高中数学必修一知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：17【提高】指数函数

指数函数及性质（B）
【学习目标】
1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；
2.掌握指数函数图象：
(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；
(2)掌握底数对指数函数图象的影响；
(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．
3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；
5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题．
【要点梳理】
要点一、指数函数的概念：
函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.
要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：
①如果，则
②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．
③如果，则是个常量，就没研究的必要了．
要点二、指数函数的图象及性质：
y=ax
0a>1时图象
图象
性质
①定义域R，值域 （0，+∞）
②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点
③ax=a，即x=1时，y等于底数a
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤x<0时，ax>1
x>0时，0⑤x<0时，0x>0时，ax>1
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数
要点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
（2）当时，；当时．
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
/
② ③ ④
则：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(0,+∞)时， （底大幂大）
x∈(－∞,0)时，
（2）特殊函数
的图像：
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.
(2)中间量法
(3)分类讨论法
(4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若；；；
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．
【典型例题】
类型一、函数的定义域、值域
例1．求下列函数的定义域、值域.
(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)
【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [)；（3） ；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞)
[1，a)∪(a，+∞)
【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切xR，3x≠-1).
∵ ，又∵ 3x>0， 1+3x>1，
∴ ， ∴ ，
∴ ， ∴值域为(0，1).
(2)定义域为R，，∵ 2x>0， ∴ 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴ 值域为[).
(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.
(4)∵ ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，
又∵ ，∴ ， ∴值域为[1，a)∪(a，+∞).
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(4)小题中不能遗漏.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a>1时，；0【解析】(1)R
(2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即，即．
(3) 为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即
(4) 为使得原函数有意义，需满足，即，所以a>1时，；0【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.
类型二、指数函数的单调性及其应用
例2．讨论函数的单调性，并求其值域．
【思路点拨】对于x∈R，恒成立，因此可以通过作商讨论函数的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．
【答案】函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3]
【解析】
解法一：∵函数的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，
∴，，
．
（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知．
又对于x∈R，恒成立，∴．
∴函数在（－∞，1）上单调递增．
（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知
．∴．
∴函数在[1，+∞）上单调递减．
综上，函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．
∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，，．
∴函数的值域为（0，3]．
解法二：∵函数的定义域为R，令u=x2－2x，则．
∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，在其定义域内是减函数，∴函数在（－∞，1]内为增函数．
又在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数在[1，+∞）上是减函数．
值域的求法同解法一．
【总结升华】由本例可知，研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a＞1时，的单调性与的单调性相同；当0＜a＜1时，的单调与的单调性相反．
举一反三：
【变式1】求函数的单调区间及值域.
【答案】上单增，在上单减.
【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x2+3x-2， y=3u；
[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域.
设u=-x2+3x-2， y=3u，
其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在上单增，
u=-x2+3x-2在上单减，
则在上单增，在上单减.
又u=-x2+3x-2， 的值域为.
【变式2】求函数的单调区间.
【解析】当a>1时，外层函数y=au在上为增函数，内函数u=x2-2x在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数上为减函数，在区间上为增函数；
当0例3．讨论函数的单调性．
【答案】在（－∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增
【解析】注意．因而原函数是指数函数与二次函数y=t2－2t+2的复合函数．
令，则y=t2―2t+2．由在R上递减，又y=t2―2t+2在（―∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，而当，则x≥0；当，则x≤0．
∴函数在（－∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增．
【总结升华】研究型的复合函数的单调性，一般用复合法，即设，再由内函数与外函数的单调性来确定的单调性．
举一反三：
【变式1】 求函数(x[-3，2])的单调区间，并求出它的值域.
【答案】单调增区间是[1，2]，单调减区间是[-3，1] [，57]
【解析】令， 则，
∵ x[-3，2]， ∴ ， ∴， ∴ 值域为[，57]， 再求单调区间.
(1) 即 即x[1，2]时，是单调减函数，是单调减函数，故是单调增函数.
(2)即即x[-3，1]时，是单调减函数，是单调增函数，故是单调减函数，
∴ 函数的单调增区间是[1，2]，单调减区间是[-3，1].
【总结升华】形如y=Aa2x+Bax+C(a>0，且a≠1)的函数若令ax=u，便有y=Au2+Bu+C，但应注意u>0
【变式2】（2017年福建高考）若函数(a∈R)满足，且在[m，+∞)单调递增，则实数m的最小值等于_______．
【答案】1
【解析】由得函数关于x=1对称，故a=1，则，由复合函数单调性得在[1，+∞)递增，故m≥1，所以实数m的最小值等于1．
例4．(1)1.8a与1.8a+1； (2)
(3)22.5，(2.5)0， (4)
【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小．
【答案】（1）1.8a<1.8a+1 （2） （3）
（4）当a>1时，，当0【解析】
(1)因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x为单调增函数，
又因为a(2)因为，又是减函数，所以，即．
(3)因为，，所以
(4)当a>1时，，当0【总结升华】
(1)注意利用单调性解题的规范书写；
(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；
(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”).
举一反三：
【变式1】比较大小： ，，；
【答案】（1）
【解析】（1）解：=

作出的图象知

所以
【变式2】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.
【答案】
【解析】先比较的大小.由于底数(0，1)， ∴ 在R上是减函数，∵ ， ∴ ，再考虑指数函数y=1.3x， 由于1.3>1， 所以y=1.3x在R上为增函数1.30.7>1.30=1， ∴ .
【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.
【变式3】如果（，且），求的取值范围．
【答案】当时，；当时，
【解析】（1）当时，由于，
，解得．
（2）当时，由于，
，解得．
综上所述，的取值范围是：当时，；当时，．
类型三、判断函数的奇偶性
例5．判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)
【答案】偶函数
【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素)，令，则
∴ g(x)为奇函数， 又 ∵为奇函数，∴ f(x)为偶函数.
【总结升华】求的奇偶性，可以先判断与的奇偶性，然后在根据奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出的奇偶性．
举一反三：
【变式1】判断函数的奇偶性：.
【答案】偶函数
【解析】定义域{x|xR且x≠0}，
又
，
∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.
类型四：指数函数的图象问题
例6．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．
【答案】
【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数＜C1的底数＜C4的底数＜C3的底数．
【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低”．
举一反三：
【变式1】 设，c＜b＜a且，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】f（x）=|3x-1|=
故可作出f（x）=|3x-1|的图象如图所示，由图可知，要使c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b）成立，则有c＜0且a＞0，故必有，所以3c+3a＜2．?故选D．
例7．若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值范围是
．
【思路点拨】画出与的图象，利用数形结合的方法去解题．
【答案】
【解析】当时，通过平移变换和翻折可得如图所示的图象，则由图可知，即与矛盾．/
当时，同样通过平移和翻折可得如图所示的图象，则由图可知，即，即为所求．/
【总结升华】（1）解答此题时，要注意底数的不确定性，因此作图时要注意讨论；（2）根据条件确定直线与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的思想．
举一反三：
【变式1】如图是指数函数①，②，③，④的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为（ ）
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
【答案】B
例8．（2018 山西忻州期末）已知函数．
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）指出该函数的单调递增区间；
（3）求函数f（x）的值域．
【答案】（1）略；（2）（－∞，0）；（3）（0，1]
【解析】（1）图象如图所示：
/
（2）由图象可知，函数的单调递增区间为（－∞，0），
（3）由图象可知，函数的值域为（0，1]．
类型五：指数函数的应用
例9．假设A型进口汽车关税率在2010年是2005年的25％，2005年A型进口汽车每辆价格为64万元（其中含32万元关税款），（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2005年每辆价格为46万元，若A型车价格只受关税降低的影响，为了保证2010年B型车的价格不高于A型车价格的90％，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少要降多少万元？（2）某人在2005年将33万元存入银行，假设银行扣除利息税后的年利率为1.8％（五年内不变），且每年按复利计算（例如第一年的利息计入第二年本金），那么五年到期时，这笔钱连本带息是否一定能够买一辆按（1）所述降价后的B型汽车？
【答案】2 能买
【解析】（1）∵2010年的关税率为2005年的关税率的，故所减少的关税款为32×=24（万元）．∴2010年A型车价格为64－24=40（万元）．∵5年后B型车价格不高于A型车价格的90％，∴有B型车价格≤40×90％=36（万元）．∵2005年B型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元，∴平均每年至少要降2万元．
（2）根据题意，2005年存入的33万元，5年到期时连本带息可得33×(1+1.8％)5（万元）．通过计算器算得33×(1+1.8％)5≈36.08（万元）．∴到期时，这笔钱连本带息一定能够买一辆按（1）所述降价后的B型汽车．
【总结升华】本题是涉及指数函数的应用题，与指数函数相关的应用题较多，如放射性物质的衰变、人口的增长问题、国民生产总值的增长问题、成本的增长或降低等问题．它的基本模型是：设原有产值为N，平均增长率为P，则对于经过x年后的总产值y可以用y=N(1+P)x表示．
本例（2）在计算五年到期连本带息的和时，用到了公式（其中a为开始存入时的本金，r为每期的利率，n为期数），该公式可用特例归纳法得到：第l期到期时本利和为a+ar=a(1+r)；第2期到期时本利和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2；第3期到期时本利和为a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3；…；第n期到期时本利和为a(1+r)n―1+a(1+r)n―1r=a(1+r)n．
举一反三：
【变式1】 某乡镇现在人均粮食占有量为360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%．设x年后年人均粮食占有量为y千克，求出函数y关于x的解析式．
【答案】
【解析】设该乡镇人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克，经过x年后，该乡镇粮食总产量为 360M(1+4%)x，人口数量为M(1+1.2%)x，则经过x年后，人均占有粮食千克．
即所求函数解析式为．
类型六：指数函数性质的综合
例10．设（a，b为实常数）。
（1）当时，证明：①不是奇函数；
②是上的单调递减函数。
（2）设是奇函数，求/与/的值。
【答案】（1）详见证明；（2）或
【解析】
（1）①，其定义域为R
，，
所以，即不是奇函数
②在上任取且，则
因为，所以，又因为，
所以 ，即
所以是上的单调递减函数。
（2）是奇函数时，，
即对定义域中的任意实数都成立，
化简整理得，这是关于x的恒等式，
所以 所以或
巩固练习
1．函数在R上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知定义在上的奇函数和偶函数满足
，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．用表示三个数中的最小值．设，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6　　 D．7
5．函数的值域是（ ）
A． B． 　　C． D．
6．已知，则函数的图像必定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2017年山东高考）设函数则满足的a的取值范围是
A． B．[0,1]
C． D．[1,+∞）
8．一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ ）
A． B． C． D．
9．设函数若，则的取值范围是_________．
10．函数的值域是区间，则与的大小关系是 .
11．函数的值域是 ．
12．方程的实数解的个数为 ．
13．（2018 哈尔滨四模）若函数（a∈R）满足f（2+x）=f（2－x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值为________．
14．设，解关于的不等式．
15．已知为定义在 上的奇函数，当时，函数解析式为.
（Ⅰ）求在上的解析式；（Ⅱ）求在上的最值．
16．（2018 四川简阳市月考）已知函数的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）－f（x+2）
（1）求g（x）的解析式及定义域；
（2）若x∈[0，1]，求函数g（x）的最大值和最小值．
17．某工厂今年月，月，月生产某产品分别为万件，万件，万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系．模拟函数可以选二次函数或函数（其中，，为常数）．已知月份该产品的产量为万件，请问，用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
答案与解析
1．【答案】D
【解析】因为函数是上的减函数，所以，所以，即．
2．【答案】B
【解析】因为（1），所以，又为奇函数，为偶函数，所以（2），有（1）、（2）得：．．
3．【答案】C
【解析】（2）（4）（5）正确，其余错误．
4．【答案】C
【解析】由题意易知，画出的图象，易知的最大值为6．
5．【答案】D
【解析】当时，；
当时，，故选D．
6．【答案】A
【解析】取特殊值法，取，所以得函数=，由图象平移的知识知， 函数=的图象是由函数=的图象向下平移两个单位得到的，故其图象一定不过第一象限．
7．【答案】C
【解析】当a≥1时，
当a＜1时，，若，则
即3a－1≥1
综上： 故选C
8．【答案】D
【解析】一年后价值为，两年后价值为，…，年后价值为，故选D．
9．【答案】
【解析】当时，由可知，；当时，由可知，，∴ 或 ．
10．【答案】
【解析】由题意，的值域是区间
所以
如图，画出的图像
/
是偶函数，所以，而，
所以
11．【答案】
【解析】令，∵ ，又∵为减函数，∴．
12．【答案】2
【解析】分别作出函数与函数的图象，当，从图象上可以看出它们有2个交点．
13．【答案】2
【解析】∵；
∴f（x）关于x=a对称；
又f（2+x）=f（2－x）；
∴f（x）关于x=2对称；
∴a=2；
∴；
∴f（x）的单调递增区间为[2，+∞）；
又f（x）在[m，+∞）上单调递增；
∴实数m的最小值为2．
故答案为：2
14．【解析】∵，∴ 在上为减函数，∵ ， ∴．
15．【答案】（Ⅰ）＝；（Ⅱ）最大与最小值分别为0，
【解析】（Ⅰ）设，则．
∴＝－＝
又∵＝－()
∴＝.
所以，在上的解析式为＝
（Ⅱ）当，＝，
∴设，则
∵，∴
当时，，.
当时，，.
所以，函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，
16．【答案】（1），[0，1]；（2）函数g（x）的最大值为―3，最小值为―4
【解析】（1），
∵的定义域是[0，3]，
∴，解得0≤x≤1，
∴g（x）的定义域为[0，1]．
（2）由（1）得，
设，则t∈[1，2]，
∴，
∴g（t）在[1，2]上单调递减，
∴g（t）max=g（1）=―3，g（t）min=g（2）=―4．
∴函数g（x）的最大值为―3，最小值为―4．
17．【答案】用函数作为模拟函数较好．
【解析】设，
则，
解得，，．
．
．
再设，则，
解得，，．
，
．
经比较可知，用作为模拟函数好．