高中数学必修一知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：21【提高】对数函数

对数函数及其性质（B）
【学习目标】
1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；
2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；
3．了解反函数的概念，知道指数函数与对数函数互为反函数．
【要点梳理】
要点一、对数函数的概念
1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为．
2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
要点诠释：
（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．
（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．
要点二、对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过定点（1，0），即x=1时，y=0
在（0，+∞）上增函数
在（0，+∞）上是减函数
当0＜x＜1时，y＜0，
当x≥1时，y≥0
当0＜x＜1时，y＞0，
当x≥1时，y≤0
要点诠释：
关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.
以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0.
要点三、底数对对数函数图象的影响
1．底数制约着图象的升降．
如图
要点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2．底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0要点四、反函数
1．反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
要点诠释：
并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．
2．反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典型例题】
类型一、函数的定义域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.
例1. 求下列函数的定义域：
(1)； (2).
【答案】（1）；（2）．
【解析】由对数函数的定义知：，，解出不等式就可求出定义域.
(1)因为，即，所以函数；
(2)因为，即，所以函数.
【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域.
(1) y= (2) （且）.
【答案】（1）(1，)(，2]；（2）略
【解析】(1)因为， 所以，
所以函数的定义域为(1，)(，2].
（2）因为 ， 所以.
①当时，定义域为；
②当时，
(i)若，则函数定义域为(，+∞)；
(ii)若，且，则函数定义域为(-∞，)；
(iii)若，则当时，函数定义域为；当时，此时不能构成函数，否则定义域为(.
【变式2】函数的定义域为[-1，2]，求的定义域.
【答案】[，16].
【解析】由，可得的定义域为[，4]，再由得的定义域为[，16].
类型二、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.
例2. 比较下列各组数中的两个值大小：
(1)；
(2)；
(3)与；
(4) 与．
(5)（）．
【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。
【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略．
【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.
(1)解法1：画出对数函数的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，；
解法2：由函数在R+上是单调增函数，且3.6<8.9，所以；
(2)与第(1)小题类似，在R+上是单调减函数，且1.9<3.5，所以；
(3)函数和的图象如图所示．当时，的图象在的图象上方，这里，．
(4)
(5) 注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当时，在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，
当时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，
解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，
令，则，令，则
当时，在R上是增函数，且4.2<4.8，
所以，b1当时，在R上是减函数，且4.2<4.8
所以，b1>b2，即.
【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：
（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．
（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．
例3．比较其中01的大小.
【答案】
【解析】由01，得，
，

，即


【总结升华】若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小，中间变量常常用“0”和“1”．用“0”和“1”把所给的数先分两组，然后组内再比较大小．
举一反三：
【变式1】已知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得
又∵为单调递增函数，
∴
故选C.
【变式2】比较的大小．
【答案】
【解析】
例4．已知定义在R上的函数是偶函数，且x≥0时，），
（1）当x＜0时，求f（x）解析式；
（2）写出f（x）的单调递增区间．
【思路点拨】（1）x＜0时，－x＞0，代入已知x≥0时，，可得，根据偶函数的性质可求得
（2）根据复合函数的单调性及二次函数的单调性分别求解两段函数的单调增区间即可
【答案】（1）；（2）单调增区间为：（－1，0），（1，+∞）
【解析】（1）x＜0时，－x＞0
∵x≥0时
∴
∵y=f（x）是偶函数，∴f（－x）=f（x）
x＜0时，
（2）由（1）知x＜0时，，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间（－1，0）
x≥0时，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间（1，+∞）
所以函数的单调增区间为：（－1，0），（1，+∞）
【总结升华】本题主要考查了利用偶函数的对称性求解函数的解析式，复合函数的单调区间的求解，（2）中对每段函数求解单调区间时要注意函数的定义域．
研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．
研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．
举一反三：
【变式1】求函数的值域和单调区间．
【答案】；减区间为，增区间为．
【解析】设，则，∵ y=t为增函数，
的值域为．
再由：的定义域为
在上是递增而在上递减，而y=t为增函数
∴ 函数y=的减区间为，增区间为.
【变式2】求函数的单调区间
【答案】减区间是：和
【解析】①若则递增，且递减，而，即，
在上递减．
② 若，则递减，且递增，而，即，
在上递减．
综上所述，函数的单调递减区间是：和．
类型三、函数的奇偶性
例5. 判断下列函数的奇偶性.
(1) (2).
【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。
【答案】（1）奇函数；（2）奇函数．
【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.
(1)由
所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称
又
所以函数是奇函数；
【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
(2)【解析】由
所以函数的定义域为R关于原点对称
又
即f(-x)=-f(x)；所以函数.
【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.
类型四、反函数
例6．（2018春 河北衡水月考）已知点（2，99）在函数f（x）=lg（x+b）的反函数的图象上．
（1）求实数b的值；
（2）若0＜f（1―2x）―f（x）＜1，求x的取值范围．
【思路点拨】（1）根据点（2，99）在函数f（x）=lg（x+b）的反函数的图象上，可得：点（99，2）在函数f（x）=lg（x+b）的图象上，代入构造关于b的方程，解得实数b的值；
（2）若0＜f（1―2x）―f（x）＜，则，解得x的取值范围．
【答案】（1）b=1；（2）．
【解析】（1）∵点（2，99）在函数f（x）=lg（x+b）的反函数的图象上，
∴点（99，2）在函数f（x）=log（x+b）的图象上，
即lg（99+b）=2，即99+b=100，
解得：b=1；
（2）由（1）得f（x）=lg（x+1），x＞－1，
则0＜f（1―2x）―f（x）＜1可化为：
，
即，解得：，
即x的取值范围为
【总结升华】本题考查反函数，解题关键是掌握住反函数的定义，由定义求出反函数解析式，本题有一易漏点，即记忆求出函数的定义域，对于求函数的解析式的题，一般要求出函数的定义域．
举一反三：
【变式1】 若函数是函数且a≠1)的反函数，且，则（ ）
(A) (B) (C) (D)2
【答案】A
【解析】解法1：函数是函数且a≠1)的反函数
，又
，，
故选A．
解法2：函数是函数且a≠1)的反函数，且
点（1，2）在函数的图象上，
故选A．
类型五、利用函数图象解题
例7．若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】画出函数的图象与函数的图象，然后借助图象去求借。
【答案】
【答案】要使不等式在时恒成立，即函数的图在内恒在函数图象的上方，而图象过点．由右图可知，，显然这里0＜a＜1，∴函数递减．又，∴，即．∴所求的a的取值范围为．
【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．本例中，利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．
在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．
举一反三：
【变式1】函数 的图象如右图所示．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）当时，，
根据图像，所以．
当时，．
根据图像，，即 ， ．
∴．
（2）由（1）知，
当时，由解得 .
当时，由解得 .
综上所述，的值为或
类型六、对数函数性质的综合应用
例8．（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）已知函数的值域为，求实数的取值范围；
（3）的定义域为，求实数的取值范围．
【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.的定义域为R，即关于的不等式的解集为R，这是不等式中的常规问题.
的值域为R与恒为正值是不等价的，因为这里要求取遍一切实数，即要求取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使能取遍一切正数的条件是.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
（1）的定义域为R，
恒成立，，．
（2）的值域为R，
取遍一切正数，，．
（3）由题意，问题可等价转化为不等式的解集为，记作图形，如图所示，只需过点，，即满足，且即可，解得．所以由图象可以看出若，则，即，得：，所以。
【总结升华】如果函数的定义域为某个区间D，则函数在这个区间D的任何子集内部都有意义；如果函数在区间E上有意义，而的定义域为D，则必有．
举一反三：
【变式1】 已知函数.
(1)若函数的定义域为R，求实数的取值范围；(2)若函数的值域为R，求实数的取值范围.

【答案】（1）a>1；（2）0≤a≤1．
【解析】(1) 的定义域为R，即：关于x的不等式的解集为R，
当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；
当a≠0时，有 a>1.∴ a的取值范围为a>1.
(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0≤a≤1，
∴ a的取值范围为0≤a≤1.
例9．已知函数（常数）．
（1）求的定义域；
（2）在函数的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于轴；
（3）当，满足什么关系时，在上恒取正值．
【思路点拨】本题为对数指数问题的综合题，求定义域首先保证对数的真数为正，再利用指数运算性质求出定义域．（2）中证明是否存在要由单调性来确定，若单调递增或递减，就不存在两点两线平行于轴．
【答案】（1）（2）不存在（3）
【解析】
（1）由，得，由，得，故，即函数的定义域为．
（2）设，

故
即，
在上为增函数．
假设函数的图象上存在不同的两点，，使直线AB平行于轴，即，这与是增函数矛盾．
故函数的图象上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于轴．
（3）由（2）知在上是增函数
在上也是增函数
当时，
只需，即
当时，在上恒取正值．
【总结升华】此题综合性较强，综合考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键．
举一反三：
【变式1】已知，是否存在实数、，使同时满足下列两个条件：①在上是减函数，上是增函数；②的最小值是1．若存在，求出、的值，若不存在，说明理由．
【答案】
【解析】设存在满足条件的、
在上是减函数，上是增函数，
当时，最小，从而
设，则，
恒成立，
即恒成立，
又因此恒成立，从而．
设，则恒成立，化简得
恒成立，
又所以恒成立，故．
综上，．
【巩固练习】
1．已知，那么a的取值范围是( )
A． B． C． D．或a>1
2．（2017年重庆高考）函数的定义域是
A．[－3，1] B．（－3，1）
C．（－∞，－3]∪[1，+∞） D．（ －∞，－3）∪（1,+∞）
3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4．函数的图象关于( )
A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称
5．函数的值域是( )
A． B． C． D．
6．下列区间中，函数在其上为增函数的是
A． B． C． D．
7．设方程2x+x-3=0的根为，方程log2x+x-3=0的根为，则的值是( 　)
A．1 B．2 C．3 D．6
8．（2018 哈尔滨一模）已知函数，则不等式f（x）≤5的解集为（ ）
A．[―1，1] B．（―∞，―2]∪（0，4）
C．[―2，4] D．（―∞，－2]∪[0，4]
9．函数若则= ．
10．函数在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为
11．函数的反函数是 ．
12．已知函数y=loga(kx2+4kx+3)，若函数的定义域为R，则k的取值范围是 ； 若函数的值域为R，则k的取值范围是 ．
13．已知，x∈[1，9]
（1）求的定义域；
（2）求的最大值及当y取最大值时x的值．
14．（2018春 江苏淮阴区期中）已知函数（a为常数）．
（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．
15．一片森林的面积为，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，则砍伐到原面积的一半时，所用时间是50年．为了保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的．已知到今年为止，森林剩余面积为
（1）问到今年为止，该片森林已砍伐了多少年？
（2）问今后最多还能砍伐多少年？
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】当a>1时，由知，故a>1；当01．
2．【答案】D
【解析】由，即
解得x＜－3或x＞1。
故选：D．
3．【答案】C　
【解析】函数=，由“左加右减”知，选C．
4．【答案】C　
【解析】此函数是奇函数，奇函数图象关于原点对称．
5．【答案】C　
【解析】令，的值域是，所以的值域是．
6．【答案】D
【解析】用图象法解决，将的图象关于轴对称得到，再向右平移两个单位，得到，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图象．由图象，选项中是增函数的显然只有D．
7．【答案】C　
【解析】将方程整理得2x=-x+3，log2x=-x+3，如图所示，可知是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标；是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3的交点B的横坐标．由于函数y=2x与函数y=log2x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以A，B两点也关于直线y=x对称，所以，．注意到在直线y=-x+3上，所以有，即．
8．【答案】C
【解析】由于，
当x＞0时，，即，解得0＜x≤4，
当x≤0时，，即（x―3）（x+2）≤0，解得－2≤x≤3，
∴不等式f（x）≤5的解集为[－2，4]，
故选C．
9．【答案】-1或2；　
【解析】令，．
10．【答案】
分析：结合函数与的单调性可知在[0，1]单调，从而可得函数在[0，1]上的最值分别为f（0），f（1），代入可求a
【解析】∵与具有相同的单调性．
∴在[0，1]上单调，
∴，即，
化简得，解得
故答案为：
点评：本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性的简单运用，利用整体思想求解函数的最值，试题比较容易．
11．【答案】
【解析】由得，由得．因此原函数的反函数是　
12．【答案】．
【解析】要使函数的定义域为R，只需对一切实数x， kx2+4kx+3>0恒成立，其充要条件是k=0或解得k=0或，故k的取值范围是．
要使函数的值域为R，只需kx2+4kx+3能取遍一切正数，则，解得． 故k的取值范围是．
13．【答案】[1，3]；x=3时，最大值为13
分析：（1）把代入得到函数的解析式，由求得函数的定义域；
（2）令换元，然后利用配方法求函数的最大值并求得当y取最大值时x的值．
【解析】（1）∵，
∴
．
∵函数的定义域为[1，9]，
∴要使函数有定义，
则，∴1≤x≤3，
即函数定义域为[1，3]；
（2）令，则0≤u≤1．
，
又∵函数在[－3，+∞）上是增函数，
∴当u=1时，函数有最大值13．
即当，x=3时，函数有最大值为13．
点评：本题考查了复合函数定义域的求法，考查了复合函数的单调性，训练了利用换元法求函数的值域．
14．【答案】（1）略；（2）a∈[1，2）．
【解析】（1）由，当0＜a＜2时，解得x＜1或，
当a＜0时，解得．
故当0＜a＜2时，f（x）的定义域为；
当a＜0时，f（x）的定义域为．
（2）令，因为为减函数，
故要使f（x）在（2，4）上是减函数，
则在（2，4）上为增且为正．
故有．
故a∈[1，2）．
15．【答案】（1）25（2）75
【解析】（1）设每年砍伐面积的百分比为，经过年后森林剩余面积为
则，所以，即．
又，所以，
所以，即到今年为止，一砍伐了25年．
（2）设从今年开始，以后砍伐了年，
则砍伐了年后森林剩余面积为．
由题意，有，所以，
由（1）知，，即，因为，
所以，解得．
所以，今后最多还能砍伐75年．