课题
12.5 第1课时因式分解及提公因式法
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．
2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．
数学思考
使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．
问题解决
掌握用提公因式法把多项式分解因式．
情感态度
增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．
教学
重点
掌握用提公因式法把多项式分解因式．
教学
难点
整式乘法与因式分解之间的关系．
授课
类型
新授课
课时
第一课时
教具
(多媒体)
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回故
请同学们回忆单项式乘以多项式的运算法则并完成下面的题目．
1．计算－3x2(4x－3)等于( )
A．－12x3＋9x2 B．－12x3－9x2
C．－12x2＋9x2 D．－12x2－9x2
2．下列计算正确的有( )
A．(6xy2－4x2y)·3xy＝18xy2－12x2y
B．(－x)(2x＋x2－1)＝－x3－2x2＋1
C．(－3x2y)(－2xy＋3yz－1)＝6x3y2－9x2y2z2－3x2y
D．(an＋1－b)·2ab＝an＋2b－ab2
学生回忆并回答．温故知新.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
【问题牵引】
请同学们探究下面的2个问题：
问题1：720能被哪些数整除？谈谈你的想法．
问题2：当a＝102，b＝98时，求a2－b2的值．
丰富联想，展示思维
探索：你会做下面的填空吗？
1．ma＋mb＋mc＝( )( )；
2．x2－4＝( )( )；
3．x2－2xy＋y2＝( )2.
【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．导出课题：12.5因式分解
1.从学生的已有的知识出发，利用多媒体，激发学生的强烈的好奇心和求知欲.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究】因式分解的概念
【师生交流】
下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？
(1)2x2＋4＝2(x2＋2)；(2)2t2－3t＋1＝(2t3－3t2＋t)；
(3)x2＋4xy－y2＝x(x＋4y)－y2；(4)m(x＋y)＝mx＋my；
(5)x2－2xy＋y2＝(x－y)2.
问题：
1．多项式mn＋mb中各项含有相同因式吗？
2．多项式4x2－x和xy2－yz－y呢？
请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．
【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn＋mb中的公因式是m，在4x2－x中的公因式是x，在xy2－yz－y中的公因式是y.
导出小课题——今天我们首先学习因式分解的第一种方法：1.提公因式法
概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
【教师提问】多项式4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么？
【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．
关键：提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母．公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．
1.通过动手操作：培养学生从一般到特殊转化思想．
2．教师引导学生进行探索，必要时进行适当的启发和提示.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 [课本P44页例1] 把下列多项式分解因式；
(1)－5a2＋25a；(2)3a2－9ab；
例2 分解因式：8a3b＋12ab3c.
例3 把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式
学生活动：学生利用提公因式的定义尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得．
教师活动：教师出示投影片后深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时地引导与启发，最后师生共同评析、总结．
变式一 [课本P45] 把下列多项式分解因式；
(1)a2＋a；(2)4ab－2a2b.
变式二 把下列各式分解因式：
(1)6(p＋q)2－2(p＋q)
(2)2(x－y)2－x(x－y)
(3)2x(x＋y)2－(x＋y)3
变式三 先因式分解，再求值．
(1)x(a－x)(a－y)－y(x－a)(y－a)，其中a＝3，x＝2，y＝4；
(2)－ab(a－b)2＋a(b－a)2－ac(a－b)2，其中a＝3，b＝2，c＝1
变式四 利用提公因式法计算：
0．582×8.69＋1.236×8.69＋2.478×8.69＋5.704×8.69
【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便．
通过例题教学，让学生一方面学会应用新知识，另一方面注意分解因式中的细节.
【拓展提升】
例4 计算：22015－22014
【教师活动】引导学生观察用提公因式法的简便方法．
例5 计算：
2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210.
师生共同分析：注意到210－29＝29·2－29×1＝29·(2－1)＝29，同理，29－28＝28，…23－22＝22，即2n＋1－2n＝2·2n－2n＝(2－1)·2n＝2n.逆用同底数幂的乘法的运算性质将2n＋1化为21·2n.
注意提取的公因式，是指数较小的那个幂．
例6 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3
(1)上述分解因式的方法是__提分因式法__，共应用了__2__次．
(2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2004，则需应用上述方法2004次，结果是__(1＋x)2005__．
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．
归纳：
此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．
1.知识的综合与拓展提高应考能力．
2．注意留出时间让学生讨论、交流，引导学生进行归纳、概括.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂检测】
1．下列多项式因式分解正确的是( )
A．18x4y＋27x3y2＝3x3y(bx＋9y)
B．x3y＋x2y2＝xy(x2＋xy)
C．2x3＋bx2＋2x＝2x(x2＋3x)
D．－4x2y3＋bx2y－8xy2＝－2xy(2xy2－3x＋4y)
2．(1)12m2n2与12mm的公因式是________．
(2)πR2－2aπR＝πR(________)
(3)－4p2＋12pq＝(________)(p－3q)
3．把下列各式分解因式．
(1)x2yz－xy2z＋xyz2；(2)－8x4－48x3y；
(3)－64x2y2z－32xy3z＋48xy2z2；(4)xmyx＋1－2x2myn
4．把下列各式分解因式：
(1)6p(p＋q)－4p(p＋q)；
(2)(m＋n)(p＋q)－(m＋n)(p－q)；
(3)(2a＋b)(2a－3b)－3a(2a＋b)；
(4)x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2；
课堂小结
本节课你学到了什么，谈谈你的感受吧！
布置作业
课本P45习题12.5第1题中(1)(2)；第2题．
1.当堂检测，及时反馈学习效果．
2．及时总结提公因式进行分解因式的方法，便于学生记忆和运用．
3．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止.
【知识网络】
框架图式总结，更容易形成知识网络.
【教学反思】
①[授课流程反思]
导入过程中注意激发学生的学习兴趣．
②[讲授效果反思]
本节课教师一定要使学生高清：利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．在找最大公因式时应注意：(1)系数要找最大公约数；(2)字母要找各项都有的；(3)指数要找最低次幂．
③[师生互动反思]
师生互动中教师因势利导培养学生逆向思维，渗透化归的思想方法．
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思，更进一步提升.
课题
第2课时运用平方差公式因式分解
授课人
教
学
目
标
知识技能
会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．
数学思考
经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．
问题解决
利用平方差公式分解因式．
情感态度
培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．
教学
重点
利用平方差公式分解因式．
教学
难点
领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．
授课
类型
新授课
课时
第一课时
教具
(多媒体)
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
上节课我们学习了因式分解的概念及其提公因式法分解因式．下面的问题你能解决吗？
1．填空：(a＋b)(a－b)＝________．
2．分解因式：6x2y2－3x2y＋3xy＝________．
3．说出1—20的平方的结果．
学生回忆并回答．为本节课作知识储备.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
【问题牵引】
请同学们计算下列各式．
(1)(a＋5)(a－5)；(2)(4m＋3n)(4m－3n)．
【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．
(1)(a＋5)(a－5)＝a2－52＝a2－25；
(2)(4m＋3n)(4m－3n)＝(4m)2－(3n)2＝16m2－9n2.
【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．
1．分解因式：a2－25；2.分解因式16m2－9n.
从学生的已有的知识出发，利用多媒体，激发学生的强烈的好奇心和求知欲，增强学生的自信心.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究】用平方差公式分解因式
【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案：
(1)a2－25＝a2－52＝(a＋5)(a－5)．
(2)16m2－9n2＝(4m)2－(3n)2＝(4m＋3n)(4m－3n)．
【教师活动】引导学生完成a2－b2＝(a＋b)(a－b)的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．
平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式(单项式、多项式)．
1.通过问题培养学生逆向思维的能力．
2．经历思考、交流归纳出公式.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 [教材第44页例1中的(3)] 分解因式：25x2－16y2.
例2 [教材第44页例2中(2)] 3x2－12xy2.
变式 (1)4x2－9；(2)(x＋p)2－(x－p)2
(3)x4－y4；(4)a3b－ab
【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请学生上讲台板演．
【学生活动】分小组，合作探究．
【强化训练】
课本第45页练习1中的(2)，练习2中的(3)(4)
通过多媒体课件演示，充分发挥例题的作用，培养学生对整体思想的认识.
【拓展提升】
利用平方差公式论证问题：
1．求证：当n是正整数时，n3－n的值一定是6的倍数．
2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的平方差能被一个奇数整除．
教师应注意提醒学生2题怎样去设．学生合作交流探究这两道题的解法．
知识的综合与拓展提高应考能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂检测】
1．填空：81x2－________＝(9x＋y)(9x－y)；x2－0.25y2＝________．
利用因式分解计算：2012－1992＝________．
2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．x2＋9
3．把下列各式分解因式
(1)1－16a2 (2)9a2x2－b2y2
(3)49(a－b)2－16(a＋b)2
4．分解因式81a4－b4＝________
课堂总结
本节课的收获吧！
提公因式与平方差公式在同一个题中出现时，要先考虑提公因式法，再考虑平方差公式；并且每个因式都要分解彻底．
布置作业
课本P45习题12.5第1题中(3)(4)(5)，第3题
1.当堂检测，及时反馈学习效果．
2．通过练习理解平方差公式的结构特征，从而提高学生灵活应用公式进行因式分解的能力．
3．通过总结可以让学生对因式分解有更进一步的理解.
【知识网络】
运用平方差公式分解因式
框架图式总结，更容易形成知识网络.
【教学反思】
①[授课流程反思]
A．新课导入□ B．情景导入□
导入时教师要提醒学生如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底．
②[讲授效果反思]
A．重点□ B．难点□ C．易错点
运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．
③[师生互动反思]
师生出示幻灯片后要放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思，更进一步提升.
课题
第3课时 运用完全平方公式分解因式
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．
2．选择合适的方法因式分解．
数学思考
经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．
问题解决
培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．
情感态度
培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神．
教学
重点
理解完全平方公式因式分解，并学会应用．
教学
难点
灵活地应用公式法进行因式分解．
授课
类型
新授课
课时
第一课时
教具
(多媒体)
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
上节课我们学习了运用平方差公式分解因式，同学们能解决下面的题目吗？
分解因式：
(1)－9x2＋4y2；(2)(x＋3y)2－(x－3y)2；
(3)x2－0.01y2.
学生回忆并回答，复习巩固前一节的内容.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
计算下列各式：
(1)(m－4n)2；(2)(m＋4n)2；
(3)(a＋b)2；(4)(a－b)2.
【教师活动】引导学生完成下面两道题，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．
直接利用复习引入新课，重点突出！
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究】运用完全平方公式分解因式
分解因式：
(1)m2－8mn＋16n2(2)m2＋8mn＋16n2；
(3)a2＋2ab＋b2；(4)a2－2ab＋b2.
【学生活动】从逆向思维的角度入手，很快得到下面答案：
解：(1)m2－8mn＋16n2＝(m－4n)2；(2)m2＋8mn＋16n2＝(m＋4n)2；
(3)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；(4)a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
【归纳公式】完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
学生独立思考、合作交流在前一节学习公式法经验的基础上，总结利用完全平方公式分解因式的经验.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 [教材第44页例1中的(4)] 分解因式：x2＋4xy＋4y2.
例2 [教材第44页例2中的(1)] 分解因式：4x2y－4x2y2＋xy2；
【总结归纳】先提公因式，再考虑公式法分解因式．
变式一 分解因式：
(1)16x2＋24x＋9；(2)－x2＋4xy－4y2；
(3)3ax2＋6axy＋3ay2；(4)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.
变式二 分解因式：
(1)x2－4(x－1)＝________．
(2)x(x－1)－3x＋4＝________．
例3 因式分解：
(1)3x3－6x2y＋3xy2；
(2)m4－16；
(3)(x＋2)(x＋4)＋x2－4.
解：(1)3x3－6x2y＋3xy2＝3x(x2－2xy＋y2)＝3x(x－y)2.
(2)m4－16＝(m2＋4)(m2－4)＝(m2＋4)(m＋2)(m－2)．
(3)(x＋2)(x＋4)＋x2－4
＝(x＋2)(x＋4)＋(x＋2)(x－2)＝(x＋2)[(x＋4)＋(x－2)]
＝(x＋2)(2x＋2)＝2(x＋2)(x＋1).
1.充分发挥例题的作用，要学生熟悉解题步骤与格式．
2．变式一训练目的是让学进一步强化公式的结构特点，明白满足哪些条件时，才可以用完全平方公式分解因式．
3．变式二是让学生明白应该先进行整式乘法化简原式，变成最简和的形式，再分解因式．
4．例3让学生灵活选择方法分解因式.
【拓展提升】
例4 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2x3y2＋x4y2的值．
例5 若26＋28＋2n是一个完全平方数(能写成一个整数的平方)，则n＝________．
知识的综合与拓展提高应考能力
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂检测】
1．9x2－30xy＋________＝(3x－________)2
2．把下列各式分解因式：
(1)x2y2－xy＋1；(2)a2＋a＋；(3)4－12(a－b)＋9(b－a)2
3．若4x2－mx＋9是完全平方式，则m的值是( )
A．3 B．4 C．12 D．±12
4．已知a＋b＝－3，ab＝2，则的值是( )．
A．1 B．4 C．16 D．9
5．把下列各式分解因式：
(1)(a2＋1)2－4a2；(2)1－x2＋4xy－4y2.
课堂小结：由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：
a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
a2±ab＋b2＝(a±b)2.
师生讨论：在运用公式因式分解时，要注意：每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解．
布置作业，
课本P45习题12.5第1题的(6)(7)(8)．
1.当堂检测，及时反馈学习效果．课堂总结，发展潜能．
2.结合上节因式分解的方法加以总结，培养学生综合运用多种方法的能力.3.注意提醒学生当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，然后再运用公式分解.
【知识网络】
运用完全平方公式因式分解
框架图式总结，更容易形成知识网络.
【教学反思】
①[授课流程反思]
A．新课导入□ B．情景导入□
导入时注意引导学生关注公式的结构特征．
②[讲授效果反思]
A．重点□ B．难点□ C．易错点□
学生通过例题的学习及练习自己总结在综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意的问题和解题步骤，可由1个或几个学生回答，互相补充，教师归纳
③[师生互动反思]
师生共同讨论后形成共识：(1)如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解．(2)分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止．(3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．即：“一提”、“二套”、“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确．
④[习题反思]
好题题号_____________________________________
错题题号_____________________________________
反思，更进一步提升.
