1.2.1函数的概念
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解函数的概念；体会随着数学的发展，函数的概念不断被精炼、深化、丰富.
（2）初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义.
2．过程与方法
（1）回顾初中阶段函数的定义，通过实例深化函数的定义.
（2）通过实例感知函数的定义域、值域，对应法则是构成函数的三要素，将抽象的概念通过实例具体化.
3．情感、态度与价值观
在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律；由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想.
（二）教学重点与难点
重点：理解函数的概念；难点：理解函数符号y = f (x)的含义.
（三）教学方法
回顾旧知，通过分析探究实例，深化函数的概念；体会函数符号的含义. 在自我探索、合作交流中理解函数的概念；尝试自学辅导法.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾复习提出问题 函数的概念：（初中）在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与对应. 那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量. 师：初中学习了函数，其含义是什么.生：回忆并口述初中函数的定义.(师生共同完善、概念) 由旧知引入函数的概念.
形成概念 示例分析示例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高①为845m，且炮弹距地面的高度h (单位：m)随时间t (单位：s)变化的规律是h = 130t – 5t2.示例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空沿问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.示例3 国际上常用恩格尔系数②反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 城镇居民家庭恩格尔系数(%) 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 时间(年) 1997 1998 1999 2000 2001 城镇居民家庭恩格尔系数(%) 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y = f (x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域(range). 显然，值域是集合B的子集. 老师引导、分析三个示例，师生合作交流揭示三个示例中的自变量以及自变量的变化范围，自变量与因变量之间的对应关系. 师生共同探究利用集合与对应的语言描述变量之间的因果关系. 利用示例，探究规律，形成并深化函数的概念. 体会函数新定义的精确性及实质.
应用举例 下列例1、例2、例3是否满足函数定义 例1 若物体以速度v作匀速直线运动，则物体通过的距离S与经过的时间t的关系是S = vt. 例2 某水库的存水量Q与水深h(指最深处的水深)如下表：水深h(米) 0 5 10 15 20 25 存水量Q(立方) 0 20 40 90 160 275 例3 设时间为t，气温为T(℃)，自动测温仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点的温度曲线如下图. 老师引导学生分析例1、例2、例3是否满函数的定义. 并指明对应法则和定义域. 例1的对应法则f：t→s = Vt，定义域t∈[0, +∞). 例2的对应法则一个表格h→Q，定义域h∈{0, 5, 10, 15, 20, 25}. 例3的对应法则f：一条曲线，t∈[0，24]. 对任意t，过t作t轴的垂线与曲线交于一点P (t, T)，即t→T. 通过三个实例反映函数的三种表示形式.
深化概念 表示函数的方法： 1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 师：请同学另举例说明函数用图象法和列表法表示的. 生：平方表、平方根表、三角函数表、火车站的时间车次表、股市走势图. 归纳总结函数的三种常见表示法.
归纳总结 1．函数的概念； 2．函数的三要素； 3．函数的表达式. 师生共同回顾总结，并简要阐述. 总结知识，形成系统
课后作业 1.2第一课时习案 独立完成 巩固知识
备选例题
例1 函数y = f (x)表示（ C ）
A．y等于f与x的乘积 B．f (x)一定是解析式
C．y是x的函数 D．对于不同的x，y值也不同
例2 下列四种说法中，不正确的是（ B ）
A．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
例3 已知f (x) = x2 + 4x + 5，则f (2) = 2.7 ，f (–1) = 2 .
例4 已知f (x) = x2 (x∈R)，表明的“对应关系”是 平方 ，它是 R → R 的函数.
例5 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如右图示，那么水瓶的形状是下图中的（ B ）
【解析】取水深，注水量V′＞，即水深为一半时，实际注水量大小水瓶总水量的一半，A中V′＜，C、D中V′=，故排除A、C、D.
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1.2.1函数的概念(2)
函数的三要素
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法.
（2）会求简单函数的定义域和函数值.
2．过程与方法
通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识.
3．情感、态度与价值观
通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神.
（二）教学重点与难点
重点：掌握函数定义域的题型及求法.
难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则.
（三）教学方法
启发式教学，在老师引导，学生在合作的状态下理解知识、应用知识，提升学生应用知识和基本技能探究解决问题的能力.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习回顾范例分析强化概念 1．回顾函数的定义.2．示例剖析例1 已知函数f (x) =+ .（1）求函数的定义域；（2）求f (–3)，的值；（3）当a＞0时，求f (a)，f (a – 1)的值.例2 下列函数中哪个与函数y = x相等？（1）；（2）；（3）；（4）.2．函数定义的理解.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.3．区间的概念：（1）不等式a≤x≤b，用闭区间[a，b]表示；（2）不等式a＜x＜b，用开区间(a, b)表示；（3）不等式a≤x＜b (或a＜x≤b)用半开半闭区间[a，b](或(a，b])表示；（4）x≥a，x＞a，x≤b，x＜b分别表示为[a，+∞)，(a, +∞)，(–∞, b]，(–∞, b). 1．老师引导学生分析例1函数解析式的结构特征. 结合函数的定义，感知函数定义域即使解析式有意义的自变量的取值范围.2．分析例2的题型特点，结合函数的定义，阐明确定函数的因素为定义域和对应法则，并了解值域由这二要素决定.例1解：使根式有意义的实数x的集合是{x | x≥–3}，使分式有意义的实数x的集合是{x | x≠–2}. 所以，这个函数的定义域就是 {x | x≥–3}∩{x|x≠–2}={x|x≥–3，且x≠–2}.(2)= –1；=+= =.（3）因为a＞0，所以f (a)，f (a – 1)有意义.；f (a–1) =+ =+.例2解：（1）= x (x≥0)，这个函数与函数y = x (x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同. 所以，这个函数与函数y = x (x∈R)不相等.（2）(x∈R)，这个函数与函数y = x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同. 所以，这个函数与函数y = x(x∈R)相等.（3）= 这个函数与函数y = x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x＜0时，它的对应关系与函数y = x(x∈R)不相同. 所以，这个函数与函数y = x(x∈R)不相等.（4）的定义域是{x | x≠0}，与函数y = x (x∈R)的对应关系相同但定义域不相同. 所以，这个函数与函数y = x(x∈R)不相等. 从回顾概念入手，引入求定义域的思考方法及求定义域的基本原则.
应用举例 训练题1：求下列函数的定义域.（1）；（2）；（3）.小结：从上例可以看出，求用解析式y = f (x)表示的函数的定义域，常有以下几种情况：1．函数的定义域即使函数解析式有意义的实数集.2．已知函数y = f (x)（1）若f (x)为整式，则定义域为R.（2）若f (x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合； （3）若f (x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合； （4）若f (x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）； （5）若f (x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 训练题2：（1）已知f (x) = 2x + 3，求f (1)，f (a)，f (m + n)，f [f (x)]. （2）①已知f (x) = x2 + 1，则f (3x + 2) = ； ②已知f (x) = 2x3 – 1，则f (–x) = . （3）已知函数f (x) =， 则f {f [f (–1)]} = . （4）在函数f (x) =中，若f (x) = 3，则x的值是（ ） A．1 B．1或 C．± D． 学生合作交流完成训练题1并说明解法原理. 老师点评学生的解法及总结、题型. 师生合作小结求定义域的方法及求解步骤. 训练题1解：（1）x – 2≠0，即x≠2时，有意义， ∴这个函数的定义域是{x | x≠2}. （2）3x + 2≥0，即x≥时，有意义，∴函数y =的定义域是，+∞). （3），∴这个函数的定义域是{x | x≥–1}∩{x | x≠2} = [–1，2)∪(2，+∞). 注意：函数的定义域常用二种方法表示：集合、区间. 学生自主完成训练题2，体会求函数值与对应法则之间的关系. 训练题2解：（1）f (1) = 2×1+3=5.f (a) = 2×a + 3 = 2a + 3.f (m + n) = 2×(m + n) + 3 = 2 (m+n) + 3.f [f (x)] = 2×f (x) + 3 = 2 (2x + 3) + 3 = 4 x + 9. （2）①9x2 + 12x + 5；②–2x3–1. （3）；（4）D. 固化定义域的求法及求解原理. 强化函数值的基本求法、加深对函数三要素含义的理解.
归纳总结 1．求函数定义域的原理：使函数解析式有意义的自变量取值范围. 2．求函数值的方法：代入法. 师生合作归纳小结 训练归纳概括能力
课后作业 1.2 第二课时习案 学生独立完成 固化技能
备选例题
例1 求下列函数的定义域
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）(a为常数).
【解析】（1）x∈R；
（2）要使函数有意义，必须使x2 – 4≠0，得原函数定义域为{x | x∈R且x≠±2}；
（3）要使函数有意义，必须使x + |x|≠0，得原函数定义域为{x | x＞0}；
（4）要使函数有意义，必须使得原函数的定义域为{x | 1≤x≤4}；
（5）要使函数有意义，必须使得原函数定义域为{x | –2≤x≤2}；
（6）要使函数有意义，必须使ax – 3≥0，得
当a＞0时，原函数定义域为{x | x≥}；
当a＜0时，原函数定义域为{x | x≤}；
当a = 0时，ax – 3≥0的解集为，故原函数定义域为.
例2 （1）已知函数f (x)的定义域为(0, 1)，求f (x2)的定义域.
（2）已知函数f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，求f (x)的定义域.
（3）已知函数f (x + 1)的定义域为[–2, 3]，求f (2x2 – 2)的定义域.
【解析】（1）∵f (x)的定义域为(0, 1)，
∴要使f (x2)有意义，须使0＜x2＜1，即–1＜x＜0或0＜x＜1，∴函数f (x2)的定义域为{x| –1＜x＜0或0＜x＜1}.
（2）∵f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，即其中的函数自变量x的取值范围是0＜x＜1，令t = 2x + 1，∴1＜t＜3，∴f (t)的定义域为1＜x＜3，∴函数f (x)的定义域为{x | 1＜x＜3}.
（3）∵f (x + 1)的定义域为–2≤x≤3，
∴–2≤x≤3.
令t = x + 1，∴–1≤t≤4，
∴f (t)的定义域为–1≤t≤4.
即f (x)的定义域为–1≤x≤4，要使f (2x2 – 2)有意义，须使–1≤2x2 – 2≤4，
∴≤x≤或≤x≤.
函数f (2x2 – 2)的定义域为{x |–≤x≤或≤x≤}.
注意：对于以上（2）（3）中的f (t)与f (x)其实质是相同的.
