高中数学必修一知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：28【基础】指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

几类不同增长的函数模型
【学习目标】
1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．
2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．
3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．
【要点梳理】
要点一：几类函数模型的增长差异
一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．
综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有
三类函数模型增长规律的定性描述：
1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；
2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；
3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．
如图所示：
要点诠释：
当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．
要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型
若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．
常用的函数模型有以下几类：
（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：．
（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数．
（3）指数函数模型
（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1），当时，为快速增长模型；当时，为平缓减少模型．
（4）对数函数模型
（m、n、a为常数，a＞0，a≠1）；当时，为平缓增长模型；当时，为快速减少模型．
（5）反比例函数模型
．当时，函数在区间和上都是减函数；当时，函数在和上都是增函数．
（6）分段函数模型
当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．
【典型例题】
类型一、研究函数的变化规律并比较其大小
例1．（1）已知函数，分别求在（－1，0）、[0，3）、[3，5）、[5，+∞）上的零点及总个数．
（2）比较2x与x2的大小关系．
（3）通过作图，比较2x、x2、log2x的大小关系．
【答案】（1）3 （2）略（3）略
【解析】运用图象估计零点区间，借助计算器或计算机求出精确解，然后再分区间讨论、比较函数值的大小．
（1）应用计算器或计算机，以合适的长列出自变量与函数值的对应值表．
x
…
－2
－1
0
2
4
6
y=2x
…
0.25
0.5
1
4
16
64
y=x2
…
4
1
0
4
16
36
y=2x－x2
…
－3.75
－0.5
1
0
0
28
x
8
10
12
14
16
…
y=2x
256
1024
4096
16384
65536
…
y=x2
64
100
14
196
256
…
y=2x－x2
192
924
3952
16188
65280
…
应用二分法可求得（－1，0）中x≈－0.7666，[0，3）中x=2.000，[3，5）中x=4.000，[5，+∞）中无零点．
∴共有3个零点，分别为x1≈－0.7666，x2=2.000，x3=4.000．
（2）在同一平面直角坐标系中画出y=2x，y=x2，y=log2x的图象，如图所示．
当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；
当x∈（－0.7666，2.000）时，2x＞x2；当x=－0.7666时，2x=x2；
当x∈（2.000，4.000）时，2x＜x2；当x=2.000时，2x=x2；
当x∈（4.000，+∞）时，2x＞x2；当x=4.000 ，2x=x2．
（3）当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；log2x不存在；
当x∈（－0.7666,0）时，2x＞x2；log2x不存在；当x=－0.7666时，2x=x2；
当x∈（0，2.000）时，log2x＜x2＜2x；
当x∈（2.000，4.000）时，log2x＜2x＜x2；当x=2.000时，log2x＜2x=x2；
当x∈（4.000，+∞）时，log2x＜x2＜2x；当x=4.000时，log2x＜x2=2x．
【总结升华】由本例我们可以进一步领悟幂函数、指数函数、对数函数的增长规律，即在（0，+∞）上必存在一个x0，使得当x＞x0时，logax＜xn＜ax（a＞1）恒成立．但在（0，x0）上，该不等式不一定成立．
举一反三：
【变式1】（2017 北京高考）三个数中最大的数是 ．
【答案】
【解析】本题考查幂指对函数比较大小问题．
，所以最大．
故答案为：．
类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型
例2．假设你有一批资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报率如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
【答案】投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．
【解析】设第天所得回报是元，则方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．
如图
举一反三：
【变式1】我国是电力资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用电的目的，某市每户每月用电收费采用“阶梯电价”的办法，具体规定如下：
用电量（千瓦时）
电费（元|千瓦时）
不超过200的部分
0.56
超过200至300的部分
0.64
超过300的部分
0.96
解答以下问题：（1）写出每月电费（元）与用电量（千瓦时）的函数关系式；
（2）若该市某家庭某月的用电费为224元，该家庭当月的用电量是多少？
【答案】（1）；（2）350
【解析】（1）当时，
　　　　　 当时，
　　　　 当时，
　　　　　　　
（2）由（1）知
　　　　 由，得x=350
　　　 ∴ 该家庭月用电量为350千瓦时
例3．（2018 江苏新沂市模拟）设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m（万元）与总支出n（万元）近似地满足下列关系：，，当m―n≥0时，称不亏损企业；当m－n＜0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．
（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？
（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？
【思路点拨】（1）通过解不等式m－n≥0，计算即得结论；
（2）通过（1）可知当0＜x＜4时企业亏损，通过配方可知亏损额，进而计算可得结论．
【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x=1时，n－m取最大值
【解析】（1）依题意，m－n≥0，即，
整理和：，
解得：x≥4或x≤－2（舍），
∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；
（2）由（1）可知当0＜x＜4时企业亏损，
亏损额，
∴当x=1时，n－m取最大值，
答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．
【总结升华】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意分析题设条件中的数量关系，合理地进行等价转化，注意解题方法的积累．
举一反三：
【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x = t（0≤t≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数y = f（t）的图象大致是（ ）

【答案】D
【解析】 函数 故选 D．

例4．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数关系式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？
【答案】复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．
【解析】按复利计算利息，也就是增长率问题．
已知本金为a元．
1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r)；
2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2；
3期后的本利和为y3=a(1+r)3；
……
x期后的本利和为y=a(1+r)x．
将a=1000（元），r=2.25%，x=5代入上式得
y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255．
由计算器算得y=1117.68（元）．
答：复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．
【总结升华】上述公式y=a(1+r)x是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y=a(1+xr)．其中a为本金，r为每一期的利率，x为期数．
举一反三：
【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．
【答案】219.01
【变式2】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下的问题：
（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；
（4）如果20年后该城市的人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？
【答案】（1）y=100×（1+1.2)x；（2）15年；（3）0.9%．
【解析】本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律．
（1）1年后该城市人口总数为：
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；
2年后该城市人口总数为：
y=100×(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3；
……
x年后该城市人口总数为：y=100×（1+1.2)x．
（2）10年后，人口总数为：100×(1+1.2%)10≈112.7（万人）．
（3）设x年后该城市人口将达到120万人，
即100×(1+1.2%)x=120，
．
（4）设年增长率为x，依题意，得100×(1+x)20≤120，
由此有(1+x)20≤1.2，
由计算器计算得1+x≤1.009，∴x≤0.009=0.9%，
即年自然增长率应控制在0.9%以内．
【总结升华】这是一类增长率问题，在实际问题中，有关人口增长、银行利息、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y=N(1+p)x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式．
【巩固练习】
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（ ）
A．y=1，x∈Z B．y=x C．y=2x D．y=ex
2．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的函数解析式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（　　）
　 A．200副 B．400副 C．600副 D．800副
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是（ ）
A．增加7.84% B．减少7.84% C．减少9.5% D．不增不减
4．今有一组数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． B． C． D．
5．如下图，△ABC为等腰直角三角形，直线与AB相交且⊥AB，直线截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线的距离为x，则y=f (x)的图象大致为下图中四个选项中的（ ）
6．某债券市场常年发行三种债券，A种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B种贴水债券面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C种面值为1000元，半年到期本息和为1020元. 设这三种债券的年收益率分别为a, b, c，则a, b, c的大小关系是（ ）
A、a=c且a＜b B、a＜b＜c C、a＜c＜b D、c＜a＜b
7．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x，2010年底世界人口数为y（亿），那么y与x的函数关系式为________．
8．（2018 四川广元模拟）某城区按以下规定收取水费：若每月用水不超过20 m3，则每立方米收费按2元收取；若超过20 m3，则超过的部分按每立方米3元收取，如果某户居在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元，则这户居民这月共用水________m3．
9．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是，，，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是　 　．
10．（2018 江苏新沂市期末）设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m（万元）与总支出n（万元）近似地满足下列关系：，，当m―n≥0时，称不亏损企业；当m－n＜0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．
（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？
（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？
11．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价元与日销售量件之间有如下关系：
x
45
50
y
27
12
（Ⅰ）确定与的一个一次函数关系式；
（Ⅱ）若日销售利润为P元，根据（Ⅰ）中关系写出P关于的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 指数函数模型增长速度最快，并且e＞2，因而y=ex增长速度最快．所以选D．
2．分析：根据题意列出出/厂价格和成本之间的不等关系式：5x+4000≤10x，解出即可．
【答案】D
【解析】由5x+4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．
故选D．
点评：主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．
3．【答案】B
【解析】设该商品原价为a，四年后价格为a(1+0.2)2(1―0.2)2=0.9216a．所以(1―0.9216)a=0.0784a=7.84%，即比原来减少了7.84%．
4．【答案】C
【解析】取t=1.99≈2，代入A，得v=log22=1≠1.5；代入B，得；代入C，得；代入D，得v=2×2－2=2≠1.5．故选C．
5．【答案】C
【解析】 设AB=a，则，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方，故选C．
6．【答案】C
【解析】元 ，设买B种债券一年后本期和为元，，则，一年后收益为41.5元,同理求得 元,故选C.
7．【答案】y=54.8(1+x)18
【解析】由增长率的基本公式y=a(1+x)n可写出．
8．【答案】25
【解析】设他这个月共用了x立方米的水，
则所交水费，
∵某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元，超过了2元，
∴x＞20，
则由20×2+(x－20)×3=2.2x
得40+3x－60=2.2x，
即0.8x=20，得x=25．
故他这个月共用了25立方米的水．
故答案为：25．
9．分析：根据题意，本题实际考查各类函数的增长模型，通过对四类函数分/析，指数函数增长最快，选出选项．
【答案】
【解析】根据题意，最终跑在最前面的人一为函数值最大的函数，通过分析各种类型函数的增长，，，中，增长最快，如图/
故答案为：．
点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，通过对二次函数，一次函数，对数函数，指数函数的分析选出选项．
10．【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x=1时，n－m取最大值
【解析】（1）依题意，m－n≥0，即，
整理得：，
解得：x≥4或x≤－2（舍），
∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；
（2）由（1）可知当0＜x＜4时企业亏损，
亏损额，
∴当x=1时，n－m取最大值，
答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．
11．【答案】当x=42/时，P最大=432,
【解析】（I）因为f(x)为一次函数，设y=ax+b，解方程组

/得a=－3，b=162,
故y=162－3x为所求/的函数关系式，
又∵y≥0，∴0≤x≤54．
（II）依题意得：
当x=42/时，P最大=432,
即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．