《平面向量的数量积》教学设计
教学目标
一、知识与技能
1．掌握数量积的定义、重要性质以及运算律；
2．能熟练地用平面向量的数量积解决模、角度、垂直等问题。
二、过程与方法
从数与形两方面对数量积的定义进行探究。
三、情感、态度与价值观
培养学生应用数学的意识，加强数学与其它学科的联系。
教学重点：
1．平面向量的数量积的定义；
2．用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角。
教学难点：
平面向量数量积的定义的理解以及平面向量数量积的应用。
教 具
多媒体、实物投影仪．
内容分析
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．
主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的重要性质；平面向量数量积的运算律．
教学设想：
情境设置：
在物理中，我们学习了“功”的概念，也就是一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力所做的功有一个计算公式W=F(S cos(（板书公式）。而力和位移都是矢量，既有大小又有方向，在我们数学上叫向量，那我们就会想能不能用两向量的一种运算来计算功的大小呢？为此，我们引入了平面向量的数量积。
力做的功：W = ||(||cos(，(是与的夹角．（引导学生认识功这个物理量所涉及的物理量，从“向量相乘”的角度进行分析）
新课讲解
下面给大家7分钟的时间阅读课本107到111页，并思考以下几个问题：
1.两向量的夹角怎么找？有没有范围？两向量垂直？
2.什么叫向量 在轴 上的正射影？什么叫向量 在轴 上的数量？怎么计算？
3.数量积的定义是什么？其几何意义又是怎样的？
4.向量的数量积有哪些性质？
5.向量的数量积满足几个运算律？分别是什么？
好，时间到，我们找位同学针对刚才的几个问题来给大家讲解一下。（举手点名）
学生讲两向量的夹角和正射影部分，讲完后先停停，因为学生可能讲不全或有误，需要老师来补充改正。这部分也有几点说明需要点一下，如下：（同时看多媒体）
（一）两向量的夹角
（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；
（2）〈a ，b〉=〈b ，a〉；
（3）范围0≤〈a ，b〉≤π；
（4）〈a ，b〉=0时, a、b同向；〈a ，b〉=π时，a、b反向；
〈a ，b〉=时， a⊥b.
（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.
（二）向量在轴上的正射影
（1）正射影：
已知向量a和轴l，作=a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影.
（2）正射影的数量：
向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.
记作： al
向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，则有
拓展：|b|cos(叫做向量b在a方向上的正射影的数量（或投影）．
投影也是一个数量，不是向量；当(为锐角时投影为正值；当(为钝角时投影为负值；当(为直角时投影为0；当( = 0(时投影为 |b|；当( = 180(时投影为 (|b|．
（三）平面向量数量积（内积）的定义：
（数量积是这节课的重点和难点，所以我来讲解）
已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos(叫a与b的数量积，记作a(b，即有a(b = |a||b|cos(，（０≤θ≤π）．并规定：0与任何向量的数量积为0．
问题：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，运算结果是数量）（先让学生讨论，再一起学习）
几点说明：
（1）向量的数量积的几何意义：数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos(的乘积．
（2）两个向量的数量积称为内积，写成a(b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a(b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
问题：非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为0 ，何时为负？（学生讨论，再让学生展示）
当0°≤θ＜ 90°时a·b为正；
当θ =90°时a·b为零；
90°＜θ ≤180°时a·b为负.
（3）两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符号所决定.
问题：两个向量的夹角决定了它们数量积的符号，那么它们共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？
学生回答。
（四）两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量．
（1）e(a = a(e =|a|，
（2）a(b ( a(b = 0， 内积为零是判定两向量垂直的条件
（3）a(a = |a|2或 |a| = ， 用于计算向量的模
（4）， 用于计算向量的夹角
（5）|a(b| ≤ |a|.|b|。
重点性质在黑板上板书。
（五）数量积的运算律
问题：对一种运算自然会涉及运算律，回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？（引导学生类比得出运算律，老师作补充说明）向量a、b、c 和实数λ，有
（1）a( b= b( a （交换律）
（2）（λa）( b= λ（a( b ）= a(（λb） （数乘结合律）
（3）（a +b）( c = a· c+ b( c （分配律）
（进一步）你能证明向量数量积的运算律吗？（引导学生证明（1）、（2））
三、典型例题
（一）向量的数量积
例1.下列给出的关系式中正确的是
（1），（2），（3）（4）
答案：（1）（2）（3）
点学生口答。其中（4）要求学生给大家解释。
（二）正射影
例2.（1）向量的模为10，它在x轴正方向的夹角为它在x轴正方向上的射影为
（2）已知，若在方向上的正射影的数量为4，则
答案：（1），（2）4
点评：第2题涉及到向量的数量积的几何性质，再次体会一下。
（三）性质与运算律
例3.已知与均为单位向量，，则与的夹角
为
例4.已知，则
例5．若向量满足：，则
答案：例3. ，例4.2，例5.
点评：例3是求夹角，要求角，先求这个角的余弦值。例4是求模，要求模，就是求根号下平方。例5是对向量垂直的应用，两向量垂直，则它们的数量积为0.
【思考与探究】
两个向量满足，的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是
答案：
点评：向量的数量积小于0，则有两种情况，一是钝角，再是平角，要求是钝角，需要把平角排除掉，只要不共线就可以。
注：这道题目有一定难度，但对于本班学生来说，大部分学生都能够想得出来，所以只要稍加谈论就能得出做题的正确思路，再给学生一些计算的时间就可以得到这道题的结果了。
四、课堂练习
1.已知为单位向量，与之间的夹角是，而在方向上的投影为-2，则
2.若，且，则与的夹角为
3．若，且与的夹角为，则
4.若向量满足与平行，且，则
参考答案:
1.4 2. 3.4 4.0
五、知识小结
（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（学生来总结，再通过多媒体展示）
（2）关于向量的数量积，你还有什么问题？
五、课后作业
1.课本第109-111页练习A，B
2.拓展与提高：跟踪检测第124页第8题
板书设计
整个版面分为三列，把重点知识数量积的定义放在中间显著位置，由其衍生出来的性质和运算律放在其下面。左边一列，放两向量夹角的概念和正射影的概念。右边一列，放例题。
教学后记
数学课堂教学应当是数学知识的形成过程和方法的教学，数学活动是以学生为主体的活动，没有学生积极参与的课堂教学是失败的．本节课教学设计按照“问题——讨论——解决”的模式进行，并以学生为主体，教师以课堂教学的引导者、评价者、组织者和参与者同学生一起探索平面向量数量积定义、性质和运算律的形成与发展过程．始终做到以“学生为主体、教师为主导、思维为主攻、训练为主线”．
课件17张PPT。课题：平面向量的数量积
学科：数学
年级：高一
版本：人民教育出版社
教学目标（一）知识与技能
1．掌握数量积的定义、重要性质以及运算律；
2．能熟练地用平面向量的数量积解决模、角度、垂直等问题。
（二）过程与方法
从数与形两方面对数量积的定义进行探究。
（三）情感、态度与价值观
培养学生应用数学的意识，加强数学与其它学科的联系。
教学重点：
1．平面向量的数量积的定义；
2．用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角。
教学难点：
平面向量数量积的定义的理解以及平面向量数量积的应用。
阅读课本107-110页，并思考以下几个问题：
1.两向量的夹角怎么找？有没有范围？两向量垂直？
2.什么叫向量 在轴 上的正射影？什么叫向量 在轴 上的数量？怎么计算？
3.数量积的定义是什么？其几何意义又是怎样的？
4.向量的数量积有哪些性质？
5.向量的数量积满足几个运算律？分别是什么？（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.一.两个向量的夹角二.向量在轴上的正射影 （2）正射影的数量：
定义： 叫做向量 和 的数量积（或内积），
记作 ，即
三.平面向量的数量积几点说明1．数量积 等于 的长度与 在 方向上正射影的数量
的乘积.2. a · b不能写成a×b, “·”也不能省略。设a、b为两个非零向量，e是单位向量.内积为零是判定两向量垂直的条件用于计算向量的模用于计算向量的夹角四.数量积的性质1.
2.
3.
4.
5.（1）（2）（3）五.数量积的运算律 试一试：
例1.下列给出的关系式中正确的是 .
（1） ，（2） ，
（3） ，（4）
例2.（1）向量 的模为10，它在x轴正方向的夹角为 ，它在x轴正方向上的正射影的数量为 .
（2）已知 ，若 在 方向上的正射影的数量为4，则 .
例3.已知 与 均为单位向量， ，则
与 的夹角为 .
例4.已知 ，则 .
例5. 若向量 满足： ，则 .
两个向量 满足 ， 的夹角为 ，若向量
与 的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 .
挑战：课堂小测 1.已知 为单位向量， 与 之间的夹角是 ，而 在 方向上的正射影的数量为-2，则 .
2.若 ，且 ，则 与 的夹角为 .
3.若 ，且 与 的夹角为 ，则 .
4.若向量 满足 与 平行，且 ，则 .
课堂小结1.两向量的夹角；
2.平面向量的数量积的定义和几何意义;
3.平面向量的数量积的性质和运算律及应用。
作业
1.课本第109-111页练习A，B
2.拓展与提高：跟踪检测第124页第8题《平面向量的数量积》评测练习
1．已知|a|=1，|b|=，且（a-b）与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A．60° B．30° C．135° D．４５°
2．已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A．2 B．2 C．6 D．12
3．已知a、b是非零向量，若|a|=|b|则（a+b）与（a-b） .
4．已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= ．
5．已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b= ．
6．已知|a|=1，|b|=，（1）若a∥b，求a·b；（2）若a、b的夹角为45°，求|a+b|；（3）若a-b与a垂直，求a与b的夹角．
参考答案:
1．D 2．B 3．垂直 4． 5．-3
6. 解：（1）若a、b方向相同，则a·b=；若a、b方向相反，则a·b=；
（2）|a+b|=．
（3）45°．
