人教版数学八年级上第十二章全等三角形知识点+题案+作业讲义学案（无答案）

第十二章 全等三角形
全等三角形
【全等三角形的概念和性质】
全等形：能够重合的两个图形.
全等三角形：能够重合的两个三角形.
把两个全等的三角形重合到一起时，重合的顶点称为对应点，
重合的边称为对应边，重合的角称为对应角。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
表示方法：“全等”用“≌”表示，读作:_________;
【例题一】
(1)如图所示，△OCA≌△OBD，
对应顶点有：点 和点 ，点 和点 ，点 和点 ；
对应角有： 和 ， 和 ， 和 ；
　对应边有： 和 ， 和 ， 和 .
(2)如图△ABD≌△CDB,若AB=4，AD=5，BD=6，∠ABD=50°，∠ADB=30°，则BC= ,CD= ,∠BDC= ,∠C= .


【基础练习一】
已知ABC≌EFD，若，，，，则 ， ．

如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　 　）
A、α=β B、α=2β
C、α+β=90° D、α+2β=180°


下列说法错误的是（　 　）
A、全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角
B、全等三角形的公共边也是对应边
C、全等三角形的公共点是对应顶点
D、全等三角形中相等的边所对的角是对应角，相等的角所对的边是对应边。
如图，已知△ABD≌△ACE，AD=3cm，BD=1cm，BC=6cm，求△ADE的周长.




如图，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=9cm，BC=5cm，求AB的长.














【全等三角形的判定】
全等三角形的判定1：三边分别相等的两个三角形全等（简写“SSS”）
全等三角形的判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写“SAS”）
证明三角形全等：判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等
【例题二】
如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
求证：△ABD≌△ACD．
证明：∵D是BC
∴ =
∴在△ 和△ 中
AB=
BD=
AD=
∴△ABD △ACD( )
提示：证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中，B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。

如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC ≌ ADE。









如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF.







【基础练习二】
如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，请将下面说明ΔABC≌ΔDEF的过程和理由补充完整。
解：∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC（ ）
即BC=EF
在ΔABC和ΔDEF中
AB=________ （________________）
__________=DF（_______________）
BC=__________
∴ΔABC≌ΔDEF （_____________）



如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．
求证：BC=DE．

如图，已知AB=AC,DB=EC试说明∠B=∠C的理由.

如图，已知点A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF.
说明：（1）AB∥DE ；（2）BC∥EF .


【课后作业1】
下列命题中：
（1）形状相同的两个三角形是全等形；
（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；
（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等。
其中真命题的个数有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF。
则下列结论中，错误的是（　　）

A．BE=EC B．BC=EF
C．AC=DF D．△ABC≌△DEF
3．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）

A．150° B．180°
C．210° D．225°
4．如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


5．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（　　）

A．∠B B．∠A
C．∠EMF D．∠AFB
6．如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．2.5
7. 如图，已知AB=DE，BC=EF，AF=DC，则∠EFD=∠BCA，请说明理由。






已知：如图，AD=BC,AC=BD. 求证：∠OCD=∠ODC











如图，AE＝AF，AB＝AC，∠A＝60°，∠B＝24°，求的度数.






四边形ABCD中，AC与BD相交于点F，E为AC上一点，且AD=AB，ED=EB.






求证：⑴ ≌ ⑵≌.














【全等三角形的判定】
全等三角形的判定3：两角和他们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写“ASA”）
全等三角形的判定4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简写“AAS”）
直角三角形的判定5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写“HL”）



【例题三】
如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，求证：△ABC≌△DEF.

如图,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,证明△ABD≌△CBD；

3.如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．

【基础练习三】
如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．

如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．

已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．

如图，点B、E、C、F在同一直线上，若AB⊥BF，DE⊥BF，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABC≌△DEF．

已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE∥BF，且AE＝BF．求证：△AED≌△BFC．


如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．





【课后作业2】
如图,AC=DF,∠1=∠2,如果根据“ASA”判定△ABC≌△DEF,那么需要补充的条件是(　　)

A.∠A=∠D B.AB=DE C.BF=CE D.∠B=∠E


如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（　　）

A．4 B．5 C．1 D．
如图,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,则△ABD≌△CBD的判定是(　　)
SSS B.SAS C.AAS D.ASA

如图，点C、F在BE上，BF＝CE，∠A＝∠D，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．


如图，GC＝GE，BE＝FC，∠B＝∠F．求证：△ABC≌△DFE．

已知，如图：A、E、F、B在一条直线上，AE＝BF，∠C＝∠D，∠A＝∠B，求证：△ACF≌△BDE．


已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．




已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．


9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明BE＝CF．




【角平分线的性质与判定】
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上
三角形的角平分线的性质：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且该点到三边的距离相等
【例题四】
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．
求证：AD是△ABC的角平分线．


如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为





如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，
求证：AD是∠BAC的平分线．


【基础练习四】
如图，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF．
求证：AP是∠BAC的角平分线．

2. 如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．

3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．



如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．




已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．




如图，CD为△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E、F，FG⊥AB，垂足为点G．求证：CE＝FG．

















【课后作业3】
如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为______．

如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD＝2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为（　　）

B．1 C． D．2



如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（　　）

B．2 C．3 D．2

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（　　）

PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（　　）

A．2.5 B．4 C．5 D．10
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD是∠ACB的平分线，若BD＝2，则D到AC的距离为　 　．

在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB的度数是　 　．

如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为　 　．

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝8cm，BD＝5cm，那么点D到线段AB的距离是　 　cm．

如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC＝QD，则∠AOQ＝　 　°．















综合提高练习
【全等三角形】
如图，≌，，求的长和的度数。



如图，已知△ABC≌△DCB，如果∠ABC=72°，∠ACB=45°.
⑴求∠D的度数； ⑵求∠ABD的度数.

如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2．
（1）求角F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．






如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，
（1）当DE=8，BC=5时，线段AE的长为 　；
（2）已知∠D=35°，∠C=60°，
①求∠DBC的度数；
②求∠AFD的度数．


已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．





如图，已知CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB的中点，求证：DM=DN








如图，AC与BD相交于点E，AC＝BD，AC⊥BC，BD⊥AD．垂足分别是C、D．
（1）若AD＝6，求BC的长；
（2）求证：△ADE≌△BCE．



已知：如图，AC⊥CE，AB⊥BD，ED⊥BD，BC＝DE，求证：△ABC≌△CDE．









已知：如图AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，AB＝CD，
求证：△AOB≌△DOC．




如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．
求证：BC＝BE．




求证：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．





如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的长．


如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：
（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．




讲义制作：吴言