,且.
(1)求证:数列是等差数列,并求出数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
专题07 数列
【必备知识点】
1、数列中与之间的关系：
注意通项能否合并。[来源
2、等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数成等差数列
⑶通项公式：
或
⑷前项和公式：
⑸常用性质：
①若，则；
②下标为等差数列的项，仍组成等差数列；
③数列（为常数）仍为等差数列；
④若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、，…也成等差数列。
⑤单调性：的公差为，则：
ⅰ）为递增数列；
ⅱ）为递减数列；
ⅲ）为常数列；
⑥数列{}为等差数列（p,q是常数）
⑦若等差数列的前项和，则、、… 是等差数列。
3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
⑵等比中项：若三数成等比数列（同号）。反之不一定成立。
⑶通项公式：
⑷前项和公式：
⑸常用性质
①若，则；
②为等比数列，公比为(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；正项等比数列；则是公差为的等差数列；
④若是等比数列，则
是等比数列，公比依次是
⑤单调性：
为递增数列；为递减数列；
为常数列；
为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列的前项和，则、、… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解。
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。
类型Ⅲ 累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
③若是关于的二次函数，累加后可分组求和;
④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和.
类型Ⅳ 累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
类型Ⅴ 构造数列法：
㈠形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列;
（2）若时，数列{}为等比数列;
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：
法一：设,展开移项整理得,与题设比较系数（待定系数法）得,即构成以为首项，以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
㈡形如型的递推式：
⑴当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
⑵当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q, r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。
⑶当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得.
类型Ⅵ 对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求.
类型Ⅷ 形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解。方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型。
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
5、非等差、等比数列前项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法.
②将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列的前项和.
此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法.
⑵裂项相消法
一般地，当数列的通项 时，往往可将变成两项的差，采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得，从而可得
常见的拆项公式有：
①
②
③
④
⑤
⑶分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法
如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：
⑸记住常见数列的前项和：
①
②
③
【基础提分训练】
1. 如表定义函数：
对于数列，，，，则的值是（ ? ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为，所以由函数定义知：；；；，…，∴数列是以为周期的数列，故.
2. 已知数列的前项和满足:,且,那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
∵,,∴.可令,得,∴.
即当时,,∴.
3. 已知数列的通项公式为,则此数列中最小项为第（ ）项
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意得,,则此数列中最小项为第4项.
4. 数列满足,,,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
令,则,即,∵,则.
5. 观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...的特点,按此规律,则第100项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设,则数字共有个,所以由,即,因为,所以,即到第个时,共有项,从第项开始为,所以第项为.
6. 已知是公差为的等差数列,为的前项和.若,,成等比数列,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为是公差为的等差数列,为的前项和若,,成等比数列,所以
,解得,所以,故选C.
7. 在和两数中之间插入5个数,使他们与,组成等差数列,则该数列的公差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
在和两数之间插入5个数,使他们与,组成等差数列,则这个数列共有7项,所以.
8. 设数列是递增的等差数列，前三项之和为，前三项的积为，则它的首项是( ? )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为等差数列的前三项之和为，所以前三项为，则∴， 因为数列是递增的，所以，，因此它的首项是，故选B.
9. 等差数列中，，，则当取最大值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设数列的公差为，由得，所以即，又，所以，所以则当取最大值时，，故选C.
10. 已知数列中，，且是等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设数列的公差为，则，所以，.
，，故选B．
11. 已知数列,满足,,,则数列的前项的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵,,∴是以为首项,以为公差的等差数列,∴,
∵,,∴是以首项,以为公比的等比数列,∴,
∴,∴数列的前项的和为.故选D.
12. 设等差数列的前项的和为,若,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设等差数列的公差为,由,得,
将代入上式解得,故.
13. 设是等差数列的前项和，若，则（ ? ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
?由等差数列的求和公式可得，可得，且，所以. ? ?
14. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（ ）
A.是常数? B.是常数 C.是常数? D.是常数
【答案】D
【解析】
∵等差数列的前项和是，且，∴，
∴，∴．故选D．
15. 已知等差数列的前项和为,,,则数列的前项和为(? ?)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设等差数列的首项为,公差为.
∵,,
∴,∴,∴,则,
∴数列的前项和为,故选B.
16. 在等差数列中,,其前项和为,若,则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设等差数列的公差为,则,所以.
则.解得.
所以.故选A.
17. 等差数列中，若，则的值为（ ）
A.250 B.260 C.350 D.360
【答案】D
【解析】
由等差数列的性质得，所以，．
18. 椭圆上有个不同的点，…，，且椭圆的右焦点为，数列是公差大于的等差数列，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由椭圆方程知，，，，公差，.[来源:Zxxk.Com]
19. 各项均不为零的等差数列中，若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题设可得,解之得,故,应选D.
20. 若等比数列的前项和为，，且，则等于( )
A.?? B. C.?? D.
【答案】D
【解析】
由，得，则数列的公比为，所以.
21. 已知是等比数列，前项和为，，，则（ ? ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，解得，.
22. 在正项等比数列中,,分别是方程的两根,则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根据根与系数的关系得,由此得,,故.
23. 已知等比数列，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵是等比数列，且，，∴，∴，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴， 故的取值范围是．选D．
24. 在数列中,已知,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意得,当时,,当时,,则,时也成立,所以,则,所以数列为首项为,公比为的等比数列,所以,故选D.
25. 等差数列的公差为,若,,成等比数列,则数列的前项_______.
【答案】
【解析】
,,成等比数列,∴,可得,解得,,的前项和.
26. 已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为_______.
【答案】
【解析】
，，当时，，相减可得：∴数列从第二项起是以为首项，以为公比的等比数列，当时，不满足.
27. 在数列中，其前项和为，，，则_______.
【答案】
【解析】
由题意知，数列为等差数列，其公差为，
∴，化简得，
∴.
28. 设数列是首项为的正项数列，且，则它的通项公式是_______.
【答案】
【解析】
原递推式可化为：.
∵，，则通过叠乘得:，即.
29. 已知数列，其中，，且当时，，则它的通项公式是_______.
【答案】
【解析】[来源:Z.xx.k.Com]
原递推式可化为：，则，即.
利用叠加可得，即.
30. 已知数列中，，则_______.[
【答案】
【解析】
由?得，所以，又，
所以，所以.
31. 数列?满足，则_______.
【答案】29
【解析】
∵，∴，∴数列是等比数列，公比为2，首项为4，
∴，即，∴．故答案为：29．
32. 若,满足,,则的前项和为_______.
【答案】
【解析】
∵,且,
∴,
∴的前项和为.
33. 在数列中，若，，则_______.
【答案】
【解析】
由得，，，，，所以。.
34. 在数列中,,,对所有正整数均有,则_______.
【答案】
【解析】
根据题意知,,,,,,.
∴数列是周期函数,周期为,
∴.[来源:Z.xx.k.Com]
35.已知数列满足,,则_______.
【答案】
【解析】
∵,
∴，.
故答案为:.
36. 已知数列是递增的等比数列,且
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和,,求数列的前n项和.
【答案】(1)?(2)?
【解析】
(1)由题设知,
又,可解得或?(舍去)．
由得公比,故
(2),又,所以.
37. 数列，满足.
（1）若为等差数列，且，求数列的通项公式；
（2）若，是的前项和，求.
【答案】(1)(2)
【解析】
（1）设的公差为?，，故?
（2）
?∵?，∴?? ?数列是以为公差的等差数列
?
∴? ? ? ? ?
38. 已知递减等比数列满足，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）设等比数列的公比为，联立方程组，得，解得或，是递减数列，..
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，两式相减得
..
39. 已知正数数列的前项和.
（1）求证：是等比数列；
（2）求证：.
【答案】（1）见解答（2）见解答
【解析】
证明：（1）由题意，当时，，所以.
因为，所以，得，即.
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，所以.
所以
，得，即.
因为，所以单调递减，，
所以.
综上，.
40. 已知数列满足,且.
(1)求证:数列是等差数列,并求出数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)略(2)
【解析】
(1)证明:因为,所以,即,所以数列是等差数列,且公差,其首项,所以,解得.
(2)①,
②,
①②,得,所以.
