第一章 单元小结(一)
(一)教学目标
1．知识与技能
（1）通过回顾集合与函数的概念及表示法，构建单元知识网络；整合知识，使知识系统化.
（2）进一步提升学生的集合思想与函数思想.
2．过程与方法
通过知识的整理，知识与方法的综合应用，加深对知识的理解.提升应用基本方法的能力.，从而使学生系统地掌握的知识与方法.
3．情感、态度与价值观
在知识的回顾、整理过程中体会数学知识的整体性和关联性. 感受数学的系统化与结构化的特征.
(二)教学重点与难点
重点：构建知识体系；难点：整合基本数学知识、数学思想和数学方法.
(三)教学方法
自主探究与合作交流相结合. 自主探究知识的纵模联系，合作交流归纳整理知识，构建单元知识体系.
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾反思构建体系 师：要求学生借助课本回顾第一章的第1、2节的基本知识. 生：独立回顾总结第1、2节的基本知识.师生合作：学生口述单元知识，老师用网络图的形式板书知识构造体系图. 整合知识，形成单元知识系统.培养归纳概括能力.
示例剖析升华能力(I)
例1 设A、B、I均为非空集合，且满足A?B?I，则下列各式中错误的是（ ）A．()∪B = IB．()∪() =IC．A∩() =D．()∩() =
例2 已知集合A = {x| –2＜x＜–1或x＞0}，B = {x| a≤x≤b}，满足A∩B = {x | 0＜x≤2}，A∪B = {x| x＞– 2}.求a、b的值.例3 集合P = {x | x2 + x – 6 = 0}，Q = {x | mx– 1 = 0}，且QP，求实数m的取值集合. 生：尝试完成例1~例3. 并由学生代表板书例1 ~ 例3的解题过程. 师生合作点评学生代表的解答，并分析解题思路的切入点和寻找解题的最优途径.例1解析：本题主要考查子集及运算.答案：B如图例2解析：将集合A、A∩B、A∪B分别在数轴上表示，如图所示，由A∩B = {x | 0＜x≤2}知b =2且–1≤a≤0；由A∪B = {x | x＞– 2}，知–2＜a≤–1，综上所知，a = –1，b =2.例3解析：P = {2，– 3}，QP，∴Q =，Q = {2}或Q = {– 3}.①当Q = Q 时，m = 0；②当Q = {2}时，2m – 1= 0，即m =；③当Q = {– 3}时，–3m –1 = 0，即m =.
综上知，m的取值的集合为{0，，}. 通过尝试练习，训练思维.通过合作交流探索题途径
经典例题
例4 求下列函数的定义域：
（1）y =+；
（2）y =.
例5 求下列函数的值域：
（1）y = x2 –2x，x?[0，3]；
（2）y = x +，x?[0，+∞]；
（3）y = x +；
（4）y = |x+1| + |x– 2|.
例6 已知函数f (x)的解析式为：.
（1）求f ()，f ()，f (–1)的值；
（2）画出这个函数的图象；
（3）求f (x)的最大值.
例4解析：（1）由，得x = 1，
∴函数的定义域为{1}.
（2）由题意知，有不等式组，
即x＜–3或–3＜x＜3或3＜x≤5.
故函数y =的定义域为
(–∞，–3)∪(–3，3)∪(3，5].例5解析：（1）y = x2 –2x = (x – 1)2 –1，如图所示，y ?[–1，3]为所求.
（2）配方得y = x +，
当且仅当，即x = 1时，y =2，
∴y?[2，+∞]为所求.
（3）换元法
令= t，t≥0，则x =，
函数化为y =t2 +
=(t +1) 2，
∵t≥0，∴y≥，
∴函数y = x +的值域为[，+∞].
（4）方法一：运用绝对值的几何意义.
|x +1| + |x– 2|的几何意义表示数轴上的动点x与–1以及2的距离的和，结合数轴，易得|x + 1| + |x– 2|≥3，
∴函数的值域为y?[3，+∞）.
方法二：转化为函数图象，运用数形结合法.
函数y = |x +1| + |x– 2|的零点为–1，2，把定义域分成三区间 (– ∞，–1]，(–1，2]，[2，+∞).
∴.
该函数图象如图所示，由图象知函数的值域为[3，+∞].例6解析：（1）∵＞1，
∴f () = –2×() + 8 =5，
∵f () =+5 =.
∵–1＜0，∴f (–1) = –3+5 =2.
如图
在函数y =3x +5图象上截取x≤0的部分，
在函数y = x +5图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数y = –2x +8图象上截取x＞1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f (x)的图象.
（3）由函数图象可知
当x = 1时，f (x)的最大值为6. 通过尝试练习，训练思维.通过合作交流探索题途径.
归纳总结求函数定义域的题型及方法.
归纳总结求函数值域的题型及方法.
布置作业 见单元小结1的习案 学生独立完成 巩固旧知提升能力
备选例题
例1 对于集合A = {x|x2 – 2a x + 4a – 3 = 0}，B ={x| x2 –ax + a 2 + a + 2 = 0}，是否存在实数a，使A∪B =？若a不存在，说明理由，若a存在，求出a的值.
分析：A∪B =，即A =且B =，只要两个方程能同时无解即可.
∵A∪B =，∴A =且B =.
由△1＜0且△2＜0得
.
所以存在这样的实数a?(1，2)使得A∪B =.
例2（1）已知函数f (2x–1)的定义域为[0，2]，求f (x)的定义域；
（2）已知函数f (x)的定义域为[–1，3]，求f (2x–1)定义域.
【解析】（1）由f (2x–1)的定义域为[0，2]，
即x∈[0，2]，∴2x–1∈[–1，3].
令t =2x–1，则f (t)与f (x)为同一函数，
∴t的范围[–1，3]即f (t)的定义域，∴f (x)的定义域为[–1，3].
（2）求f (2x–1)的定义域，
即由2x–1∈[–1，3]求x的范围，
解得x∈[0，2].
综合应用
含义与表示
集合
基本关系
函数的概念
函数基础
函数的表示
基本运算
元素的特性
集合的表示
元素与集合的关系
集合与集合的关系
交 集
并 集
补 集
映射
定义域
对应法则
值 域
解析法
图象法
列表法
?
≠
?
≠
第一章 单元小结（二）
(一)教学目标
1．知识与技能
整合函数性质建构知识网络，以便于进一步理解和掌握函数的性质.提升综合运用函数性质的能力.
2．过程与方法
在整合函数性质、综合运用函数性质的过程中，培养学生分析、观察、思考的教学能力、提升学生的归纳、推理能力.
3．情感、态度与价值观
在学习过程中，通过知识整合，能力培养，激发学生的学习兴趣. 养成合作、交流的良好学习品质.
(二)教学重点与难点
重点：整合知识、构建单元知识系统.
难点：提升综合应用能力.
(三)教学方法
动手练习与合作交流相结合. 在回顾、反思中整合知识，在综合问题探究、解答中提升能力. 加深对知识的准确、到位的理解与应用.
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾反思构建体系 函数性质单元知识网络 生：借助课本.并回顾学习过程. 整理函数掌握函数的有关性质归纳知识的纵横联系.师生合作：学生口述单元基本知识及相互联系，老师点评、阐述、板书网络图. 整理知识，培养归纳能力.?形成知识网络系统.
经典例题剖 析升华能力
例1试讨论函数f (x) =，x(–1，1)的单调性(其中a≠0).
例2 试计论并证明函数y = f (x) = x +(a＞0)在定义域上的单调性，函数在(0，+∞)上是否有最小值？
例3 已知f (x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f (xy) = f (x) + f (y)，f (2) =1.（1）求证：f (8) =3；（2）解不等式f (x) – f (x–2) ＞3.
例4 已知函数f (x)，当x、y∈R时，恒有f (x + y) = f (x) + f ( y).（1）求证：f (x)是奇函数；（2）如果x∈R+ ，f (x)＜0，并且f (1) =，试求f (x)在区间[–2，6]上的最值. 师生合作：学生独立尝试完成例1 ~ 例4并由学生代表板书解答过程. 老师点评. 师生共同小结解题思络.
例1【解析】设–x＜x?1＜x2＜1，
即△x = x2–x1＞0，
则△y = f (x2) – f (x2)
=
=
∵–1＜x1＜x2＜1，
∴x1–x2＜0，–1＜0，–1＜0.
|x1x2|＜1，即 –1＜x1x2＜1，x1x2 +1＞0，
∴＜0.
因此，当a＞0时，△y = f (x2) – f (x1)＜0，
即f (x1)＞f (x2)，此时函数为减函数；
当a＜0时，△y = f (x2) – f (x1) ＞0，
即f (x1)＜f (x2)，此时函数为增函数.
例2【解析】函数y = x +(a＞0)在区间(–∞，–)上是增函数，在区间[–，0]上是减函数，在区间 (0，]上是减函数，在区间(，+∞)上是增函数.
先证明y = x +(a＞0)在(0，+∞)上的增减性，
任取0＜x1＜x2，
则△x = x1–x2＜0，△y = f (x1) – f (x2)
= (x1 +) – (x2 +)
= (x1–x2) + (–)
= (x1–x2) +
= (x1–x2) (1–)
=△x.
∵0＜x1＜x2，
∴△x = x1–x2＜0，x1x2＞0.
（1）当x1，x2∈(0，)时，0＜x1x2＜a，∴x1x2 – a＜0，
此时①＞0时，
△y = f (x1) – f (x2)＞0，
∴f (x)在(0，)上是减函数.
（2）当x1，x2∈[，+∞）时，x1x2＞a，∴x1x2 – a＞0，
此时①＜0，△y= f (x1) – f (x2)＜0，
∴f (x)在[，+∞）上是增函数，
同理可证函数f (x)在(–∞，–)上为增函数，
在[–，0)上为减函数.
由函数f (x) = x +在[0，)上为减函数，且在[，+∞)上为增函数知道，f (x)≥f () =2，其中x∈(0，+ ∞)，
∴f (x)min=2，
也可以配方求f (x) = x +(a＞0)在(0，+∞)上的最小值，
∴f (x) = x += ()2 + 2，
当且仅当x =时，f (x)min =2.
例3【解析】（1）在f (xy) = f (x) + f (y)中，
设x = y =2，则有f (4)=f (2)+f (2)，
设x= 4，y =2，
则有f (8) = f (4) + f (2)
=3 f (2) = 3.
（2）由f (x) – f (x–2)＞3，
得f (x)＞f (8) + f (x–2) = f [8 (x–2)]，
∵f (x) 是(0，+∞)上的增函数，
∴，解得2＜x＜，
故原不等式的解集为{x|2＜x＜}.
例4【解析】（1）∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称，
∵f (x + y) = f (x) + f ( y)，
令y = –x，x、– x∈R，
代入f (x + y) = f (x) + f ( y)，
∴f (0) = f (0) + f (0)，得f (0) = 0，
∴f (x) + f (–x) = 0，得f (–x) = – f (x)，
∴f (x)为奇函数.
（2）设x、y∈R+，
∵f (x+y) = f (x) + f ( y)，∴f (x+y) – f (x) = f ( y)，
∵x∈R+，f (x)＜0，
∴f (x+y) – f (x)＜0，
∴f (x+y)＜f (x).
∵x+y＜x，
∴f (x)在(0，+∞)上是减函数.
又∵f (x)为奇函数，f (0) = 0，
∴f (x)在(–∞，+∞)上是减函数.
∴在区间[–2，6]上f (–2)为最大值，f (6)为最小值.
∵f (1) =，
∴f (–2)= – f (2) = –2 f (1) =1，f (6) = 2 f (3)=2[ f (1) + f (2)]
= –3，
∴f (x)在区间[–2，6]上的最大值为1，最小值为–3. 动手尝试练习，培养并提高解题能力.
备选例题
例1 用定义证明函数y = f (x) =是减函数.
【解析】∵x2 +1＞0对任意实数x均成立，
∴函数y = f (x) =的定义域是R，
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则△x = x2–x1＞0，
△y = f (x2) – f (x1)
=
=
=– (x2–x1)
=(x2 + x1––)，
∵x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，
∴x2–x1＞0，＞= |x1|≥x1，
∴x1–＜0，同理x2–＜0，
x1 + x2––＜0，
+＞| x1| + | x2 |＞0，
∴f (x2) – f (x1) ＜0，
∴y = f (x) =在R上是减函数.
例2 已知函数f (x)的定义域为R，满足f (–x) =＞0，且g (x) = f (x) + c（c为常数）在区间[a，b]上是减函数. 判断并证明g (x)在区间[– b，– a]上的单调性.
解析：设– b≤x1＜x2≤– a，
则△x = x2 – x1＞0，b≥–x1＞–x2≥a，
∵g (x)在区间[a，b]上是减函数，
∴g (–x1)＜g (–x2)，即f (–x1) + c＜f (–x2) + c，
则f (–x1)＜f (–x2)，又∵f (–x) =＞0，
∴，即f (x1)＞f (x2)
∴f (x1) + c＞f (x2) + c，即g (x1)＞g(x2)，
△y = g (x2) – g (x1)＜0，
∴g (x)在区间[– b，– a]上是减函数.
函数性质
奇偶性
单调性
定义及单调性判定
解不等式
求最值值域
定义及奇偶性判定
应用奇偶性等价转换
综合应用
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