5.1 认识一元一次方程
第1课时 一元一次方程
1.通过现实生活中的例子，体会方程的意义，领悟一元一次方程的概念，并会进行简单的辨别.
2.初步学会确定实际问题中的等量关系，设出未知数，列出方程.
一、情境导入
小明家买了一台电视机，如图是一个长方体的电视机包装箱，它的底面宽为1米，长为1.2米，且包装箱的表面积为6.8平方米.同学们，你能帮小明算出这个电视机包装箱的高吗？
二、合作探究
探究点一：一元一次方程
【类型一】 一元一次方程的识别
下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A.2x＋3y＝5 B.x2－x＋2＝0
C.3x－5＝4x＋1 D.－x＝1
解析：紧扣一元一次方程的概念，A中含有两个未知数；B中未知数的最高次数是2；D中分母含有未知数.故选C.
方法总结：识别一个方程是否为一元一次方程，不能仅以未知数的个数和次数去判断，必须先化简保证未知数的系数不为0.
【类型二】 利用一元一次方程的概念求字母指数的值
方程（m＋1）x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程，则（ ）
A.m＝±1 B.m＝1
C.m＝－1 D.m≠－1
解析：由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足指数为1，系数不等于0，所以
m＋1≠0，))解得m＝1.故选B.
方法总结：解决此类问题要明确：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程.据此可求方程中字母的值.
探究点二：检验方程的解
检验下列各数是不是方程5x－2＝7＋2x的解，并写出检验过程.
（1）x＝2； （2）x＝3.
解析：将未知数的值代入，看左边是否等于右边，即可判断是不是方程5x－2＝7＋2x的解.
解：（1）将x＝2代入方程，左边＝8，右边＝11，左边≠右边，故x＝2不是方程5x－2＝7＋2x的解；
（2）将x＝3代入方程，左边＝13，右边＝13，左边＝右边，故x＝3是方程5x－2＝7＋2x的解.
方法总结：检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等.
探究点三：由实际问题抽象出一元一次方程
某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元.该店在“6·1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（ ）
A.1.2×0.8x＋2×0.9（60＋x）＝87
B.1.2×0.8x＋2×0.9（60－x）＝87
C.2×0.9x＋1.2×0.8（60＋x）＝87
D.2×0.9x＋1.2×0.8（60－x）＝87
解析：设铅笔卖出x支，根据“铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元”，得出等量关系：x支铅笔的售价＋（60－x）支圆珠笔的售价＝87，据此列出方程为1.2×0.8x＋2×0.9（60－x）＝87.故选B.
方法总结：解题的关键是读懂题意，设出未知数，找到题目当中的等量关系，最后列方程.
三、板书设计
教学过程中，通过对多种实际问题情境的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义，通过观察、归纳一元一次方程的概念，使学生在分析实际问题情境的活动中体会数学与现实的密切联系.
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第2课时 等式的基本性质
1.理解等式的基本性质.
2.能用等式的基本性质解方程.
一、情境导入
如图是一架天平，天平两边的物体m＝n，现在想在天平的两边各放5g的砝码，请问，此时的天平还会平衡吗？
二、合作探究
探究点一：等式的性质
已知m＝n，则下列等式不成立的是（ ）
A.m－1＝n－1 B.－2m－1＝－1－2n
C.＋1＝＋1 D.2－3m＝3n－2
解析：由等式的基本性质1，在等式两边同时减去1，结果仍相等，A成立；在等式两边同时乘以－2，得－2m＝－2n，两边再同时加上－1，结果仍相等，B成立；在等式两边同时除以3，得＝，两边再同时加上1，结果仍相等，C成立；只有D不成立.故选D.
方法总结：对等式进行变形，必须在等式的两边同时进行，即同加或同减，同乘或同除，不能漏掉一边，且同加或同减，同乘或同除的数必须相同.
探究点二：利用等式的基本性质解方程
用等式的性质解下列方程：
（1）4x＋7＝3； （2）x－x＝4.
解析：（1）在等式的两边都减7，再在等式的两边都除以4，可得答案；（2）在等式的两边都乘以6，再合并同类项，可得答案.
解：（1）方程两边都减7，得4x＝－4.方程两边都除以4，得x＝－1；
（2）方程两边都乘以6，得3x－2x＝24，x＝24.
方法总结：解方程时，一般先将方程变形为ax＝b的形式，然后再变形为x＝c的形式.
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察、操作、归纳等数学活动，感受数学思想的条理性和数学结论的严密性.
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5.2 求解一元一次方程
第1课时 利用移项与合并同类项解一元一次方程
1.进一步熟悉利用等式的基本性质解一元一次方程的基本过程.
2.通过具体实例归纳出移项法则.
3.会用移项法则解方程.
一、情境导入
小马虎解方程2x＋7＝－2x＋7按如下步骤：
第一步：两边都减去7，得2x＝－2x.
第二步：两边都除以x，得2＝－2.
你认为他解得对吗？如果错了，那又错在哪里呢？
二、合作探究
探究点一：移项法则
通过移项将下列方程变形，正确的是（ ）
A.由5x－7＝2，得5x＝2－7
B.由6x－3＝x＋4，得3－6x＝4＋x
C.由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8
D.由x＋9＝3x－1，得3x－x＝－1＋9
解析：A中由5x－7＝2，得5x＝2＋7，故选项A错误；B中由6x－3＝x＋4，得6x－x＝3＋4，故选项B错误；C中由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8，故选项C正确；D中由x＋9＝3x－1，得3x－x＝9＋1，故选项D错误.故选C.
方法总结：（1）所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这个方程的一边变换两项的位置.（2）移项时要变号，不变号不能移项.
探究点二：利用移项法则解方程
解下列方程：
（1）－x－4＝3x； （2）5x－1＝9；
（3）－4x－8＝4； （4）0.5x－0.7＝6.5－1.3x.
解析：通过移项、合并同类项、系数化为1的方法解答即可.
解：（1）移项得－x－3x＝4，
合并同类项得4x＝4，
系数化成1得x＝－1；
（2）移项得5x＝9＋1，
合并同类项得5x＝10，
系数化成1得x＝2；
（3）移项得－4x＝4＋8，
合并同类项得－4x＝12，
系数化成1得x＝－3；
（4）移项得1.3x＋0.5x＝0.7＋6.5，
合并同类项得1.8x＝7.2，
系数化成1得x＝4.
方法总结：将所有含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1.特别注意移项要变号.
探究点三：列一元一次方程解应用题
把一批图书分给七年级某班的同学阅读，若每人分3本，则剩余20本，若每人分4本，则缺25本，这个班有多少学生？
解析：根据实际书的数量可得相应的等量关系：3×学生数量＋20＝4×学生数量－25，把相关数值代入即可求解.
解：设这个班有x个学生，根据题意得3x＋20＝4x－25，移项得3x－4x＝－25－20，合并同类项得－x＝－45，系数化成1得x＝45.
答：这个班有45人.
方法总结：列方程解应用题时，应抓住题目中的“相等”、“谁比谁多多少”等表示数量关系的词语，以便从中找出合适的等量关系列方程.
三、板书设计
教学过程中，应引导学生利用等式的两个基本性质及移项法则解简单的方程.在归纳移项法则时，感悟解方程过程中的转化思想，逐渐体会移项法则解方程的优越性.
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第2课时 利用去括号解一元一次方程
1.会解含有括号的一元一次方程，掌握解方程时每一步的变形依据.
2.进一步体会解方程是解决实际问题的重要环节.
一、情境导入
复习提问：
1.解一元一次方程时，最终结果一般是化为哪种形式？
2.一元一次方程的解法我们学了哪几种？
3.移项，合并同类项，系数化为1，要注意什么？
4.一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆水行驶用了2.5小时，水流速度是3千米/时，求船在静水中的速度.
（1）题目中的等量关系是 Ｗ.
（2）根据题意可列方程为 Ｗ.
你能解这个方程吗？
二、合作探究
探究点一：利用去括号解一元一次方程
【类型一】 用去括号的方法解方程
解下列方程：
（1）4x－3（5－x）＝6；
（2）5（x＋8）－5＝6（2x－7）.
解析：先去括号，后移项，再合并同类项，最后系数化为1即可求得答案.
解：（1）去括号得4x－15＋3x＝6，移项、合并同类项得7x＝21，系数化为1得x＝3；
（2）去括号得5x＋40－5＝12x－42，移项、合并同类项得－7x＝－77，系数化为1得x＝11.
方法总结：解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【类型二】 根据两代数式的大小关系求值
当x为何值时，代数式2（x2－1）－x2的值比代数式x2＋3x－2的值大6？
解析：先列出方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解.
解：依题意得2（x2－1）－x2－（x2＋3x－2）＝6，去括号得2x2－2－x2－x2－3x＋2＝6，移项、合并同类项得－3x＝6，系数化为1得x＝－2.
方法总结：先按要求列出方程，然后按照去括号，移项，把含未知数的项移到方程左边，不含未知数的项移到方程右边，然后合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解.
探究点二：去括号解方程的应用题
某羽毛球协会组织一些会员到现场观看某场比赛.已知该协会购买了每张300元和每张400元的两种门票共8张，总费用为2700元.请问该协会购买了这两种门票各多少张？
解析：设每张300元的门票买了x张，则每张400元的门票买了（8－x）张，根据题意建立方程，求出方程的解就可以得出结论.
解：设每张300元的门票买了x张，则每张400元的门票买了（8－x）张，由题意得300x＋400×（8－x）＝2700，解得x＝5，∴买400元每张的门票张数为8－5＝3（张）.
答：每张300元的门票买了5张，每张400元的门票买了3张.
方法总结：解题的关键是熟练掌握列方程解应用题的一般步骤：①根据题意找出等量关系；②列出方程；③解方程；④作答.
三、板书设计
本节课的教学先让学生回顾上一节所学的知识，复习巩固方程的解法，让学生进一步明白解方程的步骤是逐渐发展的，后面的步骤是在前面步骤的基础上发展而成的.然后通过一个实际问题，列出一个有括号的方程，大胆放手让学生去探索、猜想各种解法，去尝试各种解题的途径，启发学生在化归思想影响下想到要去括号.
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第3课时 利用去分母解一元一次方程
1.掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，并能解这种类型的方程.
2.了解一元一次方程解法的一般步骤.
一、情境导入
小明是七年级（2）班的学生，他在对方程＝－1去分母时，由于粗心，方程右边的－1没有乘6而得到错解x＝4，你能由此判断出a的值吗？方程正确的解又是什么呢？
二、合作探究
探究点一：用去分母解一元一次方程
【类型一】 用去分母解方程
（1）x－＝－3；
（2）－＝.
解析：（1）先在方程两边同时乘以分母的最小公倍数15去分母，方程变为15x－3（x－2）＝5（2x－5）－45，再去括号、移项、合并同类项、化系数为1解方程；
（2）先在方程两边同时乘以分母的最小公倍数6去分母，方程变为3（x－3）－2（x＋1）＝1，再去括号、移项、合并同类项、化系数为1解方程.
解：（1）去分母得15x－3（x－2）＝5（2x－5）－45，
去括号得15x－3x＋6＝10x－25－45，
移项得15x－3x－10x＝－25－45－6，
合并同类项得2x＝－76，
把x的系数化为1得x＝－38.
（2）去分母得3（x－3）－2（x＋1）＝1，
去括号得3x－9－2x－2＝1，
移项得3x－2x＝1＋9＋2，
合并同类项得x＝12.
方法总结：解方程应注意以下两点：①去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号.②去括号，移项时要注意符号的变化.
【类型二】 两个方程的解相同，求字母的值
已知方程＋＝1－与关于x的方程x＋＝－3x的解相同，求a的值.
解析：求出第一个方程的解，把求出的x的值代入第二个方程，求出所得关于a的方程的解即可.
解：＋＝1－，
去分母得2（1－2x）＋4（x＋1）＝12－3（2x－1），
去括号得2－4x＋4x＋4＝12－6x＋3，
移项、合并同类项得6x＝9，
系数化为1得x＝.
把x＝代入x＋＝－3x，
得＋＝－，
去分母得9＋18－2a＝a－27，
移项、合并同类项得－3a＝－54，
系数化为1得a＝18.
方法总结：解此类问题的思路是根据某数是方程的解，可把已知解代入方程的未知数中建立起未知系数的方程求解.
探究点二：应用方程思想求值
（1）当k取何值时，代数式的值比的值小1？
（2）当k取何值时，代数式与的值互为相反数？
解析：根据题意列出方程，然后解方程即可.
解：（1）根据题意可得－＝1，
去分母得3（3k＋1）－2（k＋1）＝6，
去括号得9k＋3－2k－2＝6，
移项得9k－2k＝6＋2－3，
合并同类项得7k＝5，
系数化为1得k＝；
（2）根据题意可得＋＝0，
去分母得2（k＋1）＋3（3k＋1）＝0，
去括号得2k＋2＋9k＋3＝0，
移项得2k＋9k＝－3－2，
合并同类项得11k＝－5，
系数化为1得k＝－.
方法总结：先按要求列出方程，然后按照去分母，去括号，移项，把含未知数的项移到方程左边，不含未知数的项移到方程右边，然后合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解.
探究点三：列一元一次方程解应用题
某单位计划“五一”期间组织职工到东湖旅游，如果单独租用40座的客车若干辆则刚好坐满；如果租用50座的客车则可以少租一辆，并且有40个剩余座位.
（1）该单位参加旅游的职工有多少人？
（2）如同时租用这两种客车若干辆，问有无可能使每辆车刚好坐满？如有可能，两种车各租多少辆？（此问可只写结果，不写分析过程）
解析：（1）先设该单位参加旅游的职工有x人，利用人数不变，车的辆数相差1，可列出一元一次方程求解；（2）可根据租用两种汽车时，利用假设一种车的数量，进而得出另一种车的数量求出即可.
解：（1）设该单位参加旅游的职工有x人，由题意得方程－＝1，解得x＝360，答：该单位参加旅游的职工有360人；
（2）有可能，因为租用4辆40座的客车、4辆50座的客车刚好可以坐360人，正好坐满.
方法总结：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解.
三、板书设计
本节课采用的教学方法是讲练结合，通过一个简单的实例让学生明白去分母是解一元一次方程的重要步骤，通过去分母可以把系数是分数的方程转化为系数是整数的方程，进而使方程的计算更加简便.
在解方程中去分母时，发现学生还存在以下问题：①部分学生不会找各分母的最小公倍数，这点要适当指导；②用各分母的最小公倍数乘以方程两边的项时，漏乘不含分母的项；③当减式中分子是多项式且分母恰好为各分母的最小公倍数时，去分母后，分子没有作为一个整体加上括号，容易弄错符号.
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5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
1.通过分析图形问题中的数量关系，运用方程解决问题，进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，并认识方程的重要性.
2.通过对“变化中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力.
一、情境导入
一种牙膏出口处直径为5mm，子昂每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次.该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口处直径改为6mm，子昂还是按习惯每次挤出1cm的牙膏，这支牙膏能用多少次呢？
二、合作探究
探究点一：等长变形问题
用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2（π－2）m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.
解析：本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长.
解：设圆的半径为rm，则正方形的边长为[r＋2（π－2）]m.则有2πr＝4（r＋2π－4）.解得r＝4.所以铁丝的长为2πr＝8π（m）.所以圆的面积是π×42＝16π（m2），正方形的面积为[4＋2（π－2）]2＝4π2（m2）.因为16π>4π2，所以圆的面积大.答：铁丝的长为8πm，圆的面积较大.
方法总结：形状、面积不同，而周长相同可根据题意列出关于周长的等量关系式.解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而列出方程.
探究点二：等体积变形问题
用直径为90mm的圆钢，铸造一个底面长和宽都是131mm，高度是81mm的长方体钢锭.问需要截取多长的一段圆钢？（结果保留π）
解析：圆钢由圆柱形变为长方体，形状变了，但体积不变.
解：设截取圆钢的长度为xmm.根据题意，得π（）2x＝131×131×81，解方程，得x＝.
答：截取圆钢的长度为mm.
方法总结：圆钢由圆柱形变成了长方体，形状发生了变化，但是体积保持不变.“变形之前圆钢的体积＝变形之后长方体的体积”就是我们所要寻找的等量关系.
探究点三：面积变化问题
将一个长、宽、高分别为15cm、12cm和8cm的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12cm的正方形的长方体钢坯.试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较.
解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高.再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可.
解析：设锻造后长方体的高为xcm，依题意，得15×12×8＝12×12x.解得x＝10.
锻造前长方体钢坯的表面积为2×（15×12＋15×8＋12×8）＝2×（180＋120＋96）＝792（cm2），
锻造后长方体钢坯的表面积为2×（12×12＋12×10＋12×10）＝2×（144＋120＋120）＝768（cm2）.
因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大.
方法总结：长方体的表面积为六个面的面积之和，其中上下、左右、前后面积分别相等.
三、板书设计
教学过程中，通过对问题的探讨，使学生在动手、独立思考的过程中，进一步体会方程模型的作用，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.
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5.4 应用一元一次方程——打折销售
1.能列出一元一次方程解决打折销售问题.
2.了解用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.
3.进一步建立运用方程解决实际问题的过程，培养逻辑思维能力.
一、情境导入
1.展示日常生活中的销售实例，学生回忆知识.打折后的商品售价＝商品的原标价×折扣数.
2.展示常用数量关系：①利润＝售价－进价；②利润率＝利润/进价×100%；③利润＝进价×利润率；④售价＝进价＋利润＝进价＋进价×利润率.
二、合作探究
探究点一：求成本价
一件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？
解析：先用成本价表示出标价，然后根据等量关系：标价×80%＝60，列出方程即可.
解：设这批夹克每件的成本价为x元，则标价为（1＋50%）x元.
根据题意，得（1＋50%）x·80%＝60.
解得x＝50.
答：这批夹克每件的成本价是50元.
方法总结：按标价8折出售即按标价的80%出售.
探究点二：求折扣
书店里每本定价10元的书，成本是8元.为了促销，书店决定让利10%给读者，问该书应打多少折？
解析：本题中的利润为10－8＝2（元），因为让利10%给读者，所以书店的利润为（1－10%）×2（元），此时的售价为（10×折扣）元.根据商品利润＝商品售价－商品进价，就能建立起方程.
解：设该书应打x折，根据题意，得
10×－8＝（10－8）×（1－10%）.
解得x＝9.8.
答：该书应打九八折.
方法总结：让利10%，即利润为原来的90%.
探究点三：求原价
某商场节日酬宾：全场8折.一种电器在这次酬宾活动中的利润率为10%，它的进价为2000元，那么它的原价为多少元？
解析：本题中的利润为（2000×10%）元，销售价为（原价×80%）元，根据公式建立起方程即可.
解：设原价为x元，根据题意，得
80%x－2000＝2000×10%.
解得x＝2750.
答：它的原价为2750元.
方法总结：典例关系：售价＝进价＋利润，售价＝原价×打折数×0.1，售价＝进价×（1＋利润率）.
三、板书设计
本节课从和我们的生活息息相关的利润问题入手，让学生在具体情境中感受到数学在生活实际中的应用，从而激发他们学习数学的兴趣.根据“实际售价＝进价＋利润”等数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题.审清题意，找出等量关系是解决问题的关键.另外，商品经济问题的题型很多，让学生触类旁通，达到举一反三，灵活的运用有关的公式解决实际问题，提高学生的数学能力.
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5.5 应用一元一次方程——“希望工程”义演
1.巩固用一元一次方程解决实际问题的步骤，并能验证解的合理性.
2.借助表格分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用.
一、情境导入
在中国古代问题中，有一个非常有趣的“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有头三十五，下有足九十四，问鸡兔各多少？
二、合作探究
探究点一：利用表格解决实际问题
有一批货物需要从A地运往B地，货主准备租用甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车运货情况如下表.现租用3辆甲种货车和5辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，如果按每吨付50元计算，问货主应付运费多少元？
次 数 第一次 第二次
甲种货车辆数 1 5
乙种货车辆数 3 6
合计运货吨数 11.5 35
解析：设乙种货车每辆每次运x吨，则甲种货车每辆每次运（11.5－3x）吨，根据表格可列方程求解.现租用3辆甲种货车和5辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，如果按每吨付50元计算可求解.
解：设乙种货车每辆每次运x吨，则甲种货车每辆每次运（11.5－3x）吨，
6x＋5×（11.5－3x）＝35，
解得x＝2.5，
11.5－3x＝4（吨），
3×4＋5×2.5＝24.5（吨）.
50×24.5＝1225（元）.
答：货主应付运费1225元.
方法总结：解决本题的关键是读懂表格，找到相应的等量关系列出方程.
探究点二：利用一元一次方程解决实际问题
（菏泽中考）食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？
解析：本题可根据A、B两种饮料加入的添加剂的总量为270克列方程解题.
解：设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100－x）瓶，
由题意得2x＋3（100－x）＝270，
解得x＝30.
所以100－x＝70.
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶.
方法总结：列方程解应用题的关键是从问题中找出等量关系，每一个等量关系表示成等式后，要明确它的左边是什么，右边是什么，然后恰当设未知数，把等式左边和右边的各个量用含有已知数和未知数的代数式表示.
某单位计划“五一”期间组织职工到东江湖旅游，如果单独租用40座的客车若干辆刚好坐满；如果租用50座的客车则可以少租一辆，并且有40个剩余座位.
（1）该单位参加旅游的职工有多少人？
（2）如同时租用这两种客车若干辆，问有无可能使每辆车刚好坐满？如有可能，两种车各租多少辆？（此问可只写结果，不写分析过程）
解析：（1）先设该单位参加旅游的职工有x人，利用人数不变，车的辆数相差1，可列出一元一次方程求解；
（2）可根据租用两种汽车时，利用假设一种车的数量，进而得出另一种车的数量求出即可.
解：（1）设该单位参加旅游的职工有x人，由题意得方程：－＝1，解得x＝360.
答：该单位参加旅游的职工有360人；
（2）有可能，因为租用4辆40座的客车、4辆50座的客车刚好可以坐360人，正好坐满.
方法总结：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解.
探究点三：工程问题
一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成.现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？
解析：首先设乙队还需x天才能完成，由题意可得等量关系：甲队干三天的工作量＋乙队干（x＋3）天的
工作量＝1，根据等量关系列出方程，求解即可.
解：设乙队还需x天才能完成，由题意得：
×3＋（3＋x）＝1，
解得：x＝13.
答：乙队还需13天才能完成.
方法总结：找到等量关系是解决问题的关键.本题主要考查的等量关系为：工作效率×工作时间＝工作总量，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1.
三、板书设计
教学过程中，通过对“希望工程”义演中的数学问题的探讨，进一步体会方程模型的作用，同时，从情感上认识“希望工程”，懂得珍惜现在良好的学习生活环境.
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5.6 应用一元一次方程——追赶小明
1.能分析行程问题中已知数与未知数之间的数量关系，利用路程、时间与速度三个量之间的关系式，列出一元一次方程a解应用题.
2.会用“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用.
一、情境导入
亲爱的同学们，你们读过名著《西游记》吗？关于孙悟空的故事你一定知道很多吧.有这样一首描述孙悟空捉妖的诗：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，风速多少才算准.请你帮孙悟空算算当时的风速每分钟是多少里？
二、合作探究
探究点一：用一元一次方程解决相遇问题
小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？
解析：本题等量关系：小明所走的路程＋爸爸所走的路程＝全部路程，但要注意小明比爸爸多走了5分钟，另外也要注意本题单位的统一.
解：设小明爸爸出发x分钟后接到小明，如图所示，由题意，得200x＋60（x＋5）＝2900.解得x＝10.
答：小明爸爸从家出发10分钟后接到小明.
方法总结：找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系.这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系.
探究点二：用一元一次方程解决追及问题
敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
解析：本题相等关系：我军所走的路程－敌军所走的路程＝敌我两军相距的路程.
解：设战斗是在开始追击后x小时发生的.根据题意，得8x－5x＝25－1.解得x＝8.
答：战斗是在开始追击后8小时发生的.
探究点三：用一元一次方程解决环形问题
甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分.
（1）两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？
（2）两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？
解析：（1）题实质上是追及问题，两人第一次相遇，实际上就是快者追上慢者一圈，其等量关系是追上时，甲走的路程－乙走的路程＝400米；（2）题实质上是相遇问题，两人第一次相遇就是两人所走的路程之和为环行跑道一圈的长，其等量关系是相遇时，甲走的路程＋乙走的路程＝400米.
解：（1）设x分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x－240x＝400.解得x＝.（×360＋×240）÷400＝5（圈）.
答：两人一共跑了5圈.
（2）设x分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x＋240x＝400.解得x＝（分钟）＝40（秒）.
答：40秒后两人第一次相遇.
方法总结：环形问题中的相等关系：两个人同地背向而行：相遇问题（首次相遇），甲的行程＋乙的行程＝一圈周长；两个人同地同向而行：追及问题（首次追上），甲的行程－乙的行程＝一圈周长.
三、板书设计
追赶小明→行程问题→
教学过程中，通过对开放性问题的探讨与交流，体验生活中数学的应用与价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识、团队精神和克服困难的勇气.
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