11.1.2 三角形的高、中线与角平分线学案(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学八年级上册同步学案
第十一章　三角形
11.1　与三角形有关的线段
11.1.2　三角形的高、中线与角平分线
要 点 讲 解
要点一　三角形的高
定义：从三角形的—个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
三角形的高的几何表达形式是：如图所示，AD是△ABC的边BC上的高或AD是△ABC的高或AD⊥BC于点D或∠BDA＝∠CDA＝90°.
1. 三角形的高是一条线段.
2. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形内部，它们的交点是直角顶点.
要点二　三角形的中线
定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
三角形的中线的几何表达形式是：如图所示，AD是△ABC的BC边上的中线或AD是△ABC的中线或BD＝CD＝BC.
1. 三角形的中线是一条线段.
2. 三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形.
3. 三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
经典例题1　如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长.
解：设AB＝AC＝2x，则AD＝CD＝x.
(1)当AB＋AD＝15，BC＋CD＝6时，有2x＋x＝15，所以x＝5，2x＝10，BC＝6－5＝1.
(2)当BC＋CD＝15，AB＋AD＝6时，有2x＋x＝6，所以x＝2，2x＝4，BC＝13.因为4＋4<13，所以不能组成三角形，故三角形的腰长为10，底边长为1.
要点三　三角形的角平分线
定义：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的几何表达形式是：如图所示，AD是△ABC的角平分线或∠BAD＝∠CAD＝∠BAC且点D在BC上或AD平分∠BAC交BC于D.
1. 三角形的角平分线是线段，而一个角的平分线是一条射线.
2. 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点.
易错易混警示　对三角形的高的概念掌握不好，导致出错
经典例题2　已知在钝角△ABC中，∠A为钝角，作出钝角△ABC边AC上的高BD.
解析：由于在钝角△ABC中，∠A为钝角，所以应延长△ABC的边CA，过点B作CA的垂线，交CA的延长线于点D，才能作出△ABC的高BD.在此，由于对钝角三角形的高的位置不熟悉，容易画出如图甲①、②、③所示的所谓的“高”.
解：如图乙所示，图中的线段BD就是钝角△ABC中AC边上的高.
甲 乙
当 堂 检 测
1. 过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是(　　)
A B C D
2. 若AD是△ABC的中线，则下列结论中错误的是(　　)
A. AB＝BC　　 B. BD＝DC
C. AD平分BC　 D. BC＝2DC
3. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是(　　)
A. BD是△ABC的角平分线 B. CE是△BCD的角平分线
C. ∠3＝∠ACB D. CE是△ABC的角平分线

第3题 第4题
4. 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB＝2 ，BD＝ ，AE＝ .
5. 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1＝ ，∠3＝ ，∠ACB＝2 .

6. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，若BC＝10，AC＝8，BE＝，求AD的长.
7. 在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求△ABC的各边长.
当堂检测参考答案
1. A 2. A 3. D
4. AF或BF CD或BC AC
5. ∠2或∠BAC ∠ABC ∠4或∠ACF
6. 解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴S△ABC＝·BC·AD＝·AC·BE.∴BC·AD＝AC·BE.又∵BC＝10，AC＝8，BE＝，∴10AD＝8×.∴AD＝6.8.
7. 解：设AB＝xcm，则AD＝CD＝xcm.
(1)如图①，若AB＋AD＝12cm，则x＋x＝12，解得x＝8，即AB＝AC＝8cm，则CD＝4cm.故BC＝15－4＝11(cm).此时AB＋AC>BC，三角形存在.所以三边长分别为8cm，8cm，11cm.　
(2)如图②，若AB＋AD＝15cm，则x＋x＝15.解得x＝10，即AB＝AC＝10cm，则CD＝5cm.故BC＝12－5＝7(cm).显然此时三角形存在，所以三边长分别为10cm，10cm，7cm.综上所述，△ABC的三边