课件16张PPT。12.5 因式分解第1课时 因式分解因式分解的定义
因式分解与整式乘法关系的关系1知识点因式分解的定义回 忆运用前面所学的知识填空:
(1)m(a+b+c) =_____________;
(2)(a+b)(a-b) = ____________;
(3)(a+b)2 =______________. 试一试观察上面三个等式，填空：
ma + mb + mc =( )( );
a2 - b2 =( )( );
a2 + 2ab + b2 =( )2.“回忆”和“试一试”得到的这两组等式，有什么联系和区别？因式分解的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多
项式的因式分解，也叫做多项式的分解因式．
要点精析：研究的对象是多项式，结果是整式的积
的形式． 例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A．a2＋1＝a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
导引：紧扣因式分解的定义进行判断．因为 不是整式，所以
a2＋1＝a 不是因式分解，故A错误；因为(x＋1)(x
－1)＝x2－1不是和差化积，因此不是因式分解，而是
整式乘法，B错误；因为a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1，
结果不是积的形式，因此不是因式分解，C错误；x2y＋
xy2＝xy(x＋y)，符合因式分解的定义，因此是因式分
解，D正确．D总 结(1)因式分解的结果不是整式的积的形式；
(2)分解不彻底；
(3)因式分解走回头路．1 (中考·海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
2 下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A．6a2b2＝3ab·2ab
B． a－ ay＝ a(1－y)
C．2x2＋8x－1＝2x(x＋4)－1
D．(x＋1)(x－1)＝x2－1下列各式从左边到右边的变形：①15x2y＝3x·5xy；
②(x＋y)(x－y)＝x2－y2；③x2－2x＋1＝(x－1)2；
④x2－3x＋1＝x，其中是因式分解的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2知识点因式分解与整式乘法关系的关系还记得整数的因数分解与乘法之间的关系吗？整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是
和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式 整式乘积的形式若一个多项式分解因式的结果为(a＋2)(a－3)，则这个
多项式为________．
2 因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解
为_________．
(中考·株洲)把多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋
n)，则m＝________，n＝________.
4 若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么 这个多项式是( )
A．b6－4 B．4－b6 C．b6＋4 D．－b6－4
6 (中考·常德)下列因式分解正确的是( )
A．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
B．(x2－4)x＝x3－4x
C．ax＋bx＝(a＋b)x
D．m2－2mn＋n2＝(m＋n)27 (中考·眉山)下列因式分解错误的是( )
A．x2－y2＝(x＋y)(x－y) B．x2＋6x＋9＝(x＋3)2
C．x2＋xy＝x(x＋y) D．x2＋y2＝(x＋y)2
(中考·甘肃)已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为
2(x－3)(x＋1)，则b，c的值为( )
A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝－4 D．b＝－4，c＝－6如图①，在边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的小正
方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个长方形，如图②，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，这个等式是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b21.因式分解与整式乘法是一个互逆过程：
即：
2．因式分解必须做到两点：
(1)结果必须是因式的积的形式；
(2)每个因式是整式且不能再分解．课件17张PPT。12.5 因式分解第2课时 提公因式法公因式的定义
提公因式法分解因式1知识点公因式的定义试一试(1)ma+mb+mc=m(a+b+c)中m的特点. 公因式的定义：多项式中的每一项都含有一个相同
的因式，我们称之为公因式．
要点精析：公因式必须是多项式中每一项都含有的
因式．例1 指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y；(2) xy3－ x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
解：(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；有
相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式是3y.
(2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是27，
分子的最大公约数是4，所以公因式的系数是 ；两
项都有x，y，且x的最低次数是1，y的最低次数是2，
所以公因式是 xy2.(3)观察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，所以公
因式是(x－y)2.
(4)此多项式的第一项是“－”，应将“－”提取变为－(27a2b3－
36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－36a3b2－9a2b各项系数的最
大公约数是9；各项都有a，b，且a的最低次数是2，b的最低
次数是1，所以这个多项式各项的公因式是－9a2b.总 结找准公因式要“五看”，即：一看系数：若各项系数都
是整数，应提取各项的系数的最大公约数；二看字母：
公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的次数：
各相同字母的指数取次数最低的；四看整体：如果多
项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，不要拆
开；五看首项符号，若多项式中首项是“－”，一般
情况下公因式符号为负．1 多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是( )
A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
2 15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( )
A．5ab(b－a) B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a) D．以上均不正确
观察下列各组式子：①2a＋b和a＋b；②5m(a－b)和
－a＋b；③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.其中有公因式的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④2知识点提公因式法分解因式提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取
出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形
式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
要点精析：(1)提公因式法实质上是逆用乘法的分配律．
(2)提公因式法的一般步骤：第一步找出公因式；第二步
确定另一个因式；第三步写成积的形式．例2 把下列多项式分解因式:
(1)-5a2 +25a；(2)3a2 -9ab.
解： (1) -5a2+25a
=-5a(a - 5).
(2)3a2 -9ab
=3a(a-3b). 例3 下面用提公因式法分解因式的结果是否正确？说明理
由．若不正确，请写出正确的结果．
(1)3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)；
(2)4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；
(3)x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]．
导引：(1)中括号内的多项式还有公因式，没有分解完；(2)中
漏掉了商是“1”的项；(3)中(a－b)3与(b－a)3是不同的，
符号相反，另外中括号内没有化简．解：(1)不正确，理由：公因式没有提完全；正确的是：3x2y－
9xy2＝3xy(x－3y)．
(2)不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数项
“1”；正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．
(3)不正确，理由：(a－b)3与(b－a)3不一样，应先统一，
且因式是多项式时要最简；正确的是：x(a－b)3(a＋b)－
y(b－a)3＝x(a－b)3(a＋b)＋(a－b)3y＝(a－b)3[x(a＋b)＋y]
＝(a－b)3(ax＋bx＋y)．总 结提公因式法分解因式，要注意分解彻底；当某项恰好
是公因式时，提取公因式后要用“1”把守；出现形如
(b－a)3，(b－a)2等形式的问题，可化成－(a－b)3，(a
－b)2的形式，即指数是奇数时要改变符号，指数是
偶数时不改变符号，简言之：奇变偶不变．例4 用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)4x2y3＋8x2y2z－12xy2z；(2)－a2b3c＋2ab2c3－ab2c；
(3)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3.
导引：运用提公因式法分解因式的第一步是确定公因式，公因
式可以是单项式，也可以是多项式；第二步是提取公因
式，其中(2)题应先提出“－”号，(3)题可把(2y－x)3化为
－(x－2y)3.
解：(1)原式＝4xy2(xy＋2xz－3z)；
(2)原式＝－(a2b3c－2ab2c3＋ab2c)＝－ab2c(ab－2c2＋1)；
(3)原式＝5x(x－2y)3＋20y(x－2y)3＝5(x－2y)3(x＋4y)．总 结准确地找出公因式是分解因式的关键，(3)题将(x－
2y)3和(2y－x)3化成同底数幂时，要注意符号的变化．2x(－x＋y)2－(x－y)3分解因式应提取的公因式
是( )
A．－x＋y B．x－y
C．(x－y)2 D．以上都不对
2 (中考·邵阳)把2a2－4a因式分解的最终结果是( )
A．2a(a－2) B．2(a2－2a)
C．a(2a－4) D．(a－2)(a＋2)公因式的确定方法：(1)系数：取各项系数的最大公
约数；(2)字母：取各项都含有的字母；(3)指数：取
相同字母的最低次数．公因式可以是单项式，包括
单独的一个数，一个字母，也可以是多项式．
注意：分解因式时，第一项的系数是负数时可先提
“－”号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因
式后剩余项为1，注意不要漏项．课件14张PPT。12.5 因式分解公式法——平方差公式直接用平方差公式分解因式
先提公因式再用平方差公式分解因式 1知识点直接用平方差公式分解因式a2–b2=____________.(a+b)(a-b) 平方差公式法：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
即：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
要点精析：
(1)公式特点：公式的左边是一个二项式，都能写成平方形式且
符号相反；公式的右边是两个二项式的积，其中一个二项式
是两个底数的和，另一个二项式是两个底数的差．
(2)它是乘法公式中的平方差公式逆用的形式．
拓展：平方差公式法中的字母a，b可以是一个单项式或一个
多项式． 例1 把多项式分解因式： 25x2-16y2.
解：25x2-16y2
=(5x)2 - (4y)2
=(5x+4y)(5x - 4y).
例2 分解因式：(1)9a2－4b2；(2)x2y－4y；
(3)(a＋1)2－1；(4)x4－1；(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
导引：对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平方差
公式法分解因式；对于(2)可先提取公因式，再利
用平方差公式法分解因式；对于(3)将(a＋1)视为一
个整体运用平方差公式法分解因式；对于(5)分别
将(x＋y＋z)与(x－y＋z)视为整体，运用平方差公
式法进行分解因式．(1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)；
(2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)；
(3)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)；
(4)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)；
(5)原式＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－(x－y＋z)]
＝(x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z)
＝2y(2x＋2z)＝4y(x＋z)．解：总 结(1)运用平方差公式法分解因式的关键是确定公式法
中的a和b，再运用公式法进行因式分解；对于有
公因式的多项式，需要先提取公因式后再用平方
差公式法分解因式，同时分解因式要进行到每一
个因式都不能再分解为止．
(2)注意：运用平方差公式法分解因式，最后的结果
除了要求不能再分解因式外，还要注意使每个因
式最简．1 下列各式中，可用平方差公式分解因式的有( )
①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2 (中考·仙桃)将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－1) B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k
等于( )
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数2知识点先提公因式再用平方差公式分解因式用平方差公式法分解因式时，若多项式有公因式，
要先提取公因式，再用平方差公式法分解因式．例3 把多项式分解因式： 3x3-12xy2.
解： 3x3-12xy2
=3x(x2-4y2)
=3x[x2-(2y)2]
=3x(x+2y) (x-2y). 例4 若a为正整数，试说明：(2a＋1)2－1能被8整除．
导引：先利用因式分解化为积的形式，再说明是否是8的倍数．
解：(2a＋1)2－1
＝(2a＋1＋1)(2a＋1－1)
＝2a(2a＋2)
＝4a(a＋1)．
因为a为正整数，所以a，a＋1为相邻的两个正整数，其中必有
一个偶数，从而有一个为2的倍数，故4a(a＋1)为8的倍数．
故(2a＋1)2－1能被8整除．1 (中考·广东)把x3－9x分解因式，结果正确的是( )
A．x(x2－9) B．x(x－3)2
C．x(x＋3)2 D．x(x＋3)(x－3)
(中考·台州)把多项式2x2－8分解因式，结果正确的
是( )
A．2(x2－8) B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x应用平方差公式分解因式的注意事项：
(1)等号左边：
①等号左边应是二项式；
②每一项都可以表示成平方的形式；
③两项的符号相反．
(2)等号右边是等号左边两底数的和与这两底数的差的积．课件16张PPT。12.5 因式分解公式法——完全平方公式完全平方式的特征
用完全平方公式分解因式
先提公因式再用完全平方公式分解因式 1知识点完全平方式的特征完全平方式：形如a2±2ab＋b2的式子叫做完全平方式．
即：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2
倍的式子是完全平方式．例1 将多项式x4＋4加上一个整式，使它成为完全平方式，
请写出满足上面条件的三个整式．
导引：添加的整式可以从中间项考虑或尾项考虑或首项考虑
进行添加，使添加后的多项式成为完全平方式即可．
解：添加中间项可得，x4＋4x2＋4，x4－4x2＋4是完全平方式；
添加尾项可得，x4＋4－4是完全平方式；
添加首项可得，－x4＋x4＋4， x8＋x4＋4是完全平方式；
因此，满足条件的整式有许多，可在＋4x2，－4x2，－4，
－x4， x8中任写三个就行．?1 (中考·龙岩)下列各式中能用完全平方公式进行因式
分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋9
2 已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为( )
A．8 B．±8 C．24 D．±24
给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全
平方式，则加上的单项式是：____________．(写出一个即可)2知识点直接用完全平方公式分解因式a2+2ab+b2=_________.(a+b)2完全平方公式法：
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这
两个数的和(或差)的平方．
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
要点精析：(1)完全平方公式法的结构：等式的左边是一个完
全平方式，右边是这两个数和(或差)的平方．
(2)是整式乘法中的两数和(差)的平方公式的逆用，在整式乘
法中能写成两个数的和(或差)的平方，结果一定是完全平
方式，而在因式分解中，每一个完全平方式都能因式分解．
拓展：完全平方公式法中的字母a，b可以是一个单项式或
一个多项式． 例2 把多项式分解因式： x2+4xy+4y2.
解： x2+4x y+4y2
=x2+2 ? x ? 2y + (2y)2
=(x +2y)2. 例3 分解因式：
(1)a2＋ab＋ b2；(2)－2x3y＋4x2y－2xy；
(3)(a－b)2－6(b－a)＋9；(4)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
导引：对于(1)可直接运用完全平方公式法分解因式；对于(2)
先提取公因式－2xy后，再运用完全平方公式法进行因
式分解；对于(3)可将(b－a)化为－(a－b)后，再运用完
全平方公式法进行因式分解；对于(4)可视(x2－2x)为一
个整体，再运用完全平方公式法进行因式分解．解：(1)原式＝a2＋2×a× b＋
(2)原式＝－2xy(x2－2x＋1)＝－2xy(x－1)2；
(3)原式＝(a－b)2＋6(a－b)＋9
＝(a－b)2＋2(a－b)×3＋32＝(a－b＋3)2；
(4)原式＝(x2－2x)2＋2(x2－2x)×1＋12＝(x2－2x＋1)2
＝[(x－1)2]2＝(x－1)4.
1 因式分解4－4a＋a2，正确的结果是( )
A．4(1－a)＋a2 B．(2－a)2
C．(2－a)(2＋a) D．(2＋a)2
2 把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)23知识点先提公因式再用完全平方公式分解因式用完全平方公式法分解因式时，若多项式中
各项有公因式，要先提取公因式，再用完全
平方公式法分解因式．例4 把多项式分解因式： 4x3y-4x2y2+xy3.
解： 4x3y-4x2y2+xy3
=xy(4x2-4xy+y2)
=xy(2x -y)2.例5 已知a－2b＝ ，ab＝2，求－a4b2＋4a3b3－
4a2b4的值．
导引：利用完全平方公式法将－a4b2＋4a3b3－4a2b4分
解因式，再把条件代入可求值．
解：依题意，得：
原式＝－a2b2(a2－4ab＋4b2)＝－(ab)2(a－2b)2；
当a－2b＝ ，ab＝2时，
原式＝－22× ＝－4× ＝－1.1 (中考·毕节)下列因式分解正确的是( )
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)
B．x2－x＋
C．x2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
(中考·宜宾)把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，
结果正确的是( )
A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)·(x－2) D．3x(x－2)2因式分解的一般方法：
(1)先观察多项式各项是否有公因式，有公因式的要先
提公因式．
(2)当多项式各项没有公因式时，观察多项式是否符合
平方差公式或完全平方公式的特征，若符合则利用
公式法分解．
(3)当用上述方法不能直接分解时，可将其适当地变形
整理，再进行分解．
(4)每个因式必须分解到不能再继续分解为止．
