1.2.2函数的表示法（一）
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.
（2）提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力.
2．过程与方法
通过示例的分析和求解，明确函数三种不同表示法的优点，从而培养学生恰当选用函数的表示形式表示函数的能力.
3．情感、态度与价值观
在恰当应用不同形式表示函数的过程，感受数与形结合的动态美，体会应用辨证思维的乐趣.
（二）教学重点与难点
重点：选用恰当形式表示函数；难点：体会函数三种表示形式的优点.
（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合，通过示例的探究，使学生感知“三种形式”的各自优点. 从而培养学生恰当选用不同形式表示不同情境下的函数的能力.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习回顾引入课题 1．回顾函数的有关概念.2．函数的表示方法.解析式：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 师：函数的概念中的关键词是什么？生：集合A中任何一个元素在B中都有唯一元素与之对应.师生：共同回顾函数三种表示形式. 将新、旧知识有机整合
示例剖析 例1 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1, 2, 3, 4, 5})个笔记本需要y元. 试用函数的三种表示法表示函数y = f (x).解析：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.用解析法可将函数y = f (x)表示为y = 5x, x∈{1, 2, 3, 4, 5}.用列表法可将函数y = f (x)表示为笔记本数x1 2 3 4 5 钱数y5 10 15 20 25 用图象法可将函数y = f (x)表示为下图. 知识总结：①解析法的优点：（1）简明，全面地概括了变量间的关系；（2）通过解析式能求出任意一个自变量的值所对应的函数值.②图象法的优点：直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于通过图象来研究函数的某些性质.③列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量的值相对应的函数值.例2 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 王 伟 98 87 91 92 88 95 张 城 90 76 88 75 86 80 赵 磊 68 65 73 72 75 82 班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析. 师：同一函数用三种形式表示，它们各自有何特点.师生合作总结三种形式的特点即优点.师：举例说明在我们的日常生活中用三种形式表示的函数生：（1）年级日誌表——列表法；（2）工厂生产图——图象法；（3）银行利率表——列表法；（4）医务室的各年级身高统计图——不是图象法.一元一次函数 图象—图象法一元二次函数 解析式—解析法反比例函数师：是否所有函数均能用三种方法表示呢？自示例2生：例2不方便使用解析法表示.例2 解析：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况. 如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况. 这对我们的分析很有帮助.从上图我们看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀. 张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大. 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.师生合作总结三种方法的优点. 通过范例分析体会三种表示法的优点，感知不是所有函数均能用三种形式表示.
应用举例 例3 画出函数y = |x|的图象.例4 某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场销售与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天） （1）写出图一表示的市场售价间接函数关系P = f (t). 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q = g (t). （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ 师生合作、讨论、探究函数的图象法与解析法的互相转化途径，并能利用图象求值域. 例3解：由绝对值的概念，我们有 所以，函数y = |x|的图象如图所示.例4解：（1）由图一可得市场售价间接函数关系为，f (t) = 由图二可得种植成本间接函数关系式为g (t) =(t – 150)2 + 100，(0≤t≤300) （2）设t时刻的纯收益为h (t)，则由题意得： h (t) = f (t) – g (t). 即h (t) = 当0≤t≤200时，得h (t) = (t – 50)2 + 100. ∴当t = 50时，h(t)取得在t∈[0，200]上的最大值100； 当200＜t≤300时，得h (t) =(t – 350)2 + 100. ∴当t = 300时，h (t)取得在t∈(200, 300]上的最大值87.5. 综上所述由100＞87.5可知，h(t)在t∈[0, 300]上可以取得最大值是100，此时t = 50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大. 能力提升(表示法的转化及函数图象的应用) 培养形与数的转化能力和数形结合思想应用意识.
形成映射的概念 映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射. 例5 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？ （1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； （3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生. 师：讲授映射的定义. 生：由映射观点定义函数. 师生合作解答例5. 例5解析：（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射. （2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射. （3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射. （4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一上映射. 了解映射的含义. 通过例题分析加深映射概念的理解.
归纳 总结 1．函数的表示法：解析式、图象法、列表法. 2．解析式与图象法能进行相互转化. 3．优点：解析式简明、全面、实用、图象法和列表法直观、直接、方便 函数与映射的关系：函数是实数集到实数集的特殊映射. 师生合作完成 学生回顾总结，老师引导点评、阐述. 反思总结提升对函数表示的理解与掌握
课后作业 1.2第三课时习案 学生独立完成 巩固知识，提升能力
备选例题
例1 下图中可作为函数y = f (x)的图象是（ D ）
例2 函数的图象为下图中的（ C ）
例3 作出下列函数的图象：（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2|；（2）y = |x2 – 4x + 3|.
【解析】（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2| =
函数的图象如图（1）所示.
（2）y = |x2 – 4x + 3| =图象如图（2）所示
图（1） 图（2）
例4 已知y = f (x)的图象如右图所示，求f (x).
【解析】
测试
序号
成绩
姓名
1.2.2函数的表示法（二）
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）能根据不同情境，选用恰当的方法，求出已知函数的解析式；
（2）会利用函数的图象求函数值域.
2．过程与方法
（1）经历在分析、求解求有关函数的解析式的过程，熟练掌握求解析式的基本题型及方法；
（2）在运用函数图象求函数值域的过程，体会数形结合思想.
3．情感、态度与价值观
在学习过程中进一步体会发现规律，应用规律的学习乐趣，从而提高学习数学的兴趣，提高学生的求知欲.
（二）教学重点与难点
重点：求函数解析式的基本题型及方法.
难点：函数图象的应用.
（三）教学方法
指导启发式学习法，通过自我尝试与实践，获得知识，形成技能，通过老师的合理恰当的指导启发，克服学习障碍；学会突破难点，调整和寻找最佳解题方案.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习回顾整合知识 函数的表示法有三种：解析式、图象法、列表法；它们之间可相互转化，常见形式有：解析式图象法，解析式列表法. 师生合作总结上节课的基本知识及基本方法.重新体会对于特殊函数可进行三种形式之间的互相转化.师：分析实现不同形式的转化的意义. 复习回顾、整合知识
进入课题(求函数解析式) 例1 （1）已知f (x)是一次函数，且f [f (x)] = 4x – 1，求f (x)及f (2)；（2）已知，求f (x)的解析式；（3）已知f (x) = x (x≠0)，求f (x)的解析式；（4）已知3f (x5) + f (–x5) = 4x，求f (x)的解析式. 例2 设f (x)是R上的函数，且满足f (0) = 1，并且对任意实数x，y，有f (x – y) = f (x) – y (2x – y + 1)，求f (x)的表达式. 例3 已知f (x)为二次函数，且f (x+1)+f (x–1) = 2x2–4x，求f (x)的表达式.小结：求解析式的基本方法：（1）待定系数法（2）换元法（3）配方法 （4）函数方程法. 学习尝试练习求解，老师指导、点评. 师生合作归纳题型特点及适用方法. 例1解：（1）设f (x) = ax + b (a≠0). 则f [f (x)] = f (ax + b) = a (ax + b) + b = a2x + ab + b. 又f [f (x)] = 4x – 1， ∴a2x + ab + b = 4x – 1. 即 或 ∴f (x) = 2x –，或f (x) = –2x + 1. 则，或f (2) = –3. （2）解法一：∵ == =，∴f (x) = ==. 解法二：设t = 1+，则. 又， ∴ ==， ∴. （3）令x = a (a≠0)，则+ f (a) = a； 令x =(a≠0)，则 2 f (a) +. 联立上述两式得f (a) = . ∴f (x) =(x≠0). （4）令x = a，或x = –a，分别可得 解之得f (a5) = 2a. 又令a5 = t， ∴，∴f (t) = 2， ∴f (x) = 2.例2解：法一：由f (0) = 1，f (x – y) = f (x) – y(2x+y+1).设x=y，得f (0)= f (x)–x (2x–x+1). ∵f (0) = 1，∴f (x)–x (2x–x+1) = 1， ∴f (x) = x2 + x + 1.法二：令x = 0，得f (0–y) = f (0) – y (–y + 1)，即f (–y) = 1 – y (–y + 1).又令–y = x代入上式得f (x) = 1– (–x) (x + 1) = 1 + x (x + 1) = x2 + x + 1.即f (x) = x2 + x + 1.例3解：设f (x)=ax2+bx+c (a≠0)，则f (x+1) + f (x – 1) = a (x+1)2 + b (x + 1) + c + a (x – 1) + c + a (x – 1)2 + b (x – 1) + c = 2ax2 + 2bx + 2a + 2c = 2x2 – 4x.∴ ∴f (x) = x2 – 2x – 1. 掌握求函数解析式的基本类型及对应方法.
应用举例(函数应用问题) 例4 用长为l的铁丝变成下部为矩形，上部为半圆形的框架如图所示，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域. 例5 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. 我们把像例4这样的函数称为分段函数.即在函数的定义域内，对于自变量x的值的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫分段函数. 生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等. 师生合作解析例3、例4. 师：反映实际问题的函数定义域怎样确定？ 生：解析式有意义和实际问题自身条件确定. 例4解：矩形的长AB = 2x，宽为a，则有2x + 2a +x = l， ∴. 半圆的直径为2x，半径为x，所以·2x =， 由实际意义得0＜x＜. 即，定义域为. 例5解：设票价为y，里程为x，由题意可知，自变量x的取值范围是(0, 20]. 由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式： 根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图. 培养学生应用数学知识，解决实际问题的能力.
归纳总结 1．求函数解析式的方法： 换元法、配方法、待定系数法、赋值法. 2．求实际问题函数解析式，关键找具有因果关系的两个变量的联系式. 师生合作总结. 学生整理、小结，老师点评、归纳. 整合知识形成技能.
课后作业 1.2 第四课时习案 学生独立完成 巩固基础、 提高能力
备选例题
例1 经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t的函数，且销售量近似地满足关系g (t) = (t∈N*，0＜t≤100)，在前40天内价格为f (t) =+ 22(t∈N*，0≤t≤40)，在后60天内价格为(t∈N*，40＜t≤100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).
【解析】前40天内日销售额为：
=
∴
后60天内日销售额为：
=.
∴
∴得函数关系式
由上式可知：对于0＜t≤40且t∈N*，有当t = 10或11时，Smax≈809.
对于40＜t≤100且t∈N*，有当t = 41时，Smax = 714.
综上所述得：当t = 10或11时，Smax≈809.
答：第10天或11天日售额最大值为809元.
2x
D
C
A
B
