高中数学必修一知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：26【基础】函数与方程

函数与方程
【学习目标】
(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；
(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；
(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.
【要点梳理】
要点一：函数的零点
1.函数的零点
（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
要点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点）．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
判别式
方程的根
函数的零点
两个不相等的实根
两个零点
两个相等的实根
一个二重零点
无实根
无零点
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
2．函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
要点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．
②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．
③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．
要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系
（1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：
①当x1＜x2＜k时，有；
②当k＜x1＜x2时，有；
③当x1＜k＜x2时，；
④当x1，x2∈（k1，k2）时，有；
⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有．
要点诠释：
讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布．
（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．
设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2．
①；
②；
③；
④x1=0，x2＞0c=0，且；x1＜0，x2=0c=0，且．
要点三：二分法
1.二分法
所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.
2.用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令；
……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.
要点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．
【经典例题】
类型一、求函数的零点
例1．已知函数．
（1）解方程(x+3)(x+1)(x―2)=0；
（2）画出函数的图象（简图），并求出函数的零点；
（3）讨论函数在零点两侧的函数值的正负．
【解析】（1）方程有三个根x1=―3，x2=―1，x3=2．
（2）函数的图象如右图，零点为―3，―1，2．
（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．
【总结升华】（1）方程(x+3)(x+1)(x―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x+3=0或x+1=0或x―2=0，所以x=―3或x=―1或x=2；
（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；
（3）在x轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负．
举一反三：
【变式1】已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n
【答案】B
【解析】由函数，我们可以看到a、b为的零点，且，如右图，则应有a＜m＜n＜b，故选B．
例2.若一次函数f（x）=ax+b有一个零点2，那么函数的零点是 ．
【思路点拨】由题意可知，2a+b=0，即b=－2a；代入并令g（x）=0解得x=0或．
【答案】0，
【解析】∵一次函数f（x）=ax+b有一个零点2，
∴2a+b=0，即b=－2a；
∴令，
解得，x=0或；
故答案为：0，．
【总结升华】本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系．
举一反三：
【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.
【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2．
【解析】(1)由求根公式解得
(2)方程可化为
由知
所以函数的零点为-3，1；函数的零点为-3，1，2.
【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.
类型二、函数零点的存在性定理
例3．已知函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？
【答案】没有实数根
【解析】先求出及的值，进而确定和的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定在上有实数根．
，
且函数的图象是连续曲线，
在区间内有实数根
【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程在区间内有实数根，不一定有．
举一反三：
【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：
（1）
（2）；
（3）．
【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在．
【解析】（1）
故在上存在零点．
（2）
故在区间上存在零点．
（3），
，
故在区间上存在零点．
【变式2】若函数，则下列判断正确的是（ ）
A．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定有解
B．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定无解
C．函数f（x）是奇函数
D．函数f（x）是偶函数
【答案】A
类型三、一元二次方程根的分布
例4．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0．
（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求的取值范围．
（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）条件说明函数的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，
，∴．

∴．
（2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有．
∴．
∴．
【总结升华】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．
举一反三：
【变式1】关于x的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0，求a为何值时：
（1）方程有一根；
（2）方程有一正一负根；
（3）方程两根都大于1；
（4）方程有一根大于1，一根小于1．
【答案】（1）或（2）（3）不存在实数（4）
【解析】（1）当a=0时，方程变为―2x―1=0，即，符合题意；
当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得．综上可知，当或时，关于的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0有一根．
（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得．又解得．
（3）方程两根都大于1，图象大致如图
所以必须满足
或两不等式组均无解．
所以不存在实数，使方程两根都大于1．
（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图
所以必须满足或解得．
类型四、用二分法求函数的零点的近似值
例5.（2018 河南许昌月考）已知函数．
（1）求证：f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）若f（x）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f（x）=0的一个近似解（精确到0.1）．
【思路点拨】（1）根据函数零点存在定理即可判断．
（2）由二分法的定义进行判断，根据其原理——零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越接近的特征选择正确答案．
【答案】（1）略；（2）1.3
【解析】（1）证明：∵，
∴f（1）=－1＜0，f（2）=7＞0，
∴f（1）·f（2）=－7＜0
且在（1，2）内连续，
所以f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）由（1）知在（1，2）内存在零点，
由表知，f（1）=―1，f（1.5）=1，
∴f（1）·f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1，1.5）上，
∵f（1.25）=―0.40625，∴f（1.25）·f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.5）上，
∵f（1.375）=0.18359，∴f（1.25）·f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.375）上；
∵f（1.3125）=－0.31818，∴f（1.3125）·f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.375）上，
∵f（1.34375）=0.01581，∴f（1.3125）·f（1.34375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.34375）上，
由于｜1.34375－1.3125｜=0.03125＜0，且1.3125≈1.3，1.34375≈1.3，
所以f（x）=0的一个精确到0.1的近似解是1.3．
【总结升华】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解，属于基本概念的运用题．
举一反三：
【变式1】若函数的一个正数零点附近的函数值
用二分法计算，其参考数据如下：
f（1）=－2
f（1.5）=0.625
f（1.25）=－0.984
f（1.375）=－0.260
f（1.4375）=0. 162
f（1.40625）=－0. 054
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
【变式2】设，用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定
【思路点拨】由已知“方程在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．
【答案】B
【解析】∵f（1.5）?f（1.25）＜0，
由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．
故选B．
【总结升华】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：
一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．
类型五、用二分法解决实际问题
例6.某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．
（1）求2010年每台电脑的生产成本；
（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）
【答案】（1）3200；（2）11%
【解析】（1）设2010年每台电脑的生产成本为P元，根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P=3200（元）．
故2010年每台电脑的生产成本为3200元．
（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5000(1－x)4=3200（0＜x＜1），令f(x)=5000(1―x)4―3200，作出x，f (x)的对应值表：
x
0
0.1
0.15
0.2
0.3
0.45
f (x)
1800
80.5
－590
－1153
－2000
－2742
观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x0．取区间（0.1，0.15）的中点x1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x0∈(0.1，0.1125)．
同理可得，x0∈(0.1，0.10625)，x0∈(0.103125，0.10625)，x0∈(0.104687，0.10625)，x0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．
举一反三：
【变式1】如右图所示，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
（1）求出盒子的体积y（cm3）以x（cm）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
（2）如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？（精确到0.1 cm）
【答案】（1）y=x(15－2x)2 0＜x＜7.5 （2）0.8 cm或4.7 cm
【解析】（1）由题意，盒子的体积y以x为自变量的函数解析式y=x(15－2x)2，其定义域为，即0＜x＜7.5．
（2）原问题可转化为当y=150时，求方程x(15―2x)2=150的近似解．
设g(x)=x(15―2x)2―150，由于g(0)·g(1)＜0且g(4)·g(5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8 cm或4.7 cm．
【巩固练习】
1．函数的零点是（ ）．
A．-1,4　　B．-4,1　　C．,1　　D．，-1
2．函数的定义域是（ ）
A．　　B．　　C．　　D．
3．若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．　　B．　　C．，且　　D．，且
4．已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ）
A．　　 B．　 C．　 D．
5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y=f（x）在[a，b]内的所有零点得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f（x）在[a，b]内的零点；
C．应用“二分法”求方程的近似解，y=f（x）在[a，b]内有可能无零点；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）=0在[a，b]内的精确解．
6．关于x的方程在（－∞，1]上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－2，－1）∪（0，1] B．[－3，－2）∪[0，1]
C．[－3，－2）∪（0，1] D．[－2，－1）∪[0，1]
7．设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内(　　)
A．可能有3个实数根　　B．可能有2个实数根　　C．有唯一的实数根　　D．没有实数根
8．若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0；
B．若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b），使得f（c）=0；
C．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0；
D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b），使得f（c）=0．
9．（2018 浙江温州一模）已知，则f（f（―2））=________，函数f（x）的零点的个数为________．
10．若至多只有一个零点，则的取值范围是 ．
11．已知抛物线的图象经过第一、二、四象限，则直线不经过第 象限．
12．已知函数的零点在区间上，则整数k的值为 ．
13．（2018 广东湛江期末）已知函数（a≠0）．
（1）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）与（1，2）上各有一个零点，求a的取值范围．
14．用二分法求在区间的一个实根(精确到0．01)．
15．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞－2x的解集为（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】令，解得，故选B．
2．【答案】D
【解析】依题意知且，解得，且．
3．【答案】C
【解析】依题意，，，解得且．
4．【答案】C　
【解析】由题意，可知，故在上必存在零点．
故选C．
5．【答案】D．
【解析】 由“二分法”求方程的近似解基本思想可得。
6．分析：若关于x的方程在（－∞，1]上有解，则属于函数，x∈（－∞，1]的值域，进而可得实数a的取值范围．
【答案】C
【解析】当x∈（－∞，1]时，，
若关于x的方程在（－∞，1]上有解，
则，
解得a∈[－3，－2）∪（0，1]，
故选：C
点评：本题考查的知识点是根的存在性及个数判断，其中将关于x的方程在（－∞，1]上有解，转化为，是解答的关键．
7．【答案】C　
【解析】在[-1，1]上是增函数且
在上有唯一实根
在[-1，1] 上有唯一实根．故选C．
8．【答案】C．
【解析】由零点存在性定理知C正确．
9．【答案】14；1．
【解析】根据题意得：，
则；
令f（x）=0，得到，
解得：x=1，
则函数f（x）的零点个数为1，
故答案为：14；1．
10．【答案】
【解析】 依题意，或综上．
11．【答案】
【解析】二 由抛物线在第一、二、四象限知，所以，即不经过第二象限．
12．分析：由于函数在（0，+∞）单调递增．可知函数最多有一个零点．当k=1时，区间为，利用函数零点存在定理即可判断出：函数f（x）在区间上存在零点．
【答案】1
【解析】∵函数在（0，+∞）单调递增．
∴函数最多有一个零点．
当k=1时，区间为，
当x→0时，f（x）→－∞，当时，，
∴函数f（x）在区间上存在零点，
因此必然k=1．
故答案为：1．
13．【答案】（1）（－∞，0）∪（0，1）；（2）
【解析】（1）由题意可得，a≠0，且Δ=4－4a＞0，
解得a＜1，且a≠0，
故a的范围是（－∞，0）∪（0，1）．
（2）若函数f（x）的图象可得，即，
解得，
即所求的a的范围为．
14．【答案】1．32
【解析】设
．
∴在内有实数解．
取为初始运算区间，用二分法逐次计算列表如下：
区间
中点
中点函数值
[1，1．5]
1．25
-0．296875
[1．25，1．5]
1．375
0．224609
[1．25，1．375]
1．3125
-0．051514
[1．3125，1．375]
1．34375
0．082611
[1．3125，1．34375]
1．328125
0．014576
[1．3125，1．328125]
1．3203125
-0．018711
[1．3203125，1．328125]
1．32421875
-0．002128
∵1．328125-1．3203125=0．0078155<0．01
∴所求根的近似值为
15．分析：（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞－2x变形为f（x）+2x＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x－1）（x－3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当时，最大值为．和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x－1）（x－3），且a＜0．因而．①
由方程f（x）+6a=0得．②
因为方程②有两个相等的根，所以，
即．解得a=1或．
由于a＜0，a=1，舍去，故．
将代入①得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由
及a＜0，可得f（x）的最大值为．
由，解得或．
故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是．