高中数学必修一知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：25【提高】《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固

指数函数、对数函数、幂函数综合
【学习目标】
1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算．
2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．
3．理解对数的概念及其运算性质．
4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理．
5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质．
6．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）．
【知识框图】
/
【要点梳理】
要点一：指数及指数幂的运算
1．根式的概念
的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中
当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为．
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0．
式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数．
2．n次方根的性质：
（1）当为奇数时，；当为偶数时，
（2）
3．分数指数幂的意义：
；
要点诠释：
0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义．
4．有理数指数幂的运算性质：
（1） （2） （3）
要点二：指数函数及其性质
1．指数函数概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为．
2．指数函数函数性质：
函数
名称
指数函数
定义
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小．
要点三：对数与对数运算
1．对数的定义
（1）若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
（2）负数和零没有对数．
（3）对数式与指数式的互化：．
2．几个重要的对数恒等式
，，．
3．常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
4．对数的运算性质
如果，那么
①加法：
②减法：
③数乘：
④
⑤
⑥换底公式：
要点四：对数函数及其性质
1．对数函数定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域．
2．对数函数性质：
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小．
要点五：反函数
1．反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．
2．反函数的性质
（1）原函数与反函数的图象关于直线对称．
（2）函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
（3）若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．
（4）一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．
要点六：幂函数
1．幂函数概念
形如/的函数，叫做幂函数，其中为常数．
2．幂函数的性质
（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
（2）过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
（3）单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
（4）奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
（5）图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．
【典型例题】
类型一：指数、对数运算
例1．计算
（1） ； （2）；
（3）；（4）
【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好．
【答案】（1）；（2）1；（3）3；（4）14．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=
=
=1-+=1
（3）原式=
=
=2+=3；
（4）令，两边取常用对数得
=
=
=
即=14．
【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧．
举一反三：
【变式1】=（ ）
A．0 　B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】=．
【变式2】（1）；（2）．
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1） 原式
；
（2） 原式
．
类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质
例2．设偶函数满足，则= （ ）
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】且是偶函数．
或
或
解得或，故选B．
【总结升华】考查解不等式组及函数解析式，考查函数性质的综合运用．
举一反三：
【变式1】已知函数若，则的取值范围是（ ）．
A． B． 或 C． D． 或
【答案】A
【解析】依题意或即或，所以，故选A．
例3．设函数 若，则实数的取值范围是（ ） ．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解法一：①若，则，
，得，得，解得．
②若则，
，
解得
由①②可知
解法二：特殊值验证
令
，满足，故排除A、D．
令，，
不满足，故排除B．
【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用．
例4．函数的单调递增区间是（　）
A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）
【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”．
【答案】D
【解析】函数是由复合而成的，是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是，故选D．
例5．（2018 上海模拟）已知函数（a＞0，a≠1）在区间[―1，2]上的最大值为8，最小值为m．若函数是单调增函数，则a=________．
【思路点拨】根据题意求出m的取值范围，再讨论a的值，求出f（x）的单调性，从而求出a的值．
【答案】
【解析】根据题意，得3－10m＞0，
解得；
当a＞1时，函数在区间[－1，2]上单调递增，最大值为，解得，最小值为，不合题意，舍去；
当1＞a＞0时，函数在区间[―1，2]上单调递减，最大值为，解得，最小值为，满足题意；
综上，．
故答案为：．
【总结升华】本题主要考查指数函数的图象与性质的应用问题，通过讨论对数函数的底数确定函数的单调性是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】已知，该函数在区间[a，b]上的值域为[1，2]，记满足该条件的实数a、b所形成的实数对为点P（a，b），则由点P构成的点集组成的图形为（ ）
A． 线段AD B． 线段AB
C． 线段AD与线段CD D． 线段AB与BC
【思路点拨】由指数函数的图象和性质，我们易构造出满足条件函数在闭区间[a，b]上的值域为[1，2]的不等式组，画出函数的图象后与答案进行比照，即可得到答案．
【答案】C
【解析】∵函数的图象为开口方向朝上，以x=1为对称轴的曲线，如图．
当x=1时，函数取最小值1，
若，则x=0，或x=1
而函数|在闭区间[a，b]上的值域为[1，2]，
则或，
则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为
/
故选C．
【总结升华】本题考查的知识点是指数函数的性质，函数的值域，其中熟练掌指数函数在定区间上的值域问题，将已知转化为关于a，b的不等式组，是解答本题的关键．
【变式2】已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（ ）．
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
【答案】C
【解析】由互不相等，结合图象可知：这三个数分别在区间（0,1），（1,10），（10,12）上，不妨设，由得即，所以，所以，故选C．
【总结升华】考查利用图象求解的能力和对数的运算，考查数形结合的思想方法．
类型三：综合问题
例6．已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围
【思路点拨】（Ⅰ）利用奇函数的定义去解。（Ⅱ）先判断函数的单调性，由单调性脱掉函数符号，转化成二次函数问题去解决。
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即
又由f（1）=－f（－1）知
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上
为减函数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于=，因为减函数，由上式推得：
即对一切有：，
从而判别式
（或: 即对一切有：，又
∴
解法二：由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
，
即　：，
整理得　，因底数，故：
上式对一切均成立，从而判别式
【总结升华】对于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解．
举一反三：
【变式1】已知函数，（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）设，解不等式f（x）＞0．
【解析】（1）依题意知，解得
函数f（x）的定义域为．
（2）函数是奇函数
任取，，所以
=0
所以函数是奇函数．
（3）因为，所以
由，得
解得
．
例7．设（其中a为实数），如果当时恒有成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】由题意知，原不等式转化成在上恒成立，只要求出不等式右边部分的最大值就可以了．
【答案】
【解析】依题意，在上恒成立．
则设
只需求的最大值
任取且
=
由于是单调递减函数
，即在上是单调递增的，
【总结升华】解决本题的关键是把转化成，转化成，这种问题以后还会碰到，希望同学们多注意．
举一反三：
【变式1】设函数．
（1）求的定义域；
（2）求使在上恒成立的实数的取值范围．
【解析】（1），即
若，则的定义域为；
若，则的定义域为；
若，则的定义域为．
（2）①当时，在的定义域内，等价于，即，于是问题等价于在上恒成立．
令，则在上递减，在上递增，，即．
另一方面要使在上恒成立，则必是定义域的子集，由（1）可知
由且可知．
②当时，在的定义域内，等价于，于是问题等价于在上恒成立．
显然这样的实数不存在．
综上所求的的取值范围为．
【巩固练习】
1．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．设函数f（x）＝/则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数在上递减，那么在上（ ）
A．递增且无最大值 B．递减且无最小值
C．递增且有最大值 D．递减且有最小值
4．若函数（a＞0，a≠1）为增函数，那么的图象是（ ）
/ / / /
A． B． C． D．
5．函数的定义域为（ ）；
A． B．
C． D．
6．已知是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A． （0，1） B． （1，2） C． （0，2） D． [2，+∞）
7．已知, 判断、、之间的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
8．函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
9．不等式的解集为 ．
10．已知函数，对任意都有,则、 、的大小顺序是 ．
11．（2018春 天津期末）若函数定义域为R，则a的取值范围是________．
12．若函数是奇函数，则为 ．
13．已知，求函数的值域．
14．已知函数，其中x∈[0，3]．
（1）求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）若实数a满足：f（x）－a≥0恒成立，求a的取值范围．
15．（2018春 福建漳州月考）已知函数
（1）当a=4时，求函数f（x）的定义域；
（2）若对任意的x∈R，都有f（x）≥2成立，求实数a的取值范围．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】．
2．【答案】D
【解析】不等式等价于或，解不等式组，可得或，即，故选D．
3．【答案】A
【解析】令，是的递减区间，即，是的递增区间，即递增且无最大值．
4．【答案】C
分析：要想判断函数的图象，我们可以先观察到函数的解析式中x的取值范围，得到其定义域从而得到图象的大致位置，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象即可．
【解析】∵函数（a＞0，a≠1）为增函数，
∴a＞1，，
考察函数的定义域：由得x＞－1，
则函数的定义域为：（－1，+∞），即函数图象只出现在直线x=－1轴右侧；
又函数可看成，的复合，
其中和均在各自的定义域是减函数，
从而得出函数在区间（－1，+∞）上递增，
且当x=0时，，即图象过原点，
分析A、B、C、D四个答案，只有C满足要求．
故选C．
点评：要想判断函数的图象，我们先要求出其定义域，再根据解析式，分析其单调性、奇偶性、周期性等性质，根据定义域、值域分析函数图象所处的区域，根据函数的性质分析函数图象的形状，如果还不能判断的话，可以代入特殊值，根据特殊点的位置进行判断．
5．【答案】D
【解析】．
故选D．
6．【答案】B
分析：本题必须保证：①使有意义，即a＞0且a≠1，2－ax＞0．②使在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为，u=2－ax，其中u=2－ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是定义域的子集．
【解析】∵在[0，1]上是x的减函数，
∴f（0）＞f（1），
即．
∴，
∴1＜a＜2．
故答案为：B．
点评：本题综合了多个知识点，需要概念清楚，推理正确．（1）复合函数的单调性；（2）函数定义域，对数真数大于零，底数大于0，不等于1．
7．【答案】B
【解析】先比较两个同底的，即与，因为函数是单调递减的，又，所以．再比较两个同指数的，即与，因为函数在上是增函数，又，所以．
8．【答案】D
【解析】由，解得即，故所求反函数为，故选D．
9．【答案】
【解析】依题意得，，，即，解得．
10．【答案】
【解析】因为，所以函数的对称轴为，又函数的开口向上，所以有离对称轴越远，函数值越大，所以
11．【答案】[－1，0]
【解析】∵函数定义域为R
∴恒成立即恒成立
则，解得－1≤a≤0
故答案为：[－1，0]
12．【答案】2
【解析】
．
13．【答案】
【解析】，令则，，即时，取得最大值12；当，即时，取得最小值-24，即的最大值为12，最小值为-24，所以函数的值域为．
14．【答案】（1），；（2）（－∞，－10]
分析：（1）由题意可得，（0≤x≤3），令，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解
（2）由题意可得，a≥f（x）恒成立恒成立，结合（1）可求
【解析】（1）∵（0≤x≤3）
∴（0≤x≤3）
令，
∵0≤x≤3，
∴1≤t≤8．
令（1≤t≤8）
当t∈[1，2]时，h（t）是减函数；当t∈[2，8]时，h（t）是增函数．
∴，
（2）∵f（x）－a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立．
∴a≤f（x）min恒成立．
由（1）知，
∴a≤－10．
故a的取值范围为（－∞，－10]
点评：本题以指数函数的值域为载体，主要考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，及函数的恒成立与函数最值的相互转化关系的应用．
15．【答案】（1）（―∞，―1）∪（1，+∞）；（2）
【解析】（1）当a=4时，要使函数式有意义，则
｜2x－1｜+｜x+2｜＞4，分类讨论如下：
①当时，2x－1+x+2＞4，解得x＞1；
②当时，1－2x+x+2＞4，解得－2≤x＜－1；
③当x＜―2时，1―2x―x―2＞4，解得x＜－2，
综合以上讨论得，x∈（―∞，―1）∪（1，+∞）；
（2）∵f（x）≥2恒成立，
∴|2x―1|+|x+2|―a＞4恒成立，
分离参数a得，a＜|2x―1|+|x+2|―4，
所以，a≤[|2x―1|+|x+2|―4]min，
记g（x）=|2x―1|+|x+2|―4，
分析可知，当时，，
所以，实数a的取值范围为．