高中数学必修一知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：31【提高】函数模型的应用实例
文档属性
| 名称 | 高中数学必修一知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：31【提高】函数模型的应用实例 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 303.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-18 11:14:48 | ||
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文档简介
函数模型的应用实例（B）
【学习目标】
1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.
2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.
3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.
【要点梳理】
要点一：解答应用问题的基本思想和步骤
1.解应用题的基本思想
/
2.解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.
上述四步可概括为以下流程：
实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).
要点二：解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.
其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.
其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.
【典型例题】
类型一、已建立函数模型的应用题
例1. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中x是仪器的月产量。
（1）将利润表示为月产量的函数f (x)。
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
【思路点拨】这里已有函数模型，只需对分段讨论，写出利润的表达式即可
【答案】（1）；
(2) 每月生产300台仪器时，利润最大。最大利润为25000元。
【解析】（1）设每月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而。
（2）当0≤x≤400时，
，
∴当x=300时，有最大值25000；
当x＞400时，f (x)=60000－100x是减函数，
f (x)＜60000－100×400＜25000。
∴当x=300时，f (x)的最大值为25000。
∴每月生产300台仪器时，利润最大。
最大利润为25000元。
【总结升华】 由题目可获取以下主要信息：①总成本=固定成本+100x；②收益函数为一分段函数。解答本题可由已知总收益=总成本+利润，利润=总收益－总成本。由于R (x)为分段函数，所以f (x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题。分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者。分段函数应用题是高考命题的热点。
举一反三：
【变式1】 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。
【答案】0.943×105.
【解析】 这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01×105 Pa和x=1000 m时y=0.90×105 Pa可求。
将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=cekx中，得
，∴。
将c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k中得0.90×105=1.01×105e1000k，
∴。
由计算器算得k=－1.15×10－4，
∴。
将x=600代入上述函数关系式得，
由计算器算得y=0.943×105 Pa。
答：600 m高空的大气压强约为0.943×105 Pa。
【总结升华】 函数y=c·akx（a、c、k为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数即可。
类型二、自建函数模型的应用问题
例2.某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8 m，最大装水量为72 ，池底和池壁的造价分别为2a元、a元，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？
【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值。
【答案】另一边和长方体高都设计为3m时，总造价最低，最低造价为114a元
【解析】设池底一边长为x，水池的高为y，总造价为z，
由最大装水量知8xy=72，
当且仅当即时，总造价最低，
答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为3m时，总造价最低，最低造价为114a元．
【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数在（0，+∞）上的单调性求最值，请同学们自己试解．
举一反三：
【变式1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f (x)的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）
【答案】（1）当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元。
（2）
（3）当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000。
【解析】（1）设零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
。
因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元。
（2）当0＜x≤100时，P=60。
当100＜x＜550时，。
当x≥550时，P=51。
∴
（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000。
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个时，利润是11000元。
例3．在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为，每个工作台上有若干名工人．现要在与之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．
/
【答案】（1）；（2）
【解析】设供应站位置坐标为，则各工人到零件供应站距离之和为。
（1）
故当且仅当时，，此时。
答：当供应站修建在时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为．
（2）
=
由于函数单调递减
所以时，
又当时，
故当时，均有
答：当供应站修建在时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为。
例4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式；
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度与车流速度v之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）100 3333
【解析】
（Ⅰ）由题意：当；当
再由已知得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当/时，其最大值为60×20=1200；
当，
所以，当时，在区间[20，200]上取得最大值
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
举一反三：
【变式1】（2018 黄浦区模拟）有一块铁皮零件，其形状是由边长为40 cm的正方形截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，其中AF=12 cm，BF=10 cm，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN，使得矩形相邻两边分别落在CD，DE上，另一顶点P落在边CB或BA边上．设DM=x cm，矩形DMPN的面积为y ．
/
（1）试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（2）试问如何截取（即x取何值时），可使得到的矩形DMPN的面积最大？
【答案】（1），定义域D=（0，40]；（2）当时，y的最大值为
【解析】（1）依据题意并结合图形，可知：10当点P在线段CB上，即0＜x≤30时，y=40x；20当点P在线段BA上，即30＜x≤40时，由，得．
于是，．
所以，，定义域D=（0，40]．
（2）由（1）知，当0＜x≤30时，0＜y≤1200；
当30＜x≤40时，，
当且仅当时，等号成立．
因此，y的最大值为．
答：先在DE上截取线段，然后过点M作DE垂线交BA于点P，再过点P作DE的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为．
类型三、拟合函数模型的应用问题
这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）。为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法。
例5.某县2006～2011年财政收入情况：
年份
2006
2007
2008
2009
2010
2011
收入(万元)
25899
30504
37997
48898
66800
85000
(1)请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；
(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2012年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性．
【解析】(1)利用描点法，过A(1，2.59)，B(2，3.05)，C(3，3.80)，D(4，4.89)，E(5，6.68)，F(6，8.50)画一条光滑的曲线，如图所示，其中年份第一年为2006年，第二年为2007年，其它依次类推．
通过直观判断函数图象，它可以和前面已学过的两种函数模型进行比较：
模型一：设(a＞0，a≠1)，
将A、B、C三点的坐标代入，得
∴.
计算得≈4.57，≈5.73，≈7.30，它们与实际的误差分别为0.32，0.95，1.20．
模型二：设(a≠0，x≥1)，
将A、B、C三点的坐标代入，得
∴．
计算得≈4.84，≈6.17，≈7.79，它们与实际的误差分别为0.05，0.51，0.71．
对两个函数模型进行对比，发现与实际的误差较小，所以用函数模型(x≥1)较好．
（2）设年财政收入平均增长率为a，由2006年和2011年财政收入，则有
2.59(1+a)5=8.5，解得a≈26.83%．
从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型：．
用和分别预测2012年的财政收入是：
=9.7(亿)，=10.78(亿)．
从该县经济发展趋势看，两种预测都有可能，但是选择模型比较稳妥．
【总结升华】在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．
举一反三：
【变式1】某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标。
2006年，某汽车年销量8万辆；
2007年，某汽车年销量18万辆；
2008年，某汽车年销量30万辆。
如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），指数函数型g (x)=a·bx+c（a≠0，b≠1，b＞0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？
【答案】f (x)=x2+7x
【解析】建立年销量y（万辆）与第x年的函数，可知函数图象必过点（1，8），（2，18），（3，30）。
（1）构造二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），
将点的坐标代入，可得，解得。
则f (x)=x2+7x，故f (4)=44，与计划误差为4.7。
（2）构造指函数型g (x)=a·bx+c，将点的坐标代入，
可得，解得，则，
故，与计划误差为5.1。
由上可得f (x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量y（万辆）与第x年的关系。
【总结升华】某个函数模型能否更好地反映变量间的关系，必须与实际数据的误差相对较小。
【巩固练习】
1．汽车油箱为长方体形状容器，它的长是a cm，宽是b cm，高是c cm，汽车开始行驶时油箱内装满汽油，已知汽车耗油量是n cm3 / km，汽车行驶路程y（km）与油箱内剩余油量的液面高度x（cm）的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的关系式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ）
A．200副 B．400副 C．600副 D．800副
3．已知镭经过每100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1千克的镭经过/x年剩留量为y千克，则y与x的函数关系是 （ ）
A． B．
C． D．
4．某种产品市场销量情况如右图所示，其中：表示产品各年产量的变化规律；表示产品各年的销售情况，下列叙述：
①产品产量、销量均以直线上升，仍可按原计划进行；②产品已经出现了供大于求的情况，价格将下跌；③产品的库存积压将越来越严重，应减少产量或扩大销量；④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加．你认为较合理的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②③
5．甲、乙二人沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2（v1＜v2），甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2；乙一半的时间使用速度v1，另一半的时间使用速度v2．关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的图象及关系，有下图中四个不同的图示分析（其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程），则其中可能正确的图示分析为（ ）
/
6．（2018 南昌二模）某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，下列四个函数中，能较准确反映商场月销售额f（x）与月份x关系且满足f（1）=8，f（3）=2的函数为（ ）
A． B．
C． D．
7．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售
电价表如下：
/
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 ________元（用数字作答）./? /
8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系（a，b，c是常数），右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
/
9．现测得（x，y）的两组值为（1，2），（2，5），现有两个拟合模型，甲：y=x2+1，乙：y=3x－1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），则应选用________作为拟合模型较好．
10．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来一半所经历的时间称为它的半衰期，记为．现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
t（单位时间）
0
2
4
6
8
10
A（t）
320
226
160
115
80
57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A (t)=________．
11．如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x，试写出左边部分的面积y与x的函数．
/
12．（2018 闵行区二模）为配合上海迪斯尼游园工作，某单位设计人数的数学模型（n∈N+）：以表示第n时进入人数，以表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n=1；9点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：（最后结果四舍五入，精确到整数）．
（1）试计算当天14点到15点这一个小时内，进入园区的游客人数f（21）+f（22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各为多少？
（2）从13点45分（即n=19）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】 行驶路程y km所用油量为ny cm3，又ny=ab(c－x)，所以，且0≤x≤c．
2．【答案】D
【解析】 由5x+4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．
3．【答案】A
4．【答案】D
【解析】 由图可知，②③较为合理．
5．【答案】D
【解析】 在开始一段时间内，两者的速度都为v1，故开始应出现一段两图象重合的部分，故①②可能．
6．【答案】D
【解析】A．为减函数，不满足条件先下降后上升的趋势，
B．为减函数，不满足条件先下降后上升的趋势，
C．满足先下降后上升的趋势，f（1）=1―12+19=8，f（3）=9―12×3+19=―8，不满足条件f（3）=2．
D．满足先下降后上升的趋势，f（1）=1―7+14=8，f（3）=9―7×3+14=2，满足条件
故满足条件的函数为．
故选：D．
7. 【答案】148.4
【解析】高峰时段电费，低谷时段电费.
8．【答案】3.75
【解析】由题意得解之得
∴，最佳加工时间应是p最高的时候，
当t＝3.75时，p有最大值．故填3.75.
9．【答案】甲
【解析】描出已知三个点的坐标并画出两个函数的图象，比较可知甲函数拟合效果较好．
10．【答案】4
【解析】（t≥0） 从测试记录易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0=320，则经过时间t的剩余质量为（t≥0）．
11．分析：直线l从左至右移动，分别于线段BG、GH、HC相交，与线段BG相交时，直线l左边的图形为三角形，与线段GH相交时，直线l左边的图形为三角形ABG与矩形AEFG，与线段HC相交时，直线l左边的图形的图形不规则，所以观察其右侧图形为三角形CEF，各段利用面积公式可求得y．
【答案】
【解析】过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．
因为ABCD是等腰梯形，底角为45°，cm，
所以BG=AG=DH=HC=2cm，又BC=7cm，所以AD=GH=3cm．
（1）当点F在BG上时，即x∈（0，2]时，；
（2）当点F在GH上时，即x∈（2，5]时，y=2+（x－2）?2=2x－2；
（3）当点F在HC上时，即x∈（5，7]时，．
所以，函数解析式为
点评：本题考查求分段函数的解析式，找到分段点，在各段找出已学过得的规则图形，化未知为已知，结合图形，比较直观．用到转化，化归与数形结合的思想．
12．【解析】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为
f（21）+f（22）+f（23）+f（24）（人）
离开园区的人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）=9000（人）
（2）当f（n）－g（n）≥0时，园内游客人数递增；
当f（n）－g（n）＜0时，园内游客人数递减．
①当19≤n≤32时，由，可得：
当19≤n≤28时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；
当29≤n≤32时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少；
（f（28）－g（28）=246.49＞0；f（29）―g（29）=―38.13＜0）
②当33≤n≤45时，由f（n）―g（n）=―720n+23600递减，且其值恒为负数，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少．
综上，当天下午16点时（n=28）园区内的游额人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人．
【学习目标】
1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.
2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.
3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.
【要点梳理】
要点一：解答应用问题的基本思想和步骤
1.解应用题的基本思想
/
2.解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.
上述四步可概括为以下流程：
实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).
要点二：解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.
其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.
其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.
【典型例题】
类型一、已建立函数模型的应用题
例1. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中x是仪器的月产量。
（1）将利润表示为月产量的函数f (x)。
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
【思路点拨】这里已有函数模型，只需对分段讨论，写出利润的表达式即可
【答案】（1）；
(2) 每月生产300台仪器时，利润最大。最大利润为25000元。
【解析】（1）设每月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而。
（2）当0≤x≤400时，
，
∴当x=300时，有最大值25000；
当x＞400时，f (x)=60000－100x是减函数，
f (x)＜60000－100×400＜25000。
∴当x=300时，f (x)的最大值为25000。
∴每月生产300台仪器时，利润最大。
最大利润为25000元。
【总结升华】 由题目可获取以下主要信息：①总成本=固定成本+100x；②收益函数为一分段函数。解答本题可由已知总收益=总成本+利润，利润=总收益－总成本。由于R (x)为分段函数，所以f (x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题。分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者。分段函数应用题是高考命题的热点。
举一反三：
【变式1】 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。
【答案】0.943×105.
【解析】 这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01×105 Pa和x=1000 m时y=0.90×105 Pa可求。
将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=cekx中，得
，∴。
将c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k中得0.90×105=1.01×105e1000k，
∴。
由计算器算得k=－1.15×10－4，
∴。
将x=600代入上述函数关系式得，
由计算器算得y=0.943×105 Pa。
答：600 m高空的大气压强约为0.943×105 Pa。
【总结升华】 函数y=c·akx（a、c、k为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数即可。
类型二、自建函数模型的应用问题
例2.某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8 m，最大装水量为72 ，池底和池壁的造价分别为2a元、a元，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？
【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值。
【答案】另一边和长方体高都设计为3m时，总造价最低，最低造价为114a元
【解析】设池底一边长为x，水池的高为y，总造价为z，
由最大装水量知8xy=72，
当且仅当即时，总造价最低，
答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为3m时，总造价最低，最低造价为114a元．
【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数在（0，+∞）上的单调性求最值，请同学们自己试解．
举一反三：
【变式1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f (x)的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）
【答案】（1）当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元。
（2）
（3）当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000。
【解析】（1）设零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
。
因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元。
（2）当0＜x≤100时，P=60。
当100＜x＜550时，。
当x≥550时，P=51。
∴
（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000。
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个时，利润是11000元。
例3．在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为，每个工作台上有若干名工人．现要在与之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．
/
【答案】（1）；（2）
【解析】设供应站位置坐标为，则各工人到零件供应站距离之和为。
（1）
故当且仅当时，，此时。
答：当供应站修建在时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为．
（2）
=
由于函数单调递减
所以时，
又当时，
故当时，均有
答：当供应站修建在时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为。
例4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式；
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度与车流速度v之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）100 3333
【解析】
（Ⅰ）由题意：当；当
再由已知得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当/时，其最大值为60×20=1200；
当，
所以，当时，在区间[20，200]上取得最大值
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
举一反三：
【变式1】（2018 黄浦区模拟）有一块铁皮零件，其形状是由边长为40 cm的正方形截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，其中AF=12 cm，BF=10 cm，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN，使得矩形相邻两边分别落在CD，DE上，另一顶点P落在边CB或BA边上．设DM=x cm，矩形DMPN的面积为y ．
/
（1）试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（2）试问如何截取（即x取何值时），可使得到的矩形DMPN的面积最大？
【答案】（1），定义域D=（0，40]；（2）当时，y的最大值为
【解析】（1）依据题意并结合图形，可知：10当点P在线段CB上，即0＜x≤30时，y=40x；20当点P在线段BA上，即30＜x≤40时，由，得．
于是，．
所以，，定义域D=（0，40]．
（2）由（1）知，当0＜x≤30时，0＜y≤1200；
当30＜x≤40时，，
当且仅当时，等号成立．
因此，y的最大值为．
答：先在DE上截取线段，然后过点M作DE垂线交BA于点P，再过点P作DE的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为．
类型三、拟合函数模型的应用问题
这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）。为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法。
例5.某县2006～2011年财政收入情况：
年份
2006
2007
2008
2009
2010
2011
收入(万元)
25899
30504
37997
48898
66800
85000
(1)请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；
(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2012年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性．
【解析】(1)利用描点法，过A(1，2.59)，B(2，3.05)，C(3，3.80)，D(4，4.89)，E(5，6.68)，F(6，8.50)画一条光滑的曲线，如图所示，其中年份第一年为2006年，第二年为2007年，其它依次类推．
通过直观判断函数图象，它可以和前面已学过的两种函数模型进行比较：
模型一：设(a＞0，a≠1)，
将A、B、C三点的坐标代入，得
∴.
计算得≈4.57，≈5.73，≈7.30，它们与实际的误差分别为0.32，0.95，1.20．
模型二：设(a≠0，x≥1)，
将A、B、C三点的坐标代入，得
∴．
计算得≈4.84，≈6.17，≈7.79，它们与实际的误差分别为0.05，0.51，0.71．
对两个函数模型进行对比，发现与实际的误差较小，所以用函数模型(x≥1)较好．
（2）设年财政收入平均增长率为a，由2006年和2011年财政收入，则有
2.59(1+a)5=8.5，解得a≈26.83%．
从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型：．
用和分别预测2012年的财政收入是：
=9.7(亿)，=10.78(亿)．
从该县经济发展趋势看，两种预测都有可能，但是选择模型比较稳妥．
【总结升华】在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．
举一反三：
【变式1】某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标。
2006年，某汽车年销量8万辆；
2007年，某汽车年销量18万辆；
2008年，某汽车年销量30万辆。
如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），指数函数型g (x)=a·bx+c（a≠0，b≠1，b＞0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？
【答案】f (x)=x2+7x
【解析】建立年销量y（万辆）与第x年的函数，可知函数图象必过点（1，8），（2，18），（3，30）。
（1）构造二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），
将点的坐标代入，可得，解得。
则f (x)=x2+7x，故f (4)=44，与计划误差为4.7。
（2）构造指函数型g (x)=a·bx+c，将点的坐标代入，
可得，解得，则，
故，与计划误差为5.1。
由上可得f (x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量y（万辆）与第x年的关系。
【总结升华】某个函数模型能否更好地反映变量间的关系，必须与实际数据的误差相对较小。
【巩固练习】
1．汽车油箱为长方体形状容器，它的长是a cm，宽是b cm，高是c cm，汽车开始行驶时油箱内装满汽油，已知汽车耗油量是n cm3 / km，汽车行驶路程y（km）与油箱内剩余油量的液面高度x（cm）的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的关系式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ）
A．200副 B．400副 C．600副 D．800副
3．已知镭经过每100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1千克的镭经过/x年剩留量为y千克，则y与x的函数关系是 （ ）
A． B．
C． D．
4．某种产品市场销量情况如右图所示，其中：表示产品各年产量的变化规律；表示产品各年的销售情况，下列叙述：
①产品产量、销量均以直线上升，仍可按原计划进行；②产品已经出现了供大于求的情况，价格将下跌；③产品的库存积压将越来越严重，应减少产量或扩大销量；④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加．你认为较合理的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②③
5．甲、乙二人沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2（v1＜v2），甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2；乙一半的时间使用速度v1，另一半的时间使用速度v2．关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的图象及关系，有下图中四个不同的图示分析（其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程），则其中可能正确的图示分析为（ ）
/
6．（2018 南昌二模）某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，下列四个函数中，能较准确反映商场月销售额f（x）与月份x关系且满足f（1）=8，f（3）=2的函数为（ ）
A． B．
C． D．
7．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售
电价表如下：
/
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 ________元（用数字作答）./? /
8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系（a，b，c是常数），右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
/
9．现测得（x，y）的两组值为（1，2），（2，5），现有两个拟合模型，甲：y=x2+1，乙：y=3x－1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），则应选用________作为拟合模型较好．
10．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来一半所经历的时间称为它的半衰期，记为．现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
t（单位时间）
0
2
4
6
8
10
A（t）
320
226
160
115
80
57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A (t)=________．
11．如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x，试写出左边部分的面积y与x的函数．
/
12．（2018 闵行区二模）为配合上海迪斯尼游园工作，某单位设计人数的数学模型（n∈N+）：以表示第n时进入人数，以表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n=1；9点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：（最后结果四舍五入，精确到整数）．
（1）试计算当天14点到15点这一个小时内，进入园区的游客人数f（21）+f（22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各为多少？
（2）从13点45分（即n=19）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】 行驶路程y km所用油量为ny cm3，又ny=ab(c－x)，所以，且0≤x≤c．
2．【答案】D
【解析】 由5x+4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．
3．【答案】A
4．【答案】D
【解析】 由图可知，②③较为合理．
5．【答案】D
【解析】 在开始一段时间内，两者的速度都为v1，故开始应出现一段两图象重合的部分，故①②可能．
6．【答案】D
【解析】A．为减函数，不满足条件先下降后上升的趋势，
B．为减函数，不满足条件先下降后上升的趋势，
C．满足先下降后上升的趋势，f（1）=1―12+19=8，f（3）=9―12×3+19=―8，不满足条件f（3）=2．
D．满足先下降后上升的趋势，f（1）=1―7+14=8，f（3）=9―7×3+14=2，满足条件
故满足条件的函数为．
故选：D．
7. 【答案】148.4
【解析】高峰时段电费，低谷时段电费.
8．【答案】3.75
【解析】由题意得解之得
∴，最佳加工时间应是p最高的时候，
当t＝3.75时，p有最大值．故填3.75.
9．【答案】甲
【解析】描出已知三个点的坐标并画出两个函数的图象，比较可知甲函数拟合效果较好．
10．【答案】4
【解析】（t≥0） 从测试记录易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0=320，则经过时间t的剩余质量为（t≥0）．
11．分析：直线l从左至右移动，分别于线段BG、GH、HC相交，与线段BG相交时，直线l左边的图形为三角形，与线段GH相交时，直线l左边的图形为三角形ABG与矩形AEFG，与线段HC相交时，直线l左边的图形的图形不规则，所以观察其右侧图形为三角形CEF，各段利用面积公式可求得y．
【答案】
【解析】过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．
因为ABCD是等腰梯形，底角为45°，cm，
所以BG=AG=DH=HC=2cm，又BC=7cm，所以AD=GH=3cm．
（1）当点F在BG上时，即x∈（0，2]时，；
（2）当点F在GH上时，即x∈（2，5]时，y=2+（x－2）?2=2x－2；
（3）当点F在HC上时，即x∈（5，7]时，．
所以，函数解析式为
点评：本题考查求分段函数的解析式，找到分段点，在各段找出已学过得的规则图形，化未知为已知，结合图形，比较直观．用到转化，化归与数形结合的思想．
12．【解析】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为
f（21）+f（22）+f（23）+f（24）（人）
离开园区的人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）=9000（人）
（2）当f（n）－g（n）≥0时，园内游客人数递增；
当f（n）－g（n）＜0时，园内游客人数递减．
①当19≤n≤32时，由，可得：
当19≤n≤28时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；
当29≤n≤32时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少；
（f（28）－g（28）=246.49＞0；f（29）―g（29）=―38.13＜0）
②当33≤n≤45时，由f（n）―g（n）=―720n+23600递减，且其值恒为负数，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少．
综上，当天下午16点时（n=28）园区内的游额人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人．