12.4 整式的除法 学案（无答案）

12.4整式的除法
课前知识管理
整式的除法是以同底数幂的除法为基础的，主要涉及单项式除以单项式，多项式除以单项式两种情况.其运算法则是：
（1）单项式相除，把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
例如：
特点：单项式÷单项式同底数幂相除
注意：单项式除以单项式的运算中要防止以下错误：（1）漏掉被除式中单独含有的字母；（2）当式子中含有的字母指数为l时，错误地认为其指数为零；（3）在运算过程中将指数的运算弄错. （将指数相除，正确的为指数相减）
（2）多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。即
(am+bm+cm)÷m＝am÷m+bm÷m+cm÷m.
例如：
特点：多项式÷单项式单项式÷单项式
注意：多项式除以单项式的运算中要防止以下错误：（1）在用多项式的每一项除以单项式时容易出现符号错误；（2）在运算过程中容易出现漏除现象.
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典例精析：
知识点1：单项式除以单项式
例1 计算.
【解题思路】按照由高级到低级的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，特别要注意系数的符号.
【解】解：原式＝.
【方法归纳】运用法则计算时，要注意：（1）不要忽略原来省略的指数1；（2）不要忽略仅在被除式里单独含有的字母；（3）有乘、除、乘方混合运算的要按照运算顺序进行计算．
对应练习：已知，求m.
知识点2：单项式除法的应用
例2、下雨时,常常是“先见闪电,后闻雷鸣”,这是由于光速比声速快的缘故.已知光在空气中的传播速度约为3×108米/秒，而声音在空气中的传播速度约为3.4×102米/秒.请计算一下, 光速是声速的多少倍?（保留两个有效数字）
【解题思路】本题是一道与光速和声速有关的计算问题.要计算光速是声速的多少倍，只要用光的速度除以声音的速度即可,可依据单项式除以单项式的法则进行计算.
【解】（3×108）÷(3.4×102)=（3÷3.4）×108-20.88×106=8.8×105(倍).
答:光速约是声速的8.8×105倍.
【方法归纳】解决这类题目时,注意把除数3.4×102用括号括起来,把3和3.4当作单项式的系数,按照单项式除以单项式的法则进行计算,即把系数和同底数的幂分别相除.
对应练习：太阳系以外离地球最近的恒星是比邻星，它与地球的距离是3.6×1013km，光速是3×105km/s，如果一年按3×107s计算，从比邻星发出的光经过多长时间才能到达地球？
知识点3：多项式除以单项式
例3、计算÷.
【解题思路】多项式除以单项式转化为单项式除以单项式的过程，各项的符号是易出错的地方.
【解】原式＝.
【方法归纳】多项式除以单项式的关键是“转化”，即把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
对应练习：计算．
知识点4：整式的混合运算
例4、化简
【解题思路】当被除式较复杂时，应先化简，注意复习完全平方公式.
【解】=
=.
【方法归纳】本题是较为复杂的综合题，要先按照运算顺序，把括号内较复杂的算式转化为较简单的多项式，然后再按照多项式除以单项式的法则进行计算.
对应练习：如果，求代数式的值.
知识点5：创新应用题
例5 已知关于的三次三项式，除以所得的商为，余式为，求，，的值.
【解题思路】根据被除式、除式、商式和余式的关系：被除式＝除式×商式＋余式，再利用两个多项式相等，即它们对应项的系数相等，求出，，的值
【解】
. 对照比较，得，，. [来源:学科网ZXXK]
解得＝1，＝1，＝－3.
【方法归纳】利用乘法和除法互为逆运算的关系求解.
对应练习：图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？（单位：cm）.
知识点6：运用整体思想解题
例6、计算．
【解题思路】本题切不可将等展开，而应将或看成一个整体，并将各幂的底数统一转化成或的形式，这样有利于应用多项式除以单项式的运算法则来进行运算[来源:学科网]
【解】原式
【方法归纳】当底数相反时，要首先将底数化为相同，一般有：当为偶数时，.当为奇数时，，如；．
对应练习：
易错警示
例7　计算:＝　　　　　　　.
错解: 或.
错解分析：系数处理上出了问题.其实,单项式与单项式相除,应用被除式的系数与除式的系数相除,并将所得的结果作为商的系数.此时,要特别注意系数应包括单项式前面的符号.
正解:原式＝.
例8　计算:＝　　　　　　　.
错解: .
错因分析：结果中遗漏了因式.其实,当被除式里含有单独的字母时,应将该字母及其指数,作为商的一个因式,不要遗漏.
正解：原式=.
例9 计算:(1);　　　(2)
错解:(1)常误解为:原式=;(2)常误解为:原式＝
错因分析：这两题的错误原因均是把运算顺序弄错了,(1)误认为相同的两个单项式可以先相除;(2)误认为与可以先相乘,这样做似乎还可以达到简化运算的效果.其实,应注意乘法运算有结合律,即:,而除法运算是没有结合律的,即是错误的.此时,只能从左到右依次计算.
正解： (1)原式=;(2)原式＝
例10　计算: .
错解: 原式.
错因分析：将这一项漏掉了.其实,多项式除以单项式,先把多项式各项分别除以这个单项式,然后把所得的商相加,注意不能漏除.
正解：原式=.
课堂练习评测[来源:Zxxk.Com]
知识点1：单项式除以单项式法则的运用
1、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、__________.
知识点2：逆用单项式除以单项式法则
3、如果，求的值.
4、已知，，求的值.
知识点3：单项式除以单项式法则的实际应用
5、一种被污染的液体每升含有2．4×1013个有害细菌,为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死4×1010个此种细菌,要将1升液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少毫升?(注:15滴=1毫升)
知识点4：多项式除以单项式法则
6、已知多项式能被整除，且商式是，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
知识点5：逆用多项式除以单项式法则
7、（1）已知一个多项式与单项式的积为，则这个多项式为 .
（2）已知一个多项式除以多项式所得的商式是，余式是，则这个多项式为 .
课后作业练习
基础训练：
给出下列计算：①；
②；
③；④.其中计算错误的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、下列计算中，正确的有（ ）
① ；②； ③； ④。
A、①② B、①③ C、②③ D、②④
3、计算，其结果正确的是（ ）
A、2 B、0 C、1 D、2
4、在①； ② ； ③； ④中，结果为的有（ ）
A、① B、①② C、①②③④ D、①②④
5、若为正整数，则（ ）
A、 B、0 C、 D、
6、已知，则、的取值为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、（ ）.
8、计算下列各题：⑴

⑵
⑶

⑷
⑸

9、已知一长方体水箱可装的水，已知水箱高为，则水箱的占地面积为 （水箱的厚度忽略不计）.
提高训练：
10、如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（　　）
A．2m+3　　　　 B．2m+6 C．m+3 D．m+6
11、如果，求代数式的值.
12、化简，再求值：，其中
13、已知一个多项式与单项式的积为，求这个多项式.
14、随着科学技术的进步，太阳能这种能源因其洁净、环保、低耗而日益得到普及应用，已知燃烧1千克煤能释放千焦的热，而1平方米面积的太阳能一年内从太阳得到的能量约为千焦，那么一个3米长，1米宽的太阳能集热器每年从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？
15、计算下列各题：（1）

（2）
（3）
（4）
16、有A、B两架飞机，飞行600km所用的时间分别为h和h，已知声音在空气中传播的速度大约是3×102m/s，计算一下这两架飞机的飞行速度，其中有“超音速飞机”吗？如果有，是哪一架？
17、阅读下列这段话，并解决后面的问题：
观察下面一段数：1，2，4，8，……我们发现这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2。一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。
⑴等比数列5， 15，45，……的第4项是___________。
⑵如果一列数，，，，……是等比数列，且公比为，那么根据上述的规定，有，，，……，所以，，，……，___________（用与的代数式表示）
⑶一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项。