2．7 有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法法则
1．经历探索有理数乘法法则的过程，理解有理数的乘法法则．
2．能熟练进行有理数的乘法运算．
3．会利用有理数的乘法解决实际问题．
一、情境导入
1．小学我们学过了数的乘法的意义，比如说2×3，6×，……，一个数乘以整数是求几个相同加数和的运算，一个数乘以分数就是求这个数的几分之几．
2．计算下列各题：
(1)5×6； (2)3×； (3)×；
(4)2×2； (5)2×0； (6)0×.
引入负数之后呢，有理数的乘法应该怎么运算？这节课我们就来学习有理数的乘法．
二、合作探究
探究点一：有理数乘法法则的运用
计算：
(1)5×(－9); (2)(－5)×(－9)；
(3)(－6)×(－9); (4)(－6)×0；(5)(－)×.
解析：(1)(5)小题是异号两数相乘，先确定积的符号为“－”，再把绝对值相乘；(2)(3)小题是同号两数相乘，先确定积的符号为“＋”，再把绝对值相乘；(4)小题是任何数同0相乘，都得0.
解：(1)5×(－9)＝－(5×9)＝－45；
(2)(－5)×(－9)＝5×9＝45；
(3)(－6)×(－9)＝6×9＝54；
(4)(－6)×0＝0；
(5)(－)×＝－(×)＝－.
方法总结：两数相乘，积的符号由两个乘数的符号决定：同号得正，异号得负，任何数乘以0，结果为0.
探究点二：求一个数的倒数
【类型一】 直接求某一个数的倒数
求下列各数的倒数．
(1)－； (2)2；(3)－1.25; (4)5.
解析：根据倒数的定义依次解答．
解：(1)－的倒数是－；
(2)2＝，故2的倒数是；
(3)－1.25＝－，故－1.25的倒数是－；
(4)5的倒数是.
方法总结：乘积是1的两个数互为倒数，一般在求小数的倒数时，先把小数化为分数再求解．当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便．
【类型二】 与相反数、倒数、绝对值有关的求值问题
已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为6，求－cd＋|m|的值．
解析：根据相反数和倒数的概念，可得a与b、c与d的等量关系，再由m的绝对值为6，可求m的值，把所得的等量关系整体代入可求出代数式的值．
解：由题意得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝6，m＝±6；∴(1)当m＝6时，原式＝－1＋6＝5；(2)当m＝－6时，原式＝－1＋6＝5.故－cd＋|m|的值为5.
方法总结：解答此题的关键是先根据题意得出a＋b＝0，cd＝1及m＝±6，再代入所求代数式进行计算．
探究点三：有理数乘法的应用性问题
小红家春天粉刷房间，雇用了5个工人，干了3天完成；用了某种涂料150升，费用为4800元，粉刷的面积是150m2.最后结算工钱时，有以下几种方案：
方案一：按工算，每个工100元；(1个工人干1天是一个工)；
方案二：按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱；
方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元．
请你帮小红家出主意，选择哪种方案付钱最合算(最省)?
解析：根据有理数的乘法的意义列式计算．
解：第一种方案的工钱为100×3×5＝1500(元)；
第二种方案的工钱为4800×30%＝1440(元)；
第三种方案的工钱为150×12＝1800(元)．
答：选择方案二付钱最合算(最省)．
方法总结：解此题的关键是根据题意列出算式，计算出结果，比较得出最省的付钱方案．
三、板书设计
本节课由情景引入，使学生迅速进入角色，很快投入到探究有理数乘法法则上来，提高了教学效率．在本节课的教学实施中自始至终引导学生探索、归纳，真正体现了以学生为主体的教学理念．本节课特别注重过程教学，有利于培养学生的分析归纳能力．
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第2课时 有理数乘法的运算律
1．经历探索有理数乘法运算律的过程，理解有理数乘法运算律．
2．能熟练运用有理数乘法运算律简化运算．
一、情境导入
中央电视台的“开心辞典”栏目，有一个“快算二十四”的趣味题，现在给出1～13之间四个自然数，将这四个数(只能用一次)进行加、减、乘、除运算，可加括号，使其结果等于24，如：对1、2、3、4可作运算“(1＋2＋3)×4＝24”或“1×2×3×4＝24”．现有四个有理数3、4、－6、10，你能运用上述规则写出两种不同的算式，使其结果等于24吗？
二、合作探究
探究点一：运用有理数的乘法运算律简化运算
计算：
(1)(－－)×70；
(2)(－2)×(－1)×(－2)×.
解析：(1)可用乘法对加法的分配律来简化计算；(2)可以利用乘法的交换律和结合律来简化计算．
解：(1)原式＝×70－×70－×70＝35－50－28＝－43；
(2)原式＝－(2×××)＝－5.
方法总结：运用乘法交换律或结合律时要考虑能约分的、凑整的和互为倒数的数，要尽可能地把它们结合在一起；利用乘法分配律计算时，要注意符号，以免发生错误．
探究点二：逆用乘法对加法的分配律
计算：3.94×(－)＋2.41×(－)－6.35×(－)．
解析：逆用乘法对加法的分配律可简化计算．
解：原式＝(－)×(3.94＋2.41－6.35)＝(－)×0＝0.
方法总结：如果按照先算乘法，再算加减，则运算较繁琐，且符号容易出错，但如果逆用乘法对加法的分配律，则可使运算简便．
探究点三：有理数乘法的运算律的实际应用
甲、乙两地相距480千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的，再行驶多少千米就可以到达中点？
解析：把两地间的距离看作单位“1”，中点即全程处，根据题意用乘法分别求出480千米的和，再求差．
解：480×－480×＝480×(－)＝80(千米)．
答：再行80千米就可以到达中点．
方法总结：解答本题的关键是根据题意列出算式，然后根据乘法的分配律进行简便计算．
新课程理念要求把学生“学”数学放在教师“教”之前，“导学”是教学的重点.因此，在本节课的教学中，不要直接将结论告诉学生，而是引导学生从大量的实例中寻找解决问题的规律.学生经历积极探索知识的形成过程，最后总结得出有理数乘法的运算律.整个教学过程要让学生积极参与，独立思考和合作探究相结合，教师适当点评，以达到预期的教学效果.
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2.8 有理数的除法
1.理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算.
一、情境导入
1.计算：（1）×0.2＝ ；
（2）12×（－3）＝ ；
（3）（－1.2）×（－2）＝ ；
（4）（－1）×0＝ Ｗ.
2.由（－3）×4＝ ，再由除法是乘法的逆运算，可得（－12）÷（－3）＝4，（－12）÷4＝ Ｗ.
同理，（－3）×（－4）＝ ，12÷（－4）＝ ，12÷（－3）＝ Ｗ.
观察上面的算式及计算结果，你有什么发现？换一些算式再试一试.
二、合作探究
探究点一：有理数的除法
计算：
（1）（－36）÷（－6）；（2）（－3）÷5.
解析：（1）中的两数能整除，可以确定商的符号后直接相除；（2）中两数不能整除，需利用“除以一个数，等于乘以这个数的倒数”进行计算.
解：（1）（－36）÷（－6）＝＋（36÷6）＝6；
（2）（－3）÷5＝－×＝－.
方法总结：两数相除，如果能够整除，可以在确定商的符号后直接相除；不能整除时，可以将之转化为乘法进行计算.
探究点二：有理数的乘除混合运算
计算：
（1）（－24）÷[（－）×]；
（2）（－81）÷2×÷（－16）.
解析：（1）中有括号，应先算括号里面的，再把除法转化为乘法；（2）中应先将除法统一为乘法，再确定符号，需将带分数化为假分数.
解：（1）原式＝（－24）÷（－）＝24×＝36；
（2）原式＝（－81）×××（－）＝81×××＝1.
方法总结：解乘除混合运算的顺序是从左到右依次计算，有括号的先算括号里的，计算时不能将运算顺序颠倒.
探究点三：根据，a＋b的符号，判断a和b的符号
如果两个有理数a、b满足a＋b＜0，＞0，那么这两个数（ ）
A.都是正数 B.符号无法确定
C.一正一负 D.都是负数
解析：∵＞0，根据“两数相除，同号得正”可知，a、b同号，又∵a＋b＜0，∴可以判断a、b均为负数.故选D.
方法总结：此题考查了有理数乘法和加法法则，将二者综合考查是考试中常见的题型，此题的侧重点在于考查学生的逻辑推理能力.
让学生深刻理解除法是乘法的逆运算，对学好本节内容有比较好的作用.教学设计可以采用课本的引例作为探究除法法则的过程.让学生自己探索并总结除法法则，同时也让学生对比乘法法则和除法法则，加深印象.并讲清楚除法的两种运算方法：（1）在除式的项和数字不复杂的情况下直接运用除法法则求解.（2）在多个有理数进行除法运算，或者是乘、除混合运算时应该把除法转化为乘法，然后统一用乘法的运算律解决问题.
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2.9 有理数的乘方
1.在现实背景中，理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方的运算法则.
2.能熟练地进行乘方运算.
一、情境导入
贝贝同学说：“珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度约是8844m.如果有一张足够大且厚度为0.1mm的纸，那么连续对折30次（理想状态下）的厚度能超过珠穆朗玛峰.”皮皮疑惑地说“这不可能吧，一张纸能折那么高吗？”通过下面的学习，相信你一定能解开皮皮的困惑！
二、合作探究
探究点一：有理数乘方的意义
把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么.
（1）（－3.14）×（－3.14）×（－3.14）×（－3.14）×（－3.14）；
（2）×××××；
（3）.
解析：首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么.
解：（1）（－3.14）×（－3.14）×（－3.14）×（－3.14）×（－3.14）＝（－3.14）5，其中底数是－3.14，指数是5；
（2）×××××＝（）6，其中底数是，指数是6；
（3），其中底数是m，指数是2n.
方法总结：乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数.
探究点二：有理数乘方的运算
计算：（1）－（－3）3； （2）（－）2；
（3）（－）3； （4）（－1）2015.
解析：可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；或者先确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值.
解：（1）－（－3）3＝－（－33）＝33＝3×3×3＝27；
（2）（－）2＝×＝；
（3）（－）3＝－（××）＝－；
（4）（－1）2015＝－1.
方法总结：乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.
探究点三：与乘方有关的规律探究问题
有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折一次后，厚度为2×0.1毫米，求：
（1）对折2次后，厚度为多少毫米？
（2）对折20次后，厚度为多少毫米？
解析：要求每次对折后纸的厚度，应先求出每次折叠后纸的层数，再用每张的厚度乘以纸的层数即可.纸的对折次数与纸的层数关系如下：
对折次数 1 2 3 4 … 20
纸的层数 21 22 23 24 … 220
解：（1）∵厚度为0.1毫米的纸，将它对折一次后，厚度为2×0.1毫米，
∴对折2次的厚度是0.1×22毫米.
答：对折2次的厚度是0.4毫米；
（2）对折20次的厚度是0.1×220毫米＝104857.6（毫米），
答：对折20次的厚度是104857.6毫米.
方法总结：解决本题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出这些幂与对折次数的对应关系.
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历丰富的观察、分析、比较、归纳、概括等数学活动的体验，发展学生的数感，培养学生良好的学习习惯，增强学习数学的兴趣和勇于探索的精神.
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2.10 科学记数法
1.理解科学记数法的意义.
2.会用科学记数法表示大数.
一、情境导入
在悉尼举行的国际天文学联合会大会上，天文学家指出整个可见宇宙空间大约有700万亿亿颗恒星，这个数字比地球上所有沙漠和海滩上的沙砾总和数量还要多.
如果想在字面上表示出这一数字，需要在“7”后面加上22个“0”.即约为“70000000000000000000000”颗.
生活中，我们还常会遇到一些比较大的数.例如：
1.据报载，2014年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户.
2.全球每年大约有577000000000000m3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽.
3.拒绝“餐桌浪费”刻不容缓，据统计，全国每年浪费粮食总量约50000000000千克.
像这些较大的数据，书写和阅读都有一定的难度，那么有没有一种表示方法，使得这些大数易写、易读、易于计算呢？
二、合作探究
探究点一：用科学记数法表示绝对值较大的数
【类型一】 直接利用科学记数法表示大数
（资阳中考）餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心.据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A.5×1010千克 B.50×109千克
C.5×109千克 D.0.5×1011千克
解析：此题是科学记数法在实际生活中的应用，先将500亿千克写成50000000000千克，再用科学记数法表示，即50 000 000 000＝5×1010.故选A.
方法总结：科学记数法的表示形式为a×10n，其中a必须是整数位数只有一位的数，即a的范围是1≤|a|＜10，n为整数.
【类型二】 需通过计算后再利用科学记数法表示大数
若每人每天浪费水0.32升，那么100万人每天浪费的水用科学记数法表示为（ ）
A.3.2×104升 B.3.2×105升
C.3.2×106升 D.3.2×107升
解析：水是生命之源，节约水资源是我们每个居民都应有的意识.题中给出假如每人浪费一点水，当人数增多时，将是一个非常惊人的数字，100万人每天浪费的水资源为1000000×0.32＝320000（升）.所以320000＝3.2×105.故选B.
方法总结：从实际问题入手让学生体会科学记数法的实际应用.题中没有直接给出数据，应先计算，再表示.
探究点二：将用科学记数法表示的数转换为原数
已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数：
（1）2.01×104；（2）6.070×105.
解析：（1）将2.01的小数点向右移动4位即可；（2）将6.070的小数点向右移动5位即可.
解：（1）2.01×104＝20100；
（2）6.070×105＝607000.
方法总结：将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数.
三、板书设计
借助身边熟悉的事物进一步体会大数，积累数学活动经验，发展数感、空间感，培养学生自主学习的能力.
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2.11 有理数的混合运算
1.掌握有理数混合运算的顺序，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算.
2.在运算过程中能合理地应用运算律简化运算.
一、情境导入
在学完有理数的混合运算后，老师为了检验同学们的学习效果，出了下面这道题：
计算－32＋（－6）÷×（－4）.
小明和小颖很快给出了答案.
小明：－32＋（－6）÷×（－4）＝－9＋（－6）÷（－2）＝－9＋3＝－6.
小颖：－32＋（－6）÷×（－4）＝－9＋（－6）×2×（－4）＝39.
你能判断出谁的计算正确吗？
二、合作探究
探究点一：有理数的混合运算
计算：（1）（－5）－（－5）×÷×（－5）；
（2）－1－{（－3）3－[3＋×（－1）]÷（－2）}.
解析：（1）题是含有减法、乘法、除法的混合运算，运算时，一定要注意运算顺序，尤其是本题中的乘除运算.要从左到右进行计算；（2）题有大括号、中括号，在运算时，可从里到外进行.注意要灵活掌握运算顺序.
解：（1）（－5）－（－5）×÷×（－5）＝（－5）－（－5）××10×（－5）＝（－5）－25＝－30；
（2）－1－{（－3）3－[3＋×（－1）]÷（－2）}＝－1－{－27－[3＋×（－）]÷（－2）}＝－1－{－27－2÷（－2）}＝－1－{－27－（－1）}＝－1－（－26）＝25.
方法总结：因为乘方和除法的基础是乘法，减法的基础是加法，所以，有理数混合运算中的运算技巧，来源于加法和乘法运算中的技巧，是加法和乘法运算中技巧的综合和提高.
探究点二：有理数混合运算的应用
某食品公司的冷藏库能使冷藏食品温度每小时下降4℃，每开库一次，库内温度上升5℃.现将15℃的猪肉放进冷藏库，3小时后开一次库，又隔2小时再次开库，再关上冷藏库4小时，猪肉的温度是多少摄氏度？
解析：用猪肉原来的温度加下降和上升的温度，下降的温度记为负，上升的温度记为正.
解：根据题意，得15＋3×（－4）＋5＋2×（－4）＋5＋4×（－4）＝15－12＋5－8＋5－16＝－11（℃）.
答：猪肉的温度是－11℃.
方法总结：利用有理数的混合运算解决实际问题，其关键是根据题意建立有理数混合运算模型，通过解决有理数的混合运算来解决实际问题.
三、板书设计
有理数的运算是数学中很多其他运算的基础，培养学生正确迅速的运算能力，是数学教学中的一项重要目标.在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下，学生进行混合运算，首先应注意的就是运算顺序的问题.小组讨论有理数运算法则后，教师应提醒学生牢固掌握有理数混合运算的几项规定，特别是加入乘方以后，学生对乘方运算不熟悉，容易算成加法或底数与指数相乘.学生在运算符号多的时候容易出错，需要进行针对性讲解.
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2.12 用计算器进行运算
1.掌握计算器的使用方法.
2.会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算.
一、情境导入
任选1，2，3，……，9中的一个数字，将这个数字乘以7，再将结果乘以15873，你知道积是多少吗？你发现了什么规律？你是怎样算出来的？有没有简便的方法呢？学会了计算器的使用，这些问题便可迎刃而解.
二、合作探究
探究点一：用计算器进行有理数的混合运算
用计算器求下列各式的值：
（1）（－498 765）×239－6 989 329； （2）－177.
解析：（1）中按键顺序为，计算器显示结果为－126194164；（2）中按键顺序为，计算器显示结果为－410338673.
解：（1）（－498765）×239－6989329＝－126194164；
（2）－177＝－410338673.
探究点二：利用计算器探索规律
利用计算器计算：
（1）0.012，0.12，12，102，1002，1 0002；
（2）0.013，0.13，13，103，1003，1 0003；
（3）通过（1）（2）的计算探究乘方时小数点的移动规律.
解析：先利用计算器求出结果，再对比结果观察得出规律.
解：（1）0.012＝0.000 1，0.12＝0.01，12＝1，102＝100，1002＝10 000，1 0002＝
1 000 000；
（2）0.013＝0.000 001，0.13＝0.001，13＝1，103＝1 000，1003＝1 000 000，1 0003＝1 000 000 000；
（3）由（1）（2）两题可以发现小数点每向左（或向右）移动一位，它的平方的小数点就相应地向左（或向右）移动两位，而它的立方的小数点也相应的向左（或向右）移动三位.
方法总结：探求乘方时小数点的移动规律，需观察分析乘方前各底数小数点的位置，再比较相对应的各数乘方后小数点位置的变化，可发现一般规律.
探究点三：求近似数
用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数.
（1）0.6328（精确到0.01）；
（2）7.9122（精确到个位）；
（3）47155（精确到百位）；
（4）130.06（精确到0.1）；
（5）4602.15（精确到千位）.
解析：（1）把千分位上的数字2四舍五入即可；（2）把十分位上的数字9四舍五入即可；（3）先用科学记数法表示，然后把十位上的数字5四舍五入即可；（4）把百分位上的数字6四舍五入即可；（5）先用科学记数法表示，然后把百位上的数字6四舍五入即可.
解：（1）0.6328≈0.63（精确到0.01）；
（2）7.9122≈8（精确到个位）；
（3）47155≈4.72×104（精确到百位）；
（4）130.06≈130.1（精确到0.1）；
（5）4602.15≈5×103（精确到千位）.
方法总结：按精确度找出要保留的最后一个数位，再按下一个数位上的数四舍五入即可.
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、操作、归纳、积累等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，发展推理能力，同时升华学生的情感态度和价值观.
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