4.1 线段、射线、直线
1.在现实情境中了解线段、射线、直线等简单的平面图形.
2.理解直线的性质，感受图形世界的丰富多彩.
一、情境导入
我们生活在一个丰富多彩的图形世界里，生活中处处都有图形，如笔直的铁轨、手电筒发出的光、一根铅笔等等，你能用图形表示以上现象吗？
二、合作探究
探究点：线段、射线、直线
【类型一】 线段、射线和直线的概念
如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.直线AB和直线CD是不同的直线
B.射线AB和射线BA是同一条射线
C.线段AB和线段BA是同一条线段
D.直线AD＝AB＋BC＋CD
解析：在直线上任意两个大写字母都可以表示这条直线，所以A错；表示射线时，第一个字母表示射线的端点，端点字母不同，射线必然不同，所以B错；AB＋BC＋CD表示线段AD的长，而直线AD无长短，所以D错.故选C.
方法总结：熟练掌握射线、直线、线段的表示方法是解决此类问题的关键.
【类型二】 判断直线交点的个数
观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
最多有一个交点)
最多有3个交点)
最多有6个交点)
猜想：
（1）5条直线相交最多有几个交点？
（2）6条直线相交最多有几个交点？
（3）n条直线相交最多有几个交点？
解析：先观察图形，找出交点的个数与直线的条数之间的关系，然后进行计算即可.
解：（1）5条直线相交最多有＝10个交点；
（2）6条直线相交最多有＝15个交点；
（3）n条直线相交最多有个交点.
方法总结：关键是观察图形，找出规律，总结出同一平面内n条直线相交最多有个交点.
【类型三】 线段条数的确定
如图所示，图中共有线段（ ）
A.8条 B.9条
C.10条 D.12条
解析：可以根据线段的定义写出所有的线段即可得解；也可以先找出端点的个数，然后利用公式进行计算.方法一：图中线段有：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE；共4＋3＋2＋1＝10条；方法二：共有A、B、C、D、E五个端点，则线段的条数为＝10条.故选C.
方法总结：找线段时要按照一定的顺序做到不重不漏，若利用公式计算时则更加简便准确.
【类型四】 线段、射线和直线的应用
由郑州到北京的某一次往返列车，运行途中停靠的车站依次是：郑州——开封——商丘——菏泽——聊城——任丘——北京，那么要为这次列车制作的火车票有（ ）
A.6种 B.12种
C.21种 D.42种
解析：从郑州出发要经过6个车站，所以要制作6种车票；从开封出发要经过5个车站，所以要制作5种车票；从商丘出发要经过4个车站，所以要制作4种车票；从菏泽出发要经过3个车站，所以要制作3种车票；从聊城出发要经过2个车站，所以要制作2种车票；从任丘出发要经过1个车站，所以要制作1种车票.再考虑是往返列车，起点与终点不同，则车票不同，乘以2即可.即共需制作的车票数为：2×（6＋5＋4＋3＋2＋1）＝2×21＝42种.故选D.
方法总结：可以结合线段条数的确定方法，也可以用公式n（n－1），将n＝7代入即可.
本节课是学生学习几何图形知识的基础，这堂课需要掌握的知识点多，而且比较抽象.教师在教学时要体现新课程的目标，引导学生观察分析认识直线、射线和线段，掌握它们之间的联系与区别，有效地利用学生已有的旧知来引导学生学习新知，为后面学习新知做好了铺垫.
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4.2 比较线段的长短
1.了解“两点之间，线段最短”.
2.能借助尺、规等工具比较两条线段的大小，能用圆规作一条线段等于已知线段.
3.了解线段的中点及线段的和、差、倍、分的意义，并能根据条件求出线段的长.
一、情境导入
爱护花草树木是我们每个人都应具备的优秀品质.从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪（如图），同学们，你觉得这样做对吗？为了解释这种现象，学习了下面的知识，你就会知道.
二、合作探究
探究点一：线段长度的计算
【类型一】 根据线段的中点求线段的长
如图，若线段AB＝20cm，点C是线段AB上一点，M、N分别是线段AC、BC的中点.
（1）求线段MN的长；
（2）根据（1）中的计算过程和结果，设AB＝a，其它条件不变，你能猜出MN的长度吗？请用简洁的话表达你发现的规律.
解析：（1）先根据M、N分别是线段AC、BC的中点得出MC＝AC，CN＝BC，再由线段AB＝20cm即可求出结果；（2）根据（1）中的条件可得出结论.
解：（1）∵M、N分别是线段AC、BC的中点，
∴MC＝AC，CN＝BC，∵线段AB＝20cm，
∴MN＝MC＋CN＝（AC＋BC）＝AB＝10cm；
（2）由（1）得，MN＝MC＋CN＝（AC＋BC）＝AB＝a.即MN始终等于AB的一半.
方法总结：根据线段的中点表示出线段的长，再根据线段的和、差求未知线段的长度.
【类型二】 已知线段的比求线段的长
如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，点E是线段AD的中点，EC＝2cm，求：
（1）AD的长；
（2）AB∶BE.
解析：（1）根据线段的比，可设出未知数，根据线段的和差，可列方程，根据解方程，可得x的值，根据x的值，可得AD的长度；（2）根据线段的和差，可得线段BE的长，根据比的意义，可得出答案.
解：（1）设AB＝2x，则BC＝3x，CD＝4x，
由线段的和差，得AD＝AB＋BC＋CD＝9x.
由E为AD的中点，得ED＝AD＝x.
由线段的和差得，CE＝DE－CD＝x－4x＝＝2.
解得x＝4.∴AD＝9x＝36（cm）.
（2）AB＝2x＝8，BC＝3x＝12.
由线段的和差，得BE＝BC－CE＝12－2＝10（cm）.
∴AB∶BE＝8∶10＝4∶5.
方法总结：在遇到线段之间比的问题时，往往设出未知数，列方程解答.
【类型三】 当图不确定时求线段的长
如果线段AB＝6，点C在直线AB上，BC＝4，D是AC的中点，那么A、D两点间的距离是（ ）
A.5 B.2.5
C.5或2.5 D.5或1
解析：本题有两种情形：
（1）当点C在线段AB上时，如图：
AC＝AB－BC，又∵AB＝6，BC＝4，∴AC＝6－4＝2，∵D是AC的中点，∴AD＝1；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：
AC＝AB＋BC，又∵AB＝6，BC＝4，∴AC＝6＋4＝10，∵D是AC的中点，∴AD＝5.故选D.
方法总结：解答本题关键是正确画图，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解.
探究点二：线段性质的应用
如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的根据是（ ）
A.两点之间，直线最短
B.两点确定一条线段
C.两点确定一条直线
D.两点之间，线段最短
解析：把弯曲的河道改直缩短航程的根据是：两点之间，线段最短.故选D.
方法总结：本题考查了线段的性质，熟记两点之间线段最短是解题的关键.
三、板书设计
教学过程中，强调学生通过想象、合作交流等数学探究过程，了解线段大小的比较方法，学习使用几何工具的操作方法，发展几何图形意识和探究意识，激发学生解决问题的积极性和主动性.
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4.3 角
1.理解角的概念，掌握角的表示方法.
2.理解平角、周角的概念，掌握角的常用度量单位：度、分、秒，及它们之间的换算关系，并会进行简单的换算.
一、情境导入
钟表是我们生活中常见的物品，同学们，你能说出图中每个钟表时针与分针所成的角度吗？学完了下面的内容，就会知道答案.
二、合作探究
探究点一：角的概念及其表示方法
【类型一】 对角的概念的考查
下列关于角的说法中正确的有（ ）
①角是由两条射线组成的图形；
②角的边越长，角越大；
③在角一边的延长线上取一点；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，错误；②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，错误；③角的边是射线，不能延长，错误；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确.所以只有④正确.故选A.
方法总结：本题主要是对角的定义的考查，正确理解角的定义是解题的关键.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，需要熟练掌握.
【类型二】 角的表示方法
下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
解析：在角的顶点处有多个角时，不能用一个字母表示这个角，所以A、C、D错误，故选B.
探究点二：角度的换算
（1）用度、分、秒表示48.26°；
（2）用度表示37°24′36″.
解析：（1）度、分、秒是常用的角的度量单位.根据1°＝60′，1′＝60″把大单位化成小单位乘以60即可；（2）根据度分秒之间60进制的关系计算.
解：（1）48.26°＝48°＋0.26×60′＝48°15′＋0.6×60″＝48°15′36″；
（2）根据1°＝60′，1′＝60″得，36×′＝0.6′，24.6×＝0.41°，所以37°24′36″用度来表示为37.41°.
方法总结：用度、分、秒表示的角度和用度表示的角度的相互转化的过程正好相反：大单位化小单位，乘以进率；而小单位化大单位要除以进率.
探究点三：钟表上的角
小红早晨8：30出发，中午12：30到家，则小红出发时时针和分针的夹角为 ，到家时时针和分针的夹角为 Ｗ.
解析：与12点整相比，8：30时，时针转过了（8＋）×30°＝255°，分针转过了30×6°＝180°，所以夹角为255°－180°＝75°.同理12：30时，时针和分针的夹角为165°.
方法总结：分针每60分钟转360°，因而每分钟转360°×＝6°，时针每12小时转360°，因而每小时转360°×＝30°.
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、操作、体会、归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，培养发散性思维和对数学的好奇心与求知欲.
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4.4 角的比较
1.会用度量法和叠合法比较两个角的大小.
2.理解角的平分线的定义，并能借助角的平分线的定义解决问题.
3.理解两个角的和、差、倍、分的意义，会进行角的运算.
一、情境导入
同学们，如图是我们生活中常用的剪刀模型，现在考考大家，剪刀张开的两个角哪个大呢？
二、合作探究
探究点一：角的比较
在某工厂生产流水线上生产如图所示的工件，其中∠α称为工件的中心角，生产要求∠α的标准角度为30°±1°，一名质检员在检验时，手拿一量角器逐一测量∠α的度数.请你运用所学的知识分析一下，该名质检员采用的是哪种比较方法？你还能给该质检员设计更好的质检方法吗？请说说你的方法.
解析：角的比较方法有测量法和叠合法，其中测量法更具体，叠合更直观.在质检中，采用叠合法比较快捷.
解：该质检员采用的方法是测量法，还可以使用叠合法，即在工件中找出一个角度为31°和一个角度为29°的两个工件，然后可把几个工件夹在这两个工件中间，使顶点和一边重合，观察另一边的情况.
方法总结：此题主要考查了角的大小比较，解题的关键是掌握角的大小比较的方法.
探究点二：角度的有关计算
【类型一】 利用角平分线进行角度的计算
如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
（1）求∠EOD的度数；
（2）若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数.
解析：（1）根据OD平分∠BOC，OE平分∠AOC可知∠DOE＝∠DOC＋∠EOC＝（∠BOC＋∠AOC）＝∠AOB，由此即可得出结论；
（2）先根据∠BOC＝90°求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论.
解：（1）∵∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝（∠BOC＋∠AOC）＝∠AOB＝×120°＝60°；
（2）∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，∴∠AOC＝120°－90°＝30°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.
方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键.
【类型二】 利用三角板叠合进行角度的计算
如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB＝（ ）
A.120° B.180°
C.150° D.135°
解析：由图可得：∠AOC＋∠DOB＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.故选B.
方法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系.
【类型三】 长方形折叠计算角的度数
如图，将长方形ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处.若∠EFC＝119°，则∠BFC′为（ ）
A.58° B.45°
C.60° D.42°
解析：∵将长方形ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处，∠EFC＝119°，∴∠EFC′＝∠EFC＝119°，∠EFB＝180°－∠EFC＝61°，∴∠BFC′＝∠EFC′－∠EFB＝119°－61°＝58°，故选A.
方法总结：掌握折叠的性质，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是完全重合的，其角不变.
探究点三：角度的计算
计算：
（1）153°29′42″＋26°40′32″；
（2）110°36′－90°37′28″；
（3）62°24′17″×4.
解析：（1）相同单位相加，超过60向上一位进1即可；（2）先借1°化为分和秒，然后同一单位分别相减即可得解；（3）每一个单位分别乘以4，分、秒超出60的部分向上一个单位进1即可.
解：（1）153°29′42″＋26°40′32″＝179°69′74″＝180°10′14″；
（2）110°36′－90°37′28″＝109°95′60″－90°37′28″＝19°58′32″；
（3）62°24′17″×4＝248°96′68″＝249°37′8″.
方法总结：角度的运算规律为：（1）加减法时将同一单位进行加减，加法够60进1，减法不够减要借1当60；（2）乘法时将数与度、分、秒分别相乘，然后从小到大逢60进1.
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过测量、折叠等操作手段，体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段，发展直观意识，同时升华学生的情感态度和价值观.
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4.5 多边形和圆的初步认识
1.了解多边形的概念，知道三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形.
2.掌握多边形的顶点、边、内角、对角线、正多边形的概念.
3.理解圆的定义，掌握圆弧、圆心角、扇形的概念.
4.把圆分成几个扇形，能够理解每个扇形的面积和整个圆的面积的关系，并会求扇形的圆心角.
一、情境导入
周末，加菲猫兴奋地挥舞着剪刀，对照着美工书上猫的图案，制作了一副自己的“肖像”（如图）.主人乔恩走过来说：“画的不错，有点像你呀”，“对了，问你个问题：这幅图案中包含的多边形有哪些？请你至少说出五种”.听到这样的问题，加菲猫不由得挠起了头.聪明的同学，你能帮他找出来吗？
二、合作探究
探究点一：判定多边形
图中共有多边形（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：根据多边形的定义可知，图②不是由线段组成的；图①、④不是由线段首尾顺次相连而成的，只有图③、⑤符合多边形的定义.故选B项.
方法总结：在分辨一个图形是否为多边形时，一定要抓住多边形定义中的关键词语，如“线段”“首尾顺次连接”“封闭”“平面图形”等.如此，对于某些似是而非的图形，只要根据定义进行对照和分析，即可判定.
探究点二：确定多边形的对角线
一个多边形从一个顶点最多能引出2015条对角线，这个多边形的边数是（ ）
A.2015 B.2016 C.2017 D.2018
解析：这个多边形的边数为2015＋3＝2018.故选D.
方法总结：过n边形的一个顶点可以画出（n－3）条对角线.本题只要逆向求解即可.
探究点三：求扇形圆心角
将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个扇形圆心角的度数.
解析：用扇形圆心角所对应的比去乘360°即可求出相应扇形圆心角的度数.
解：三个扇形的圆心角度数分别为：360°×＝80°；360°×＝120°；360°×＝160°.
方法总结：圆心角度数＝每个扇形圆心角占整个圆的百分比×360°.
教学过程中，指导学生经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受丰富的图形世界，体会知识来源于生活实践，又服务于生活实践的道理.
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