(共18张PPT)
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讲授新课
当堂练习
课堂小结
3.2 一元一次方程的应用
第3章 一次方程与方程组
第3课时 比例与和、差、倍、分问题
1.理解并掌握运用一元一次方程解决比例与和、差、倍、分问题的解题思路和方法.(重点）
2.系统归纳列方程解应用题的一般步骤，学会从实际问题中抽象出数学模型.（难点）
导入新课
问题引入
父子两人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子年龄的8倍，请问两年前父子各几岁？请问再过几年父亲的年龄是儿子年龄的2倍？
讲授新课
例1 三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队排涝的土地面积之比为4:5:6，而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计120元，三个作业队按土地面积比各应负担多少元？
分析：各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比，且三个作业队各自应负担费用之和等于120元.由于共有土地4+5+6=15份，因而120元可由15份共同分担.
解：设每份土地排涝分担费用为x元，那么三个作业队应负担费用分别为4x元，5x元，6x元.
依据题意，得 4x+5x+6x=120.
解方程，得 x=8.
4x=32,5x=40,6x=48.
答：三个作业队各应负担32元、40元、48元.
例2 质量为45克的某种三色冰淇淋中,咖啡色、红色和白色配料的比为1:2:6,这种三色冰淇淋中,咖啡色、红色和白色配料分别是多少?
解：设咖啡色配料为x克，那么红色配料为2x克，白色配料为6x克.
依据题意，得 x+2x+6x=45.
解方程，得 x=5.
2x=10,6x=30.
答：咖啡色、红色和白色配料分别为5克、10克、30克.
比例问题：就是把一个数按照一定的比分成若干份.一般需间接设元，设每一份为x,再根据各部分之和等于总体列出方程.
方法归纳
例3：(1)学校图书馆原有图书a册，最近增加了20%,则增加了图书_____册，现在有图书______册;
(2)某煤矿去年比前年减产15%，已知去年产煤60万吨.设前年产煤x万吨，则可列方程_______________.
增长量=原有量×增长率；降低量=原有量×降低率；
现有量=原有量+增加量；现有量=原有量-降低量.
20%a
1.2a
x-15%x=60
例4:一只轮船载重量为300吨，容积为1000立方米.现有甲、乙两种货物待装，已知甲种货物每吨体积7立方米,乙种货物每吨体积2立方米,问怎样安排货运，才能充分利用船的载重量与容积？
载重量（吨） 容积（立方米）
甲
乙
总计 300 1000
解：设甲种货物运载x吨，则乙种货物为(300-x)吨，甲种货物所占容积为7x立方米，乙种货物所占容积为2(300-x)立方米，总容积为1000立方米.
根据题意，得 7x+2(300-x)=1000.
解方程，得 x=80. 300-x=220.
答：甲种货物装运80吨，乙种货物装运220吨.
和、差、倍、分问题:常用两种不同的形式表示题中的同一个量，由这两个式子相等得到方程.我们可以通过列表格的方式呈现题目中给出的信息，找出等量关系，列出方程.
方法归纳
父子两人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子年龄的8倍，请问两年前父子各几岁？
练一练
x
8x
x+2
8x+2
两年前 今年
儿子
父亲
总计 40
当堂练习
3.一根长16米的铁丝分成两段，做成一个长方形和一个正方形，已知长方形的长和宽之比为2：1，长方形的长比正方形的边长多3米，正方形的面积____平方米.
1.甲、乙二人按照2:5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，第一个月盈利3500元，那么甲得________，乙分别应得________.
2.一个两位数，个位数字和十位数字的和为7，如果把十位数字和各位数字对调，所得新数比原数大45，则原两位数是____.
1000元
2500元
16
1
4.我国四大发明之一的黑火药是用硝酸钠、硫磺、木炭三种，原料按15：2：3的比例配制而成，现要配制这种火药150公斤，则这三种原料各需要多少公斤？
解：设需要硝酸钠15x公斤，硫磺2x公斤，木炭3x公斤.
依题意得：15x+2x+3x=150
解方程得： x=7.5
15x=15×7.5=112.5 2x=2×7.5=15
3x=3×7.5=22.5
答：硝酸钠需要112.5公斤，硫磺需要15公斤，木炭需要 22.5公斤.
5.甲、乙、丙三队合修一条公路，计划出280人，如果甲队人数是乙队的一半，丙队人数是乙队的2倍，问三队各出多少人？
答：甲队出80人，乙队出40人，丙队出160人.
6.甲、乙、丙三位同学向贫困地区的少年儿童捐赠图书,已知这三位同学捐赠图书册数的比是5:6:9.
(1)如果他们共捐书320册,那么这三位同学各捐书多少册?
(2)如果甲、丙两同学捐书的和是乙同学捐书册数的2倍还多12册,那么他们各捐书多少册?
甲 乙 丙
捐书数量（册） 5x 6x 9x
（1） 合计捐书320册
（2） 甲+丙=2×乙+12
解：设甲同学捐书5x本，乙同学捐书6x本，丙同学捐书9x本；
（1）依题意，得 5x+6x+9x=320.
解方程 得 x=16.
5x=80;6x=96;9x=144.
（2）依题意，得 5x+9x=2×6x+12.
解方程 得 x=6.
5x=30;6x=36;9x=54.
答：他们个捐了30本，36本，54本书.
课堂小结
一元一次方程的应用
比例问题
和、差、倍、分问题
步骤
增长量=原有量×增长率；降低量=原有量×降低率.
现有量=原有量+增加量；现有量=原有量-降低量.
采用间接设元法，通常设每一份为x.
1.设未知数；2.找等量关系；3.列方程；4解方程；5.检验作答
(共26张PPT)
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当堂练习
课堂小结
3.2 一元一次方程的应用
第3章 一次方程与方程组
第1课时 等积变形和行程问题
学习目标
1.会用一元一次方程解决等积变形和行程问题.
（重点、难点）
2.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.(难点）
3.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
(重点)
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情景引入
一支牙膏出口处直径为5mm,小明每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次。该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口直径改为6mm,小明还是按习惯每次挤出1cm长的牙膏，这样，这只牙膏能用多少次？
讲授新课
例1：如图，用直径为200mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm、300mm和90mm的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱的体积公式：体积 = 底面积 ? 高线长.计算时?取3.14.要求结果误差不超过1mm）？
问题1：题目中有哪些已知量和未知量？如何表示未知量？
想一想
已知：圆钢直径（200mm）、长方体毛胚的长宽高（300mm、300mm、90mm）
未知：圆钢的高
设未知数：设应截取圆钢x毫米.
问题2：分析题意，你能找到什么等量关系？
等量关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积
问题3：如何根据等量关系“圆钢体积=长方体毛胚的体积”列出方程？
根据等量关系列出方程，得：
解方程，得：
答：应截取258mm长的圆柱体钢.
等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变
归纳总结
列方程解应用题的一般步骤：
1:弄清题意和题中数量关系，用字母（如x,y)表示问题中的未知数；
2:分析题意，找出相等关系；
3:根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；
4:解这个方程，求出未知数的值；
5:检查所得值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）.
设未知数
找等量关系
列出方程
解方程
检验作答
例2：为了适应经济发展，铁路运输再次提速.如果客车行驶的平均速度增加40km/h,提速后由合肥到北京1110km的路程只需行驶10h.那么，提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？
分析：行程问题中常涉及的量有路程、平均速度和时间，它们之间的基本关系为：
路程=平均速度×时间；
解：设提速前客车平均每小时行驶xkm,那么提速后客车每小时行驶（x+40)km,客车行驶路程为1110km,平均速度为（x+40)km/h,所需时间是10h.
根据题意，得
10（x+40)=1110
解方程，得 x=71.
答：提速前这趟客车的平均速度为71km/h.
例3 甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．
(1)慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？
解：(1)设快车开出x小时后两车相遇．
等量关系：
慢车行驶距离+快车行驶距离=甲乙两地的距离.
依题意，得： 90×1+90x+140x=480.
解方程，得：
(2)设相背而行y小时两车相距600千米．
等量关系：
慢车行驶距离+快车行驶距离+甲乙两地的距离=600km.
依题意，得： 90y+480+140y=600.
(2)两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距600千米？
(3)设z小时后快车与慢车相距600千米，
等量关系：
快车行驶距离+甲乙两地的距离-慢车行驶距离=600km.
依题意，得： 140z+480-90z=600.
(3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600千米？
(4)设m小时后快车追上慢车，
等量关系：
慢车行驶距离+甲乙两地的距离=快车行驶距离.
依题意，得： 90m+480=140m.
答：略
(4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
行程问题中一般涉及“路程”“速度”“时间”这三个量，且路程＝速度×时间．
行程问题分同向而行和相向而行两种情况，找等量关系时可以画线段示意图帮助分析．
归纳总结
例4：汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时.已知船在静水的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？
分析：本题是行程问题，故有：
路程=平均速度×时间；
时间=路程÷平均速度.
但涉及水流速度，必须要掌握：
顺水速度=船速+水速；
逆水速度=船速－水速.
解：设甲、乙两地的距离为x 千米，
等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5
依题意，得
解方程，得 x=120
答：甲乙两地之间的距离为120千米.
方法一
方法二
解 设汽船逆水航行从乙地到甲地需x小时，
则汽船顺水航行的距离是(18+2)(x－1.5)千米,
逆水航行的距离是(18－2)x千米.
等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离
(18 －2) ×7.5=120
答:甲、乙两地距离为120千米。
问题1：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能相遇吗？
问题2：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，经过几秒钟两人第一次相遇？
小华
小明
同时同地同向而行
拓展训练：
经过几秒钟两人
第三次相遇？
变式训练：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米，两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时相遇？
小华
小明
同时同地
相背而行
当堂练习
1.一个宽为3cm的长方形与一个边长为6cm的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（ ）
A.12.5千米/时 B.15千米/时
C.17.5千米/时 D.20千米/时
2.甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的时速是（ ）
A.12cm B.18cm C.24cm D.30cm
D
B
3．一个底面直径为16厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为8厘米、高为15厘米的铁质小圆柱体．当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？
[解析] 木桶内水面下降的圆柱体体积＝铁质小圆柱体体积．
解：设木桶内水面下降xcm.由题意得：
解方程得：
答：木桶内水面下降
4.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时.已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度.
解：设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流速度为(x+3)千米/时，逆流速度为(x-3)千米/时.
根据题意，得
2(x+3)=2.5(x-3)
解方程，得
x=27
答：船在静水中的平均速度为27千米/时.
课堂小结
用一元一次方程解决问题
步骤
应用
1.设未知数；
2.找等量关系；3.列方程；
4.解方程；
5.检验作答.
等积变形：变形前后的面（体)积相等
行程问题：
路程=时间×平均速度
问题的已
知条件
解决行程问题的基本步骤：
画出线
段图
找出等
量关系
列方程
并求解
作答
同向追及问题
甲路程＋路程差＝乙路程；
甲路程＝乙路程
相向相遇问题
甲的路程＋乙的路程=总路程
课堂小结
(共22张PPT)
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当堂练习
课堂小结
3.2 一元一次方程的应用
第3章 一次方程与方程组
第2课时 储蓄和销售问题
1.理解储蓄问题中本金、利率等数量关系；(重点）
2.理解商品销售中进价、售价、标价、折扣、利润、利润率等数量之间的关系.（重点）
3.会解决储蓄与销售问题.（难点）
满200返160
5折酬宾
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情境引入
讲授新课
储蓄问题中涉及的数量关系：
例1 王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行，年利率为5%.到期后得到本息共23000元，问当年王大伯存入银行多少钱？
解：设当年王大伯存入银行x元，年利率为5%，存期3年，所以3年的利息为3×5%x元.3年到期后本息共23000元.
根据题意，得 x+3×5%x=23000
解方程，得 x=20000
答：当年王大伯存入银行20000元.
合作探究
1.进价100元的商品提价40%后，标价为________元，若按标价的八折销售，则售价为________元，此商品的利润为________元，利润率是________.
2.某商品原价是a元，现在每件打九折销售，则此时的售价是 元.
3.一件商品打x折出售，就是用原价乘 .
140
112
12
0.9a
12％
填空：
思考：以上问题中有哪些量?
成本价(进价)；
标价 (原价)；
销售价；
利润；盈利；亏损；
利润率.
折扣率.
进价：购进商品时的价格（有时也叫成本价）.
售价：在销售商品时的售出价（有时称成交价，卖出价）.
标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价）.
利润：在销售商品的过程中的纯收入，利润＝售价–进价.
利润率：利润占进价的百分率，即：
利润率＝利润÷进价×100%.
概念学习
进价＋提价=标价
售价－进价（成本）=利润
理一理：打折促销活动中各个量与量之间有怎样的等量关系？
进价×利润率=利润
标价×折扣率=售价
打折或减价
标价
售价
进价
提价
利润、利润率
(1)某商品的进价为80元，在进价的基础上提高20%后
标价，则标价为 元.
(2)标价为500元的商品打9折后的售价为 元.
(3)某商品每件的销售利润是72元，进价是120元，则售
价是 元.
(4)某商品利润率为13%,进价为50元,则利润是 元.
(80＋80×20%)
（500×0.9）
（50×13%）
（120＋72）
96
450
6.5
192
做一做
总结归纳
= 商品售价—商品进价
●售价、进价、利润的关系式：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品进价
商品利润
×100%
●标价、折扣数、商品售价关系 :
商品售价＝
标价×
折扣数
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
打
折
销
售
A. 盈利
B. 亏损
C. 不盈不亏
你估计盈亏情况是怎样的？
例2 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?
￥60
￥60
思考：销售的盈亏决定于什么？
取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系
售价120 ＞ 总成本
售价120 ＜ 总成本
售价120 ＝ 总成本
盈 利
亏 损
不盈不亏
(2)设亏损25%的衣服进价是 y元，
依题意得 y－0.25y＝60
解得 y＝80
(1)设盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意得 x＋0.25 x＝60
解得 x＝48
解：
两件衣服总成本：x+y=48＋80＝128(元)
因为120－128＝－8(元)
所以卖这两件衣服共亏损了8元.
与你猜想的一致吗？
例3：一商店出售书包时，将一种双肩背的书包按进价提高30%作为标价，然后再按标价的9折出售，这样商品每卖出一个这种书包可盈利8.50元.问这种书包每个进价多少？
解：设每个书包进价为x元，那么这种书包的标价为(1+30%)x元，对它打9折得实际售价为
元.
根据题意，得
解方程，得 x=50.
答：这种书包每个进价为50元.
例4 一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售, 此时售价为60元. 请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？
解：设这件衣服的进价是x元，
则提价后的售价是(1＋25%)x 元，
促销后的售价是(1＋25%)x×0.8 元，
依题意得(1＋25%)x×0.8＝60
解得 x＝60
售价60=成本60
答：这家商店不盈不亏.
2.某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%, 则该商品的标价为 元.
3.我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在2015年涨价30%后，2017降价70%至a元，则这种药品在2015年涨价前价格为
元.
2722.5
当堂练习
1.某人存入银行2000元，定期一年，到期后得到利息和本金共2070元．若设该种储蓄的年利率为x。
列出方程： 年利率为：
2000(1＋x)＝2070
3.5%
4.李明以两种方式储蓄了5000元，一种方式储蓄的年利率为5%，另一种是4%，一年后得利息235元，问两种储蓄各存了多少元钱？
解:设年利率为5% 的储蓄了x元，则另一种年利率为4%的储蓄了(5000-x)元.
根据题意，得 x·5%×1+(5000-x)·4%×1=235.
解方程得 x=3500.
故： 5000-x=5000-3500=1500(元).
答：年利率为5%的储蓄了3500元，年利率为4%的储蓄了1500元.
5.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？
解:设商店最多可以打x折出售此商品,
根据题意，得
1500×x/10=1000×(1+5%)
解得 x=7
答:商店最多可以打7折出售此商品.
6.据了解个体商店销售中售价只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高出进价50%~100%标价，假若你准备买一双标价为600元的运动鞋，应在什么范围内还价？
答：应在480元~360元内还价.
高于进价50%标价 高于进价100%标价
进价 x元 y元
标价 (1＋50%)x (1＋100%)y
方程 (1＋50%)x＝600 (1＋100%)y＝600
方程的解 x＝400 y＝300
盈利价 400(1＋20%)＝480 300(1＋20%)＝360
课堂小结
一元一次方程的应用
等量关系
应用
利息=本金×利率×年数；
本息和=本金+利息.
利润=实际售价-进价（成本）
利润率=利润÷进价×100%.
银行储蓄问题
销售盈亏问题
