(共28张PPT)
3.3 二元一次方程组及其解法
第3章 一次方程与方程组
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第3课时 用加减法解二元一次方程组
1.会用加减法解二元一次方程组；（重点）
2.引导学生回顾二元一次方程（组）的概念，总结出二元一次方程组的一般步骤.（难点）
导入新课
观察与思考
信息一：
已知买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需23元；
信息二：
又知买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元.
解：设苹果汁的单价为x元，橙汁的单价为y元，
根据题意得
你会解这个方程组吗？
3x+2y=23
5x+2y=33
你是怎样解这个方程组的？
解：由①得
将③代入②得
③
解得：y=4
把y=4代人③ ，得x=5
所以原方程组的解为：
除代入消元，
还有其他方法吗？
讲授新课
问题：怎样解下面的二元一次方程组呢？
合作探究
问题：怎样解下面的二元一次方程组呢？
小亮
问题：怎样解下面的二元一次方程组呢？
小丽
按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
分析:①+②
①左边 + ② 左边 = ① 右边 + ②右边
3x+5y +2x － 5y＝10
5x=10
(3x+5y)
+ (2x-5y)
= 21
+ (－11)
小丽
5y和－5y互为相反数……
解方程组
解：
由①+②得:
将x=2代入①得：
6+5y=21
y=3
5x=10
x=2.
试一试
解：把 ①+②得: 18x＝10.8
x＝0.6
把x＝0.6代入①，得：
3×0.6+10y＝2.8
解得:y＝0.1
解方程组
方法总结
同一未知数的系数 时，
把两个方程的两边分别 ！
互为相反数
相加
例1 解下列二元一次方程组
典例精析
试一试
解方程组
解：
由②－①得:
将x=5代入①得：
15+2y=23
y=4.
2x=10
x=5.
方法总结
同一未知数的系数 时，
把两个方程的两边分别 ！
相等
相减
归纳总结
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法,简称加减法.
当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时,可以把方程的两边分别相加(系数互为相反数)或相减(系数相等)来消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解.
例1：解方程组：
要建立一个未知数系数的绝对值相等的，且与原方程组同解的新的方程组.
典例精析
解法一（消去x)
例2：解方程组：
解： ②×4得：
所以原方程组的解为
①
解方程组：
②
③
①＋③得：7x = 35，
解得：x = 5.
把x = 5代入②得，y = 1.
4x-4y=16
试一试
方法总结
同一未知数的系数______________________时，
利用等式的性质，
使得未知数的系数__________________.
不相等也不互为相反数
相等或互为相反数
归纳总结
主要步骤：
特点:
基本思路:
写解
求解
加减
二元
一元
加减消元:
消去一个元
分别求出两个未知数的值
写出原方程组的解
同一个未知数的系数相同或互为相反数
用加减法解二元一次方程组：
例3：已知 , 则a+b等于_____.
3
分析：方法一，直接解方程组，求出a与b的值，然后就可以求出a+b.
方法二：?+?得 4a+4b=12，
a+b=3.
【方法总结】解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用加减消元法求解．
例4：解方程组
解：由① + ②，得 4(x+y)=36
所以 x+y=9 ③
由① - ②，得 6(x-y)=24
所以 x-y=4 ④
解由③ 、④组成的方程组
可求得
【方法总结】通过整体代入法（换元法）是数学中的重要方法之一，往往能使运算更简便．
例5：解方程组
解：将原方程化简，得
③+④×5，得 17x=17550,x=650.
将x=650代入④，得
5×650+3y=3400，y=50.
当堂练习
2.方程组 的解是 ．
①
②
1. 用加减法解方程组
6x+7y=－19①
6x-5y=17，②
应用（ ）
A.①-②消去y
B.①-②消去x
C. ②- ①消去常数项
D. 以上都不对
B
3.解下列方程组
解：
拓展延伸
1.若 , 则x+2y= ______
2.已知2ayb3x+1与-3ax-2b2-2y是同类项，则x = ，y=__ _
-3
1
-1
的解，求m与n的值.
3.已知 是方程组
解二元一次方程组
基本思路“消元”
课堂小结
加减法解二元一次方程组的一般步骤
(共25张PPT)
3.3 二元一次方程组及其解法
第3章 一次方程与方程组
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 二元一次方程与二元一次方程组
1.理解二元一次方程（组）及其解的概念.(重点）
2.学会根据实际问题中的等量关系列二元一次方程组.（重点、难点）
导入新课
观察与思考
哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！
真的?！
讲授新课
情景1：设老牛驮了x个包裹 , 小马驮了y个包裹.你能根据它们的对话列出方程吗？
老牛的包裹数比小马的多2个;
老牛从小马的背上拿来1个包裹,就是小马的2倍.
x－y＝2
x＋1＝2(y－1)
情景2：某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45棵.已知樟树树苗每棵2元，白杨树苗每棵1元，购买这些树苗用了60元.问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？
2元/棵
1元/棵
问题1：情景2中有几个未知数？列一元一次方程能解吗？
想一想
未知数：樟树苗的数量、杨树苗的数量
解：设樟树苗买了x棵，花了2x元；白杨树苗买了(45-x)棵，花了(45-x)·1元.买树苗一共花了60元.
依据题意，得 2x+(45-x)·1=60.
解方程 得 x=15，45-x=30
答：樟树苗买了15棵，杨树苗买了30棵.
问题2：如果设两个未知数x,y,你能列出几个独立的方程？
设樟树苗买了x棵，白杨树苗买了y棵，根据两种树苗总数为45棵，得
x+y=45.
又根据购买树苗的总费用是60元，得
2x+y=60.
?
?
观察以上两个方程，它们与我们学过的一元一次方程有什么相同点和不同点？
上面所列方程各含有几个未知数?
含有未知数的项的次数是多少?
2个未知数
次数是1
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
x－y＝2 x＋y＝45
x＋1＝2(y－1) 2x＋y＝60
定义：
归纳总结
只含有1个未知(元)，未知数的次数为1；
比一比
x + y = 45.
x + 15 = 60
含有2个未知数(元)，未知数的次数为1；
一元一次方程
都是含未知数的等式方程
二元一次方程
练一练
判断下面哪些方程是二元一次方程.
不是，最高项次数为2；
不是，含有3个未知数
方程左边的式子不是整式
不是，是一元一次方程
是
注意：二元一次方程是整式方程；所含未知数有2个，所含未知数项的最高次数是“1”，这里要特别注意项的次数．
思考：观察情景2中列出的两个二元一次方程，它们之间有什么联系？
树苗总数关系
购买树苗总费用关系
x,y必须同时满足这两个关系，就是说它必须同时满足??两个方程.
联立在一起的几个方程，称为方程组；
有两个一次方程组成的含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组.
注 意
1.二元一次方程是整式方程；所含未知数有2个，所含未知数项的最高次数是“1”，这里要特别注意项的次数．
2.二元一次方程组中，两个方程都是一次的，方程组中含有两个未知数.
请问下列方程组是二元一次方程组吗？
三个未知数
练一练
√
√
√
例1 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，
则m＋n＝________．
典例精析
解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.
0
紧扣相关概念
C
解：设鸡有x只，兔有y只.根据头数、脚数可得二元一次方程组：
方法归纳：根据实际情境列二元一次方程组，一般要根据题目中的数量关系，选择两个未知数，将题中给出的数量关系表示成含有两个未知数的等式.
1.植树节这天有20位同学共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，请问男生、女生各有多少人？
解：设男生x人，女生y人
练习：设适当的未知数，列二元一次方程组.
根据题意可得方程组为：
2.如果甲数比乙数少3，甲数与乙数的和是15，求甲数与乙数.
解：设甲数为x，乙数为y.
根据题意可得方程组为：
当堂练习
答：（1）是；（2）不是，y出现在分母中；（3）不是，是二元二次方程；（4）x的最高次数是2，不是1；（5）是；（6）不是，是一元一次方程。
1
3.根据题意及题中给出的未知数，列二元一次方程组.
（1）设有x节车厢，y吨货物，若每节车厢装10吨，则还剩下12吨未装下，若每节车厢装12吨，则还剩下一节车厢.
（2）甲数与乙数之差为6，且甲数比乙数的 大10，设甲数为x,乙数为y.
（3）足球比赛中胜场积3分，平场积1分，负场积0分.中天队第12轮比赛战罢，输了3场，共积19分.设其胜了x场，平了y场.
课堂小结
二元一次方程组
二元一次方程
二元一次方程组
含有 未知数.
未知数最高次数为 .
方程两边都是 .
含有 未知数.
由两个 方程组成.
两个
1次
整式
一次
两个
(共23张PPT)
3.3 二元一次方程组及其解法
第3章 一次方程与方程组
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 用代入法解二元一次方程组
1.理解二元一次方程（组）解的意义，并检验一组解是不是某个二元一次方程组的解.
2.会用代入法解二元一次方程组.（重点、难点）
导入新课
问题引入
问题1：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得40分.这个队胜、负场数应分别是多少?
设他们胜场次数为x,负场数为y.根据题意得
昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元
每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，
设他们中有x个成人,y个儿童.根据题意得：
问题2：他们到底去了几个成人，几个儿童呢?
讲授新课
合作探究
有哪些值满足方程x+y=22且符合问题的实际意义？
x 0 1 2 … 18 … 22
y
x+y
22 21 20 … 4 … 0
22 22 22 … 22 … 22
若不考虑实际意义你还能再找出几个方程的解吗？
一般地，一个二元一次方程有无数个解.如果对未知数的取值附加某些限制条件，则可能有有限个解.
使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解
通常记作： ······
x+y=22
x 0 1 2 … 18 … 22
y
x+y
22 21 20 … 4 … 0
22 22 22 … 22 … 22
x 0 1 2 … 18 … 22
2x
y
2x+y
0 2 4 … 36 … 44
40 40 40 … 40 … 40
40 36 32 … 4 … /
不难发现x=18,y=4既是 x+y=22的解，也是2x+y=40
的解，也就是说它是这两个方程的公共解，我们把它们叫做方程组 的解.
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
怎么求x、y的值呢？
昨天,我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元.
每张成人票5元,每张儿童票3元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢?
还记得下面这一问题吗?
设他们中有x个成人，y个儿童.
5x+3(8-x)=34
x+y=8，
5x+3y=34
解：设去了x个成人，则去了(8－x)个儿童，根据题意，得：
解得：x=5.
将x=5代入
8－x=8－5=3.
答：去了5个成人， 3个儿童.
解：设去了x个成人，去了y个儿童，根据题意，得：
观察:二元一次方程组和一元一次方程有何联系？这对你解二元一次方程组有何启示？
y=8-x
由①得：y = 8－x. ③
将③代入②得：
5x+3(8－x)=34.
解得：x = 5.
把x = 5代入③得：y = 3.
x+y=8①
5x+3y=34②
x+y=8
5x+3y=34
5x+3(8-x)=34
第一个方程x+y=8
说明y=8-x
将第二个方程5x+3y=34的y换成8-x
解得x=5
代入y=8-x
得y=3
二元一次方程组
一元一次方程
消 元
转 化
消除其中一个未知数，将二元一次方程组转化成解一元一次方程的想法，叫做消元思想.
归纳总结
从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解.这种方法称为代入消元法，简称代入法.
典例精析
将y=1代入② ，得 x=4.
经检验， x=4，y=1适合原方程组.
所以原方程组的解是
解：将②代入①，得 3(y+3)+2y=14
3y +9+2y =14
5y=5
y=1.
例1：解方程组
3x+2y=14 ①
x=y+3 ②
检验可以口算或在草稿纸上验算，以后可以不必写出.
将y=13代入③ ，得 x=-23.
所以原方程组的解是
解：由②，得 x=3-2y ③
将③代入①，得 2（3 - 2y）+3y=-7
-y=-13
y=13
1.将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；
变
代
2.用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
求
3.把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值；
写
4.写出方程组的解.
由①直接代入②
下列各方程组中，应怎样代入消元？
由①得y=7x –11 ③
将③代入②
小技巧： 用代入法时，往往对方程组中系数为1的未知数所在的方程进行变形代入.
练一练
例3：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到35分，那么这个队胜负场数分别是多少？
解：设胜的场数是x，负的场数是y,可列方程组
由①得 y=20-x . ③
将③代入②,得 2x+20-x=35 .
解得 x=15.
将 x=15代入③得y=5.则这个方程组的解是
①
②
1.二元一次方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D.
D
当堂练习
y=2x
x+y=12
(1)
(2)
2x=y-5
4x+3y=65
解：
(1)
x=4
y=8
(2)
2.解下列方程组.
x=5
y=15
3.根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g），两种产品的销售数量（按瓶计算）的比为2:5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应该分装x瓶大瓶、y瓶小瓶。
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
答：这些消毒液应分装20000瓶大瓶，50000瓶小瓶.
小技巧：当相同未知数的系数成倍数关系时，我们常用整体代入法会使解法更加快捷简便！
解二元一次方程组
基本思路“消元”
课堂小结
代入法解二元一次方程组的一般步骤
变：用含一个未知数的式子表示另一个未知数
代：用这个式子替代另一个方程中相应未知数
求：求出两个未知数的值
写：写出方程组的解
