高中数学必修一知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：22【基础】幂函数及图象变换

幂函数及图象变换
【学习目标】
1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.
2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。
3．掌握初等函数图象变换的常用方法．
【要点梳理】
要点一、幂函数概念
形如/的函数，叫做幂函数，其中为常数.
要点诠释：
幂函数必须是形如/的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.
要点二、幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
要点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2.作幂函数图象的步骤如下:
(1)先作出第一象限内的图象；
(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；
若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.
3.幂函数解析式的确定
(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4.幂函数值大小的比较
(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
要点三、初等函数图象变换
基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）
由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．
如：的图象变换，
（1）平移变换
y=f(x)→y=f(x＋a) 图象左（）、右（）平移
y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（）、下（）平移
（2）对称变换
y=f(x) →y=f(－x), 图象关于y轴对称
y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于x轴对称
y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称
y=f(x)→ 图象关于直线y=x对称
（3）翻折变换：
y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分
关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数）
y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象
关于x轴对称
要点诠释：
（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。
（2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
【典型例题】
类型一、求函数解析式
例1.已知是幂函数，求、的值．
【答案】
【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组．
由题意得解得
即为所求．
【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．
举一反三：
【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
答案：（4）、（5）是幂函数．
类型二、幂函数的图象
例2.给定一组函数的解析式和相应的函数图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．请把解析式对应的图象序号按照解析式的顺序填在括号里（　　　　　）．　
举一反三：
【变式1】（2017秋 江苏海安县期中）幂函数在第一象限的图象如图所示，若，则________．
【答案】
【解析】由幂函数的图象可以看到：此函数是单调递增且是非奇非偶函数，
因此只有满足条件．
故答案为：．
类型三、幂函数的性质
例3.比较下列各组数的大小.
(1)与； (2)与.
【答案】（1）；（2）。
【解析】(1)由于幂函数()单调递减且，∴.
(2)由于这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)
因此，，，而(x>0)单调递减，且，
∴ .即.
【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.
(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.
举一反三：
【变式1】比较，，的大小.
【答案】
【解析】先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.
在上单调递增，且，
.
作出函数与在第一象限内的图象，
易知.
故.
类型四、求参数的范围
例4.（2017秋 黑龙江大庆期末）已知函数（m∈N*）的图象关于y轴对称，且f（3）＞f（5），求满足的a的取值范围．
【思路点拨】根据幂函数在（0，+∞）上是减函数，可以确定m－3＜0，再根据的图象关于y轴对称，即可得到f（x）为偶函数，从而确定m的值，构造函数g（x）=，利用幂函数的性质，即可列出关于a的不等式，求解不等式可以求得a的取值范围．
根据幂函数在（0，+∞）上函数值随x增大而减小，得到3m－9＜0，然后根据函数图象关于y轴对称，得到函数为偶函数，确定m的值，然后解不等式即可．
【答案】{a｜a＜－1或}．
【解析】∵函数（m∈N*）在（0，+∞）上递减，
∴，解得－1＜m＜3，
∵m∈N+，
∴m=1，2，
又∵函数的图象关于y轴对称，
∴f（x）为偶函数，
∴是偶数，
又m=1时，为偶数，
m=2时，为奇数，
∴m=1，
令，
∴在（－∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，
∵，
∴a+1＞3－2a＞0，或0＞a+1＞3－2a，或a+1＜0＜3－2a，
解得a＜－1，或，
故a的取值范围为{a｜a＜－1或}．
举一反三：
【变式1】若，求实数a的取值范围.
解法1：∵， 考察的图象，得以下四种可能情况:
(1) (2) (3) (4)
分别解得:(1). (2)无解. (3)/. (4).
∴a的取值范围是.
解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，
∴　要使， 即， 解得:.
【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.
类型五、幂函数的应用
例5.（2017秋 湖南长沙期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）是减函数，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若a＞k，比较与的大小．
【思路点拨】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N*，求出k的值，写出函数的解析式．
（2）利用指数函数的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）幂函数的图象关于y轴对称，
所以，，解得－1＜k＜3，
因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数在区间（0，+∞）为减函数，
∴k=1，
函数的解析式为：．
（2）由（1）知，a＞1．
①当1＜a＜e时，0＜lna＜1，；
②当a=e时，lna=1，；
③当a＞e时，lna＞1，．
举一反三：
【变式1】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性．
【答案】，奇函数，在上单调递增
【解析】（1）是正偶数，
是正奇数．
函数的定义域为．
（2）是正奇数，
，且定义域关于原点对称．
是上的奇函数．
（3），且是正奇数，
函数在上单调递增．
类型六、基本初等函数图象变换
例6．作出下列函数的图象：
(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.
【解析】(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3).
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【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可。
一般地，函数（为实数）的图象是由函数的图象沿轴向右（或向左）平移个单位（此时为的图象），再沿轴向上（或向下）平移个单位而得。
含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象，在时相同，而在时，关于轴对称。
举一反三：
【变式1】作出的图象。
【解析】
先画出的图象，然后
如下图：
【变式2】作函数的图象。
【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成。
第一步：作的图象甲。
第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位，得的图象乙。
第三步：将的图象在轴下方的部分作关于轴的对称变换，得的图象丙。
第四步：将的图象沿轴向上平移2个单位，便得到所求函数的图象丁。
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巩固练习
1．下列函数中，是幂函数的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数的定义域是（ ）
A．[0，+∞） B．（-∞，0） C．（0，+∞） D．R
3．函数的图象是（ ）
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4．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2017秋 广东河源期末）幂函数的图象过点（2，4），那么函数f（x）的单调递增区间是（ ）
A．（－2，+∞） B．[－1，+∞） C．[0，+∞） D．（－∞，－2）
6．若幂函数的图象在0A．<1 B．>1 C．0<<1 D．<0
7．下列结论中正确的个数有（ ）
（1）幂函数的图象一定过原点； 　　 （2） 当<0时,幂函数是减函数；
（3）当>0时，幂函数是增函数；（4）函数既是二次函数，又是幂函数．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．三个数，，的大小顺序是（ ）
A．c9．（2017 陕西宝鸡三模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则________．
10．（2018 上海模拟）已知幂函数的图象经过点（8，4），则k－a的值为________．
11．若，则实数a的取值范围是 ．
12．函数的单调递减区间为 ．
13．比较下列各组中两个值大小
（1） （2）
14．（2017秋 湖南邵东县期末）已知幂函数f（x）的图象经过点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．
15．（2017秋 广州期中）已知，
（1）分别求出A，B的值；
（2）已知函数是幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，求m的值．
答案与解析
1．【答案】B
【解析】根据幂函数的定义判断，是幂函数．
2．【答案】C
【解析】函数，所以函数的定义域是．
3．【答案】C
【解析】函数，因为，所以这个函数为偶函数，图象关于轴对称，可能是或，又，所以当时，图象应在直线的下方，故选C．
4．【答案】A
【解析】函数，所以函数是偶函数，又，所以函数在区间上单调递减，故选A．
5．【答案】C
【解析】幂函数的图象过点（2，4），
所以，即，所以幂函数为
它的单调递增区间是：[0，+∞）
故选C．
6．【答案】B
【解析】幂函数，考察指数函数的增减性知，．
7．【答案】A
【解析】幂函数，当时，图象一定过原点，当时，图象一定不过原点,故（1）不对．当时，幂函数图象在上是减函数，故（2）不对．当时，幂函数图象在上是增函数，故（3）不对．函数是二次函数，不是幂函数，故（4）不对．
8．【答案】A
【解析】,易知，又函数在上单调递增，所以，故选A．
9．【答案】
【解析】设幂函数，
∵其图象过点，
∴，
∴．
∴，
∴，
故答案为：．
10．【答案】
【解析】幂函数的图象经过点（8，4），
∴k=1且，
解得；
∴．
故答案为：．
11．【答案】
【解析】由题意知解得．
12．【答案】和
【解析】将函数的单调区间向左平移一个单位即可．
13．【解析】（1）

（2）函数上增函数且
14．【答案】（1）（x≠0）；（2）见解析
【解析】（1）∵f（x）是幂函数，则设（α是常数），
∵f（x）的图象过点，
∴，
∴，
故，即（x≠0）；
（2）f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．证明如下：
设∈（0，+∞），且，
∴，
∵∈（0，+∞），
∴，，，
∴，即，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
15．【答案】（1），；（2）m=－3．
【解析】（1），
（2）∵函数是幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，
故，
解得：m=－3．