新课标高中数学人教A版必修一教案1.3.1函数的单调性与最大（小）值（含例题解析）
文档属性
| 名称 | 新课标高中数学人教A版必修一教案1.3.1函数的单调性与最大（小）值（含例题解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 534.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-12 20:48:25 | ||
图片预览
文档简介
1.3.1 单调性与函数的最大（小）值
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.
（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.
2．过程与方法
借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题.
3．情感、态度与价值观
在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.
（二）教学重点与难点
重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.
（三）过程与方法
合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 1．函数f (x) = x2. 在( – ∞，0)上是减函数，在[0，+∞）上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)， x≥0时， f (x)≥f (0).从而x?R. 都有f (x) ≥f (0).因此x = 0时，f (0)是函数值中的最小值.2．函数f (x) = –x2同理可知x?R. 都有f (x)≤f (0). 即x = 0时，f (0)是函数值中的最大值. 师生合作回顾增函数、减函数的定义及图象特征；师生合作定性分析函数f (x)的图象特征，通过图象观察，明确函数图象在整个定义域上有最低点和最高点，从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值. 应用单调性的定义和函数图象感知函数的最小值和最大值.
形成概念 函数最大值概念：一般地，设函数y = f (x)的定义域为I. 如果存在实数M满足：（1）对于任意x都有f (x) ≤M.（2）存在x0?I，使得f (x0) = M.那么，称M是函数y = f (x) 的最大值. 师：对于函数y = f (x)、f (x0)为其最大值. 即f (x0)≤ f (x)意味着什么？生：f (x0)为函数的最大值，必须满足：①x0?定义域；②f (x0) ?值域；③f (x0)是整个定义域上函数值最大的. 由实例共性抽象获得最大值概念.
形成概念 函数最小值概念.一般地：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意x?I，都有f (x)≥M.（2）存在x0?I，使得f (x0) = M.那么，称M是函数y = f (x)的最小值. 师：怎样理解最大值.生：最大值是特别的函数值，具备存在性、确定性.师：函数最小值怎样定义？师生合作，学生口述，老师评析并板书定义. 由最大值定义类比最小值定义.
应用举例 例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？训练题1：已知函数f (x) = x2 – 2x – 3，若x?[t，t +2]时，求函数f (x)的最值.例2 已知函数y =(x?[2，6])，求函数的最大值和最小值.训练题2：设f (x)是定义在区间[–6，11]上的函数. 如果f (x) 在区间[–6，–2]上递减，在区间[–2，11]上递增，画出f (x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现f (–2)是函数f (x)的一个 .训练题3：甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固 定部分组成，可变部分与速度x (km / h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？ 师生合作讨论例1、例2的解法思想，并由学生独立完成训练题1、2、3. 老师点评. 阐述解题思想，板书解题过程.例1解：作出函数h(t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：当t ==1.5时，函数有最大值h =≈29.于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.师：投影训练题1、2.生：学生相互讨论合作交流完成.训练题1解：∵对称轴x = 1，（1）当1≥t +2即t≤–1时，f (x)max? = f (t) = t 2 –2t –3，f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t –3.（2）当≤1＜t +2，即–1＜t≤0时，f (x)max = f (t) = t 2 –2t–3，f (x)min= f (1) = – 4.（3）当t≤1＜，即0＜t≤1，f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，f (x)min = f (1) = – 4.（4）当1＜t，即t＞1时，f (x)max = f (t +2) = t 2 +2t –3，f (x)min = f (t) = t 2 –2t –3.设函数最大值记为g(t)，最小值记为(t)时，则有g (t) =例2分析：由函数y =(x?[2，6])的图象可知，函数y =在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值. 解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f (x1) – f (x2) = = =. 由2≤x1＜x2≤6，得x2 –x1＞0，(x1–1) (x2–1)＞0， 于是 f (x1) – f (x2)＞0， 即 f (x1)＞f (x2). 所以，函数y =是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4. 训练题2答案：最小值. 训练题3分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度x km / h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决. 解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：y = b·+ ax2·. ∴y = s (a x +) . （其中x?(0，+∞). 即将此时的问题转化成：“函数y = s(ax +)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y 取最小值？”下面讨论函数y = s (ax +)[x?(0，+∞)，a＞0，b＞0]在其定义域内的单调性. 设x1，x2?(0，+∞)，且x1＜x2，则f (x1) – f (x2) = s[(ax1 +)– (ax2 +)] = s[a (x1– x2) +] = = ∵x1，x2＞0，且x1＜x2 ∴x1x2＞0，a (x1 – x2)＜0 ∴当x1，x2?(0，)时，x1，x2＜，x1x2 –＜0，∴f (x1)＞f (x2)， 当x1，x2?[，+∞]时，x1x2＞，x1x2 –＞0，∴f (x1)＜ f (x2). 综上所述，我们看到函数y = s(ax +) (a＞0，b＞0)并不是整个区间（0，+∞）上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x =时，y取得最小值即y min =2s. 那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x =km / h的速度行驶. 自学与指导相结合，提高学生的学习能力. 讲练结合，形成技能固化技能.深化概念能力培养 进一步固化求最值的方法及步骤. （1）以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力，可见“逐渐增强函数的应用意识”应及早实现. （2）对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成，可见从不同角度不同方向去思考问题在教学中尤为重要，并且应指导学生养成多分析失败原因，多总结成功经验的好习惯.
归纳总结 1．最值的概念 2．应用图象和单调性求最值的一般步骤. 师生交流合作总结、归纳. 培养学生的概括能力
课后作业 1.3第二课时 习案 学生独立完成 能力培养
备选例题
例1 已知函数f (x ) =，x∈[1，+∞).
（Ⅰ）当a =时，求函数f (x)的最小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞)，f (x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.
分析：对于（1），将f (x)变形为f (x) = x +2 + = x ++2，然后利用单调性求解. 对于（2），运用等价转化(x?[1，+∞)恒成立，等价于x2 + 2x + a＞0 恒成立，进而解出a的范围.
解：（1）当a =时，f (x) = x ++2
因为f (x)在区间[1，+∞）上为增函数，
所以f (x)在区间[1，+∞）上的最小值为f (1) =.
（2）解法一：在区间[1，+∞）上，f (x) =恒成立x2 + 2x + a＞0恒成立.
设y = x2 +2x+a，∵(x + 1) 2 + a –1在[1，+∞)上递增.
∴当x =1时，ymin =3 + a，于是当且仅且ymin =3 + a＞0时，函数f (x)＞0恒成立，
∴a＞–3.
解法二：f (x) = x ++2 x[1，+∞).
当a≥0时，函数f (x)的值恒为正；当a＜0时，函数f (x)递增. 故当x =1时，f (x)min = 3+a.
于是当且仅当f (x)min =3 +a＞0时，函数f (x)＞0恒成立. 故a＞–3.
例2 已知函数f (x)对任意x，y?R，总有f (x) + f ( y) = f (x + y)，且当x＞0时，f (x)＜0，f (1) =.
（1）求证f (x)是R上的减函数；
（2）求f (x)在[–3，3]上的最大值和最小值.
分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.
证明：（1）令x = y =0，f (0) = 0，令x = – y可得： f (–x) = – f (x)，
在R上任取x1＞x2，则f (x1) – f (x2) = f (x1) + f (– x2) = f (x1–x2).
∵x1＞x2，∴x1–x2＞0. 又∵x＞0时，f (x)＜0，∴f (x1–x2)＜0， 即f (x1) – f (x2)＞0.
由定义可知f (x)在R上为单调递减函数.
（2）∵f (x)在R上是减函数，∴f (x)在[–3，3]上也是减函数， ∴f (–3)最大，f (3)最小.
f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3×() = –2. ∴f (–3) = – f (3) =2.
即f (–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2.
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.
（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.
2．过程与方法
借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题.
3．情感、态度与价值观
在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.
（二）教学重点与难点
重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.
（三）过程与方法
合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 1．函数f (x) = x2. 在( – ∞，0)上是减函数，在[0，+∞）上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)， x≥0时， f (x)≥f (0).从而x?R. 都有f (x) ≥f (0).因此x = 0时，f (0)是函数值中的最小值.2．函数f (x) = –x2同理可知x?R. 都有f (x)≤f (0). 即x = 0时，f (0)是函数值中的最大值. 师生合作回顾增函数、减函数的定义及图象特征；师生合作定性分析函数f (x)的图象特征，通过图象观察，明确函数图象在整个定义域上有最低点和最高点，从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值. 应用单调性的定义和函数图象感知函数的最小值和最大值.
形成概念 函数最大值概念：一般地，设函数y = f (x)的定义域为I. 如果存在实数M满足：（1）对于任意x都有f (x) ≤M.（2）存在x0?I，使得f (x0) = M.那么，称M是函数y = f (x) 的最大值. 师：对于函数y = f (x)、f (x0)为其最大值. 即f (x0)≤ f (x)意味着什么？生：f (x0)为函数的最大值，必须满足：①x0?定义域；②f (x0) ?值域；③f (x0)是整个定义域上函数值最大的. 由实例共性抽象获得最大值概念.
形成概念 函数最小值概念.一般地：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意x?I，都有f (x)≥M.（2）存在x0?I，使得f (x0) = M.那么，称M是函数y = f (x)的最小值. 师：怎样理解最大值.生：最大值是特别的函数值，具备存在性、确定性.师：函数最小值怎样定义？师生合作，学生口述，老师评析并板书定义. 由最大值定义类比最小值定义.
应用举例 例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？训练题1：已知函数f (x) = x2 – 2x – 3，若x?[t，t +2]时，求函数f (x)的最值.例2 已知函数y =(x?[2，6])，求函数的最大值和最小值.训练题2：设f (x)是定义在区间[–6，11]上的函数. 如果f (x) 在区间[–6，–2]上递减，在区间[–2，11]上递增，画出f (x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现f (–2)是函数f (x)的一个 .训练题3：甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固 定部分组成，可变部分与速度x (km / h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？ 师生合作讨论例1、例2的解法思想，并由学生独立完成训练题1、2、3. 老师点评. 阐述解题思想，板书解题过程.例1解：作出函数h(t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：当t ==1.5时，函数有最大值h =≈29.于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.师：投影训练题1、2.生：学生相互讨论合作交流完成.训练题1解：∵对称轴x = 1，（1）当1≥t +2即t≤–1时，f (x)max? = f (t) = t 2 –2t –3，f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t –3.（2）当≤1＜t +2，即–1＜t≤0时，f (x)max = f (t) = t 2 –2t–3，f (x)min= f (1) = – 4.（3）当t≤1＜，即0＜t≤1，f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，f (x)min = f (1) = – 4.（4）当1＜t，即t＞1时，f (x)max = f (t +2) = t 2 +2t –3，f (x)min = f (t) = t 2 –2t –3.设函数最大值记为g(t)，最小值记为(t)时，则有g (t) =例2分析：由函数y =(x?[2，6])的图象可知，函数y =在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值. 解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f (x1) – f (x2) = = =. 由2≤x1＜x2≤6，得x2 –x1＞0，(x1–1) (x2–1)＞0， 于是 f (x1) – f (x2)＞0， 即 f (x1)＞f (x2). 所以，函数y =是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4. 训练题2答案：最小值. 训练题3分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度x km / h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决. 解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：y = b·+ ax2·. ∴y = s (a x +) . （其中x?(0，+∞). 即将此时的问题转化成：“函数y = s(ax +)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y 取最小值？”下面讨论函数y = s (ax +)[x?(0，+∞)，a＞0，b＞0]在其定义域内的单调性. 设x1，x2?(0，+∞)，且x1＜x2，则f (x1) – f (x2) = s[(ax1 +)– (ax2 +)] = s[a (x1– x2) +] = = ∵x1，x2＞0，且x1＜x2 ∴x1x2＞0，a (x1 – x2)＜0 ∴当x1，x2?(0，)时，x1，x2＜，x1x2 –＜0，∴f (x1)＞f (x2)， 当x1，x2?[，+∞]时，x1x2＞，x1x2 –＞0，∴f (x1)＜ f (x2). 综上所述，我们看到函数y = s(ax +) (a＞0，b＞0)并不是整个区间（0，+∞）上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x =时，y取得最小值即y min =2s. 那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x =km / h的速度行驶. 自学与指导相结合，提高学生的学习能力. 讲练结合，形成技能固化技能.深化概念能力培养 进一步固化求最值的方法及步骤. （1）以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力，可见“逐渐增强函数的应用意识”应及早实现. （2）对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成，可见从不同角度不同方向去思考问题在教学中尤为重要，并且应指导学生养成多分析失败原因，多总结成功经验的好习惯.
归纳总结 1．最值的概念 2．应用图象和单调性求最值的一般步骤. 师生交流合作总结、归纳. 培养学生的概括能力
课后作业 1.3第二课时 习案 学生独立完成 能力培养
备选例题
例1 已知函数f (x ) =，x∈[1，+∞).
（Ⅰ）当a =时，求函数f (x)的最小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞)，f (x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.
分析：对于（1），将f (x)变形为f (x) = x +2 + = x ++2，然后利用单调性求解. 对于（2），运用等价转化(x?[1，+∞)恒成立，等价于x2 + 2x + a＞0 恒成立，进而解出a的范围.
解：（1）当a =时，f (x) = x ++2
因为f (x)在区间[1，+∞）上为增函数，
所以f (x)在区间[1，+∞）上的最小值为f (1) =.
（2）解法一：在区间[1，+∞）上，f (x) =恒成立x2 + 2x + a＞0恒成立.
设y = x2 +2x+a，∵(x + 1) 2 + a –1在[1，+∞)上递增.
∴当x =1时，ymin =3 + a，于是当且仅且ymin =3 + a＞0时，函数f (x)＞0恒成立，
∴a＞–3.
解法二：f (x) = x ++2 x[1，+∞).
当a≥0时，函数f (x)的值恒为正；当a＜0时，函数f (x)递增. 故当x =1时，f (x)min = 3+a.
于是当且仅当f (x)min =3 +a＞0时，函数f (x)＞0恒成立. 故a＞–3.
例2 已知函数f (x)对任意x，y?R，总有f (x) + f ( y) = f (x + y)，且当x＞0时，f (x)＜0，f (1) =.
（1）求证f (x)是R上的减函数；
（2）求f (x)在[–3，3]上的最大值和最小值.
分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.
证明：（1）令x = y =0，f (0) = 0，令x = – y可得： f (–x) = – f (x)，
在R上任取x1＞x2，则f (x1) – f (x2) = f (x1) + f (– x2) = f (x1–x2).
∵x1＞x2，∴x1–x2＞0. 又∵x＞0时，f (x)＜0，∴f (x1–x2)＜0， 即f (x1) – f (x2)＞0.
由定义可知f (x)在R上为单调递减函数.
（2）∵f (x)在R上是减函数，∴f (x)在[–3，3]上也是减函数， ∴f (–3)最大，f (3)最小.
f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3×() = –2. ∴f (–3) = – f (3) =2.
即f (–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2.