高中数学必修一知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：24【基础】《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固

指数函数、对数函数、幂函数综合
【学习目标】
1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算．
2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．
3．理解对数的概念及其运算性质．
4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理．
5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质．
6．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）．
【知识框图】
【要点梳理】
要点一：指数及指数幂的运算
1．根式的概念
的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中
当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为．
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0．
式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数．
2．n次方根的性质：
（1）当为奇数时，；当为偶数时，
（2）
3．分数指数幂的意义：
；
要点诠释：
0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义．
4．有理数指数幂的运算性质：
（1） （2） （3）
要点二：指数函数及其性质
1．指数函数概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为．
2．指数函数函数性质：
函数
名称
指数函数
定义
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小．
要点三：对数与对数运算
1．对数的定义
（1）若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
（2）负数和零没有对数．
（3）对数式与指数式的互化：．
2．几个重要的对数恒等式
，，．
3．常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
4．对数的运算性质
如果，那么
①加法：
②减法：
③数乘：
④
⑤
⑥换底公式：
要点四：对数函数及其性质
1．对数函数定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域．
2．对数函数性质：
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小．
要点五：反函数
1．反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．
2．反函数的性质
（1）原函数与反函数的图象关于直线对称．
（2）函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
（3）若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．
（4）一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．
要点六：幂函数
1．幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．
2．幂函数的性质
（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
（2）过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
（3）单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
【典型例题】
类型一：指数、对数运算
例1．化简与计算下列各式
（1）；
（2）；
（3）．
【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好．
【答案】（1）；（2）100；（3）．
【解析】
（1）原式=
=1+=；
（2）原式=
=
=100
（3） 原式=
．
【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的；
举一反三：
【变式一】化简下列各式：
（1）； （2）．
【答案】（1）-27；（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
例2．已知：，求：的值．
【思路点拨】先化简再求值是解决此类问题的一般方法．
【答案】2
【解析】

∴ 当时，．
【总结升华】解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算． 解题时，要注意运用下列各式．，;
例3．计算
（1） ； （2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）1；（3）3；（4）14．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=
=
=1-+=1
（3）原式=
=
=2+=3；
【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧．
【变式1】=（ ）
A．0 　B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】=．
【变式2】（1）；（2）．
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1） 原式
；
（2） 原式
．
类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质
4．（2017年山东高考）设函数，若，则b=（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，由得，
或，解得，故选D．
【总结升华】利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值．
举一反三：
【变式1】已知函数若，则实数等于（ ）．
A． 　B． C． 2 D． 9
【答案】．
【解析】，由，则有．，，选．
例5．（2018 湖南岳阳模拟）若函数y=f（x）的定义域是[2，4]，则的定义域是（ ）
A． B．[4，16] C． D．[2，4]
【思路点拨】令，使t满足y=f（x）的定义域中x的取值范围相同，求出的定义域即可．
【答案】C
【解析】∵，令，
∴，
∵函数y=f（x）的定义域是[2，4]，
∴y=f（t）的定义域也为[2，4]，即2≤t≤4，
∴有，解得：，
∵函数的定义域即解析式中自变量的取值范围，
∴的定义域为，
即：．
故选C．
【总结升华】本题只要明确函数的定义域即解析式中自变量的取值范围，运用整体代换（换元法）即可迎刃而解．
例6．函数的图象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先作出的图象，然后作出这个图象关于轴对称的图象，得到的图象，再把的图象右移一个单位，得到的图象，故选B
例7． 函数的单调递增区间是（　）
A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）
【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】D
【解析】函数是由复合而成的，是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是，故选D．
类型三：综合问题
例8．已知函数为常数）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f（x）的单调性．
（3）若函数y=f（x）是增函数，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）利用真数大于零求解（2）利用定义去证明函数的单调性
【答案】（1）；（2）f（x）为增函数；（3）a＞1．
【解析】（1）由
∵a＞0，x≥0

∴f（x）的定义域是．
（2）若a=2，则
设 ， 则
故f（x）为增函数．
（3）设
①
∵f（x）是增函数，
∴f（x1）＞f（x2）
即 ②
联立①、②知a＞1，
∴a∈（1，+∞）．
【总结升华】该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可．
举一反三：
【变式1】（2017北京高考真题）设函数
①若a=1，则f（x）的最小值为___________；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是_________．
【答案】－1；
【解析】①a=1时，函数f（x）在上为增函数，函数值大于1；在为减函数，在为增函数，当时，f（x）取得最小值为－1；
② i）若函数在x＜1时与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2－a＞0，所以0＜a＜2，
函数g（x）=4（x－a）（x－2a）有一个交点，所以2a≥1且a＜1
所以
ii）若函数h（x）＝2x－a与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x－a）（x－2a）与x轴有两个交点．
当a≤0，h（x）与x轴无交点，g（x）在x≥1时与x轴无交点，不满足题意（舍）
当h（1）=2－a≥0时，a≥2，
g（x）与x轴有两个交点为x1=a，x2=2a都满足题意
综上所述，a的取值范围是或a≥2．
故答案为：－1；
【巩固练习】
1．下列函数与有相同图象的一个函数是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数与的图象关于下列那种图形对称（ ）
A．轴 B．轴 C．直线 D．原点中心对称
3．（2017年山东高考）若函数是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（ ）
A．（－∞，－1） B．（－1，0） C．（0,1） D．（1，+∞）
4．函数在上递减，那么在上（ ）
A．递增且无最大值 B．递减且无最小值
C．递增且有最大值 D．递减且有最小值
5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；
6．函数的定义域为（ ）；
A． B．
C． D．
7．当0A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）
8．函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2018春 上海月考）已知，若f（a）＞f（2），则a的取值范围是________．
10．已知函数，对任意都有,则、 、的大小顺序是 ．
11．函数的定义域是 ；值域是 ．
12．函数的定义域是 ．
13．（2018春 广东揭阳月考）已知函数，其中a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3），求使f（x）＞0成立的x的集合．
14．（1）求函数的定义域；
（2）求函数的值域．
15．已知，求函数的值域．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 ，对应法则不同；
；．
2．【答案】D
【解析】由得，即关于原点对称．
3．【答案】C
【解析】由题意f（x）=―f（―x），即所以，，a=1，，由得，，0＜x＜1，故选C．
4．【答案】A
【解析】令，是的递减区间，即，是的递增区间，即递增且无最大值．
5．【答案】C
【解析】=，只需将的图象上所有点向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度，即可得要求的图象．
6．【答案】D
【解析】．
故选D．
7．【答案】B
【解析】，，又当时， ，所以，即，所以综上得：的取值范围为．
8．【答案】D
【解析】由，解得即，故所求反函数为，故选D．
9．【答案】
【解析】∵，
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
若f（a）＞f（2），则，或a＞2，
∴满足条件的a的取值范围为
故答案为：
10．【答案】
【解析】因为，所以函数的对称轴为，又函数的开口向上，所以有离对称轴越远，函数值越大，所以
11．【答案】
【解析】　；．
12．【答案】[1，2）
【解析】函数定义域要满足，即，
解得1≤x＜2，即函数的定义域为[1，2），
故答案为：[1，2）
点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
13．【答案】（1）（－1，1）；（2）f（x）是奇函数；（3）（0，1）
【解析】（1）要使函数有意义，则，
解得－1＜x＜1，
即函数f（x）的定义域为（－1，1）；
（2）∵，
∴f（x）是奇函数．
（3）若，
∴，
解得：a=2，
∴ ，
若f（x）＞0，则，
∴x+1＞1－x＞0，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集为（0，1）．
14．【答案】（1）（2）
【解析】（1），即定义域为；
（2）令，则，，即值域为．
15．【答案】
【解析】，令则，，即时，取得最大值12；当，即时，取得最小值-24，即的最大值为12，最小值为-24，所以函数的值域为．