课题
14.1.1 直角三角形的三边关系(第1课时)
教
学
目
标
知识技能
经历用画直角三角探索勾股定理的过程，进一步理解掌握勾股定理；
2.了解勾股定理的历史，初步掌握勾股定理的简单应用．
数学思考
经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展合情合理的推理能力，沟通数学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想．
问题解决
由特殊直角三角形的三边关系，猜想一般直角三角形的关系，然后画图验证，得出勾股定理．用到的恰是我们研究图形性质的重要思想：由特殊到一般．
情感态度
通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值.
2. 通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；对比介绍我国古代和西方数学家有关勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育．
教学重点
勾股定理
教学难点
勾股定理的探索
授课类型
新授课
课时
1课时
教具
方格纸(多媒体)
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
你对直角三角形的角度关系了解多少？你对直角三角形的边的关系了解多少？
学生回忆并回答，为引入勾股定理留下悬念.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
图14－1－
1955年希腊发行了一张邮票，图案像是由三个棋盘排列而成．这张邮票是纪念2500年前希腊一个学术和宗教团体——毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献，请同学们数一数正方形中小方格的个数，看有什么发现？
1.对特殊直角三角的三边关系有初步的认识
2.由特殊直角三角形三边关系，为研究一般直角三角形的三边关系做准备.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究】
1.小组合作，根据表格中的要求画直角三角形，其中∠C＝90°，量出c的长度，并完成表格空缺部分：
序号
a
b
c
c2
a2＋b2
1
6
8
2
5
12
3
9
12
学生活动：(1)小组分式合作，画图、度量、计算(可用计算器)、验证.
(2)各小组之间交流结论，一致得出：两直角边的平方和等于斜边的平方.
老师活动：用几何画板，画任意的直角三角形，然后有度量和计算功能，做出一般直角三角形三边关系的表格．同样得到两直角边的平方和等于斜边的平方.
板书：[勾股定理]直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
提示：注意勾股定理中的关键点.
教师提问：你能证明这一结论吗？
这是下节课的知识，请同学们课后通过阅读课本或上网查找相关的资料，来证勾股定理.
1.让学生动手操作，让勾股定理在学生手中再发现出来，加深印象，了解数学研究问题，问题解决的方法.
2.学生自主探究，再次理解勾股定理，学会用面积法论证勾股定理．培养学生的动手探究能力，养成严谨的学习习惯；学会交流，达到知识、方法共享，体验合作的乐趣、合作的成功.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 在Rt⊿ABC中，已知∠B＝90°，AB＝6，BC＝8.求AC.
变式：(例1补充)在Rt△ABC，∠C＝90°
(1)已知a＝b＝5，求c；
(2)已知a＝1，c＝2，求b；
(3)已知c＝17，b＝8，求a；
(4)已知a：b＝1：2，c＝5，求a.
刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．(1)已知两直角边，求斜边直接用勾股定理．(2)(3)已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变式．(4)已知一边长，两边比，求未知边．
通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．后一题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法.
【拓展提升】
例2 已知△ABC中，BC边的上的高为AD，AB＝13，BC＝19，AD＝5，求BD及AC的长.
图14－1－
培养学生知识的综合与拓展提高应考能力
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.课本P111中的练习T1，2
2.课本P117中的习题1.1中的T2
当堂检测，及时反馈学习效果，其中练习T2涉及分类讨论，要注意适当引导.
【知识网络】
图14－1－
1.直角三角形的角度关系
2.直角三角形三边关系
勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方
和等于斜边的平方：a2＋b2＝c2(其中c是斜边).
3.勾股定理的变式
c＝，a＝，b＝.
提纲挈领，重点突出
反思，更进一步提升.
【教学反思】
①[授课流程反思]
设置问题情景，体现数学来源于生活，通过观察感悟图形中的美妙之处，体现勾股定理的美学价值，激发学生的求知探索欲望.
②[讲授效果反思]
通过画直角三角形，操作、观察、计算、探索出勾股定理的内容，让学生切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．这种方法符合学生认识图形的过程，培养了学生合作学习、主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作交流的学习习惯，最后通过例题巩固勾股定理，体会勾股定理定理的变式.
③[师生互动反思]
___________________________________
④[习题反思]
好题题号 例题变式一
错题题号 拓展提升例题
课题
14.1.1 直角三角形的三边关系
(第2课时)
教
学
目
标
知识技能
理解几种常见证明勾股定理的方法，并会验证勾股定理；
2.应用勾股定理解决一些简单实际问题．
数学思考
用勾股定理会进行灵活变形，已知直角三角形的任两边，会求它的第三边；会将实际问题转化为数学问题．
问题解决
通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识．
情感态度
在勾股定理的应用过程中，培养探究能力和合作精神，感受勾股定理的作用，培养数学素养．
教学重点
应用勾股定理解决简单的实际问题．
教学难点
将实际问题转化为数学问题中数形结合的思想．
授课类型
新授课
课时
第一课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
上节课的勾股定理是怎么得到的？
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法
活动
一：
创设
情境
导入
新课
伽菲尔德是美国第二十任总统，同样他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂、明了，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法.
图14－1－
问题1：你能说出勾股定理的内容吗？
问题2：伽菲尔德是利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？
上节课探索发现了勾股定理，让学生通过“总统证法”验证勾股定理，体会勾股定理的正确性，引领学生不断探索，不断深入.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】拼图验证勾股定理
活动内容：如图13－5－，是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形，对勾股定理进行验证.
图14－1－
图14－1－
问题1：图3中正方形ABCD的边长是________，正方形ABCD的面积可表示为________.
问题2：图3中正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，因此正方形ABCD的面积还可以表示为________.
问题3：观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形，所以结果应________.
问题4：现在，你能验证勾股定理吗？
问题5：利用图4如何验证勾股定理？
【探究2】拓宽视野，深入了解勾股定理的证法
用图4验证勾股定理的方法，据记载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．事实上，勾股定理的证明方法十分丰富，几千年来，人们已经发现了400多种，其中有一类方法尤为独特，单靠移动几个图形就能直观地证出了勾股定理，被誉为“无字的证明”，我们来欣赏几种！(课件出示)
图14－1－
问题：你能利用美国总统伽菲德所拼的图形验证勾股定理吗？
【探究3】探究只有直角三角形才满足a2＋b2＝c2.
我们已经验证了直角三角形满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形也满足这个关系吗？观察图6，判断图中三角形的三边长是否满足a2＋b2＝c2.
图14－1－
问题1：利用数格子的方法计算图中正方形的面积分别是多少？
问题2：比较正方形的面积，锐角三角形的三边长满足的关系是什么？钝角三角形的三边长满足的关系是什么？
1.让学生体会数形结合的思想，通过探究图形的构成，亲身验证勾股定理的正确性，学生的动手、动脑能力得到了加强．图3、图4都能够证明勾股定理，并且这两个图形的证明方法类似，因此师生共同来完成一个即可，剩下的一个由学生独立证明，目的是学以致用，以实践操作强化对知识的理解.
2.介绍中外古代人们对勾股定理证明的研究，特别是勾股定理的无字证明，从另一个角度让学生感受勾股定理的证明思路，体会拼图方法的多样性，激发学生的学习兴趣．让学生验证总统证法的正确性，希望学生能关注知识、方法之间的内在联系，通过学生自身的实践活动加深对勾股定理的理解.
3.学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不满足a2＋b2＝c2这个结论，学生可以加深对勾股定理的认识，也为下一节直角三角形的判别打下基础.
【应用举例】
图14－1－
例1 【教材例2】如图14－1－，Rt⊿ABC的斜边AC比直角边AB长2 cm，另一直角边BC长为6 cm，求AC的长.
变式：如图14－1－，在Rt⊿ABC中，∠C－90°，AD、BE是中线，AD＝，BE＝，求AB的长.
例2 【教材p111例3】
图14－1－
如图14－1－，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形．通过测量，得到AC的长为16米，BC的长为12米．问从点A穿过湖到点B有多远？
图14－1－
图14－1－
变式：我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
1.让学生体能灵活运用勾股定理结合方程，求直角三角形的边长，目的是学以致用.
2.应用勾股定理
解决实际问题时，会将实物图抽象为直角三角形，找到已知边长，和未知的边长.
3.为了巩固所学的勾股定理知识，教师逐步引导学生初步运用勾股定理解决实际的问题；强化应用的意识，在应用中体会勾股定理的价值.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【拓展提升】
图14－1－
例3 如图14－1－，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是__(____)2015__.
在例题的基础上进行拓展，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，运用勾股定理解决实际问题的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为( )
A.600米； B．800米； C．1000米； D．不能确定
2.等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为( ).
A.30 cm2 B．130 cm2 C．120 cm2 D．60 cm2
3.下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积
图14－1－
图14－1－
4.如图14－1－，受台风麦莎影响，一棵高18 m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高.
总结、扩展
学生活动：谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？
教学说明：学生先独立完成小结，在学生回答的过程中老师引导学生将本节的知识系统化.
作业：
1.课本P6中的随堂练习
2.课本P6中的习题1.2中的T1、T3
这一环节设计了4道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第1，2题，学生容易解决，第3，4道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，有一定难度．在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.
【知识网络】
§14.1.1 直角三角形三边关系(2)
一、验证勾股定理→拼图→面积法(等积法)
二、例
三、练习
定理变形：1.(a＋b)2＝ab×4＋c2 2.c2＝ab×4＋(b－a)2
提纲挈领，重点突出
【教学反思】
①[授课流程反思]
巧妙引用“总统证法”引出如何验证勾股定理，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲，以景激情，以情促思，引领学生不断探索，不断深入.
②[讲授效果反思]
勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究得到方法1，最后由学生独立探究得到方法2，这样学生较容易地突破了本节课的难点.
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号 当堂训练1，4
错题题号 补充练习二
反思，更进一步提升.
