2.1.2 指数函数及其性质（一）
（一）教学目标
1．知识与技能
了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象．
2．过程与方法
能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征．
3．情感、态度与价值观
在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．
（二）教学重点、难点
1．教学重点：指数函数的概念和图象．
2．教学难点：指数函数的概念和图象．
（三）教学方法
采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1. 在本章的开头，问题（1）中时间与GDP值中的，请问这两个函数有什么共同特征. 2. 这两个函数有什么共同特征，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用（＞0且≠1来表示）. 学生思考回答函数的特征． 由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．
形成概念 理解概念 指数函数的定义一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.回答：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （＞1，且）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为＞0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.若＜0，如在实数范围内的函数值不存在.若=1, 是一个常量，没有研究的意义，只有满足的形式才能称为指数函数， 如：不符合 . 学生独立思考，交流讨论，教师巡视，并注意个别指导，学生探讨分析，教师点拨指导． 由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力． 使学生进一步理解指数函数的概念.
深化概念 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究（＞1）的图象，用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象 1 2 4 再研究先来研究（0＜＜1）的图象，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象. 1 2 4 从图中我们看出通过图象看出实质是上的讨论：的图象关于轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出的函数图象. 问题：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看（＞1）与两函数图象的特征——关于轴对称. 学生列表计算，描点、作图． 教师动画演示． 学生观察、归纳、总结，教师诱导、点评． 通过列表、计算使学生体会、感受指数函数图象的化趋势，通过描点，作图培养学生的动手实践能力． 不同情况进行对照，使学生再次经历从特殊到一般，由具体到抽象的思维过程．培养学生的归纳概括能力．
应用 举例 例1：（P66 例6）已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求 学生思考、解答、交流，教师巡视，注意个别指导，发现带有普遍性的问题，应及时提到全体学生面前供大家讨论．例1分析：要求再把0，1，3分别代入，即可求得解：将点（3，π），代入 得到， 即， 解得：，于是， 所以，，. 巩固所学知识，培养学生的数形结合思想和创新能力．
归纳 总结 1、理解指数函数2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 . 学生先自回顾反思，教师点评完善． 通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.
课后 作业 作业：2.1 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力
备选例题
例1 指出下列函数哪些是指数函数：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）且.
【分析】 根据指数函数定义进行判断.
【解析】 （1）、（5）、（8）为指数函数；
（2）是幂函数（后面2.3节中将会学习）；
（3）是与指数函数的乘积；
（4）底数，不是指数函数；
（6）指数不是自变量，而底数是的函数；
（7）底数不是常数.
它们都不符合指数函数的定义.
【小结】准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键.
例2 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=的图象的关系，
⑴y=与y=.
⑵y=与y=.
解：⑴作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.25 0.5 1 2 4 8 16
0.5 1 2 4 8 16 32
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象
⑵作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象
小结：⑴当m>0时，将指数函数y=的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象；当m>0时，将指数函数y=的图象向左平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象
0
2.1.2 指数函数及其性质（三）
（一）教学目标
1．知识与技能：
（1）熟练掌握指数函数概念、图象、性质；
（2）掌握指数形式的函数定义域、值域的求法，以及单调性、奇偶性判断；
（3）培养学生数学应用意识
2．过程与方法：
（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理；
（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.
3．情感、态度与价值观
（1） 认识从特殊到一般的研究方法.
（2） 了解数学在生产实际中的应用.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：指数形式的函数图象、性质的应用.
2．教学难点：判断单调性.
（三）教学方法
启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性进行证明，但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有关指数形式的函数变形技巧，以利于下一步判断.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 回顾1.指数函数的定义、图象、性质.2.函数的单调性、奇偶性的定义，及其判定方法.3. 复合函数单调性的判定方法. 老师提问学生回答复合函数y=f［g（x）］是由函数u=g（x）和y=f（u）构成的，函数u=g（x）的值域应是函数y=f（u）的定义域的子集.在复合函数y=f［g（x）］中，x是自变量，u是中间变量.当u=g（x）和y=f（u）在给定区间上增减性相同时，复合函数y=f［g（x）］是增函数；增减性相反时，y=f［g（x）］是减函数. 为学习新课作好了知识上的准备.
应用举例 例1 当a＞1时，判断函数y=是奇函数. 例2 求函数y=（）的单调区间，并证明之. 课堂练习 1. 求函数y=3的单调区间和值域. 2. 设a是实数， 试证明对于任意a,为增函数； 例1师：你觉得应该如何去判断一个函数的奇偶性？ （生口答，师生共同归纳总结） 方法引导：判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是： （1）求出定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若定义域关于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数. （3）若所讨论的函数的定义域关于原点对称，进而讨论f（－x）和f（x）之间的关系. 若f（－x）=f（x），则函数f（x）是定义域上的偶函数；若f（－x）=－f（x），则函数f（x）是定义域上的奇函数；若f（－x）=f（x）且f（－x）=－f（x），则函数f（x）在定义域上既是奇函数又是偶函数. 师：请同学们根据以上方法和步骤，完成例题1. （生完成引发的训练题，通过实物投影仪，交流各自的解答，并组织学生评析，师最后投影显示规范的解答过程，规范学生的解题） 证明：由ax－1≠0，得x≠0， 故函数定义域为{x|x≠0}，易判断其定义域关于原点对称. 又f（－x） === =－f（x），∴f（－x）=－f（x）.∴函数y=是奇函数.例2师：证明函数单调性的方法是什么? （生口答，师生共同归纳总结） 方法引导：（1）在区间D上任取x1＜x2.（2）作差判断f（x1）与f（x2）的大小：化成因式的乘积，从x1＜x2出发去判断.（3）下结论：如果f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在区间D上是增函数；如果f（x1）＞f（x2），则函数f（x）在区间D上是减函数. 解：在R上任取x1、x2，且x1＜x2， 则==（）=（）.∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. 当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，即＞1.∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增. 当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即＜1.∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减. 综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减. 合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题. 解法二、（用复合函数的单调性）： 设： 则：对任意的，有， 又∵是减函数 ∴ ∴在是减函数 对任意的，有， 又∵是减函数 ∴ ∴在是增函数小结：在讨论比较复杂的函数的单调性时，首先根据函数关系确定函数的定义域，进而分析研究函数解析式的结构特征，将其转化为两个或多个简单初等函数在相应区间上的单调性的讨论问题.在该问题中先确定内层函数（）和外层函数（）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.课堂练习答案 1.解：由题意可知，函数y=3的定义域为实数R. 设u=－x2+2x+3（x∈R）， 则f（u）=3u， 故原函数由u=－x2+2x+3与f（u）=3u复合而成.∵f（u）=3u在R上是增函数， 而u=－x2+2x+3=－（x－1）2+4在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.∴y=f（x）在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数. 又知u≤4，此时x=1，∴当x=1时，ymax=f（1）=81，而3＞0，∴函数y=f（x）的值域为（0，81］. 2.分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法 （1）证明：设∈R,且 则 由于指数函数 y=在R上是增函数,且, 所以即<0， 又由>0得+1>0, +1>0 所以<0即 因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数小结：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性 掌握指数形式函数奇偶性的判断. 掌握指数形式函数单调性的判断.
归纳 总结 1.复合函数单调性的讨论步骤和方法；2.复合函数奇偶性的讨论步骤和方法. 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后 作业 作业：2.1 第六课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力
备选例题
例1已知且，讨论的单调性.
【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，
指数，当≥时是减函数，≤时是增函数，
而的单调性又与和两种范围有关，应分类讨论.
【解析】设
，
则当≥时，是减函数，
当≤时，是增函数，
又当时，是增函数，
当时，是减函数，
所以当时，原函数在上是减函数，在上是增函数.
当时，原函数在上是增函数，在上是减函数.
【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.
例2已知函数 求函数的定义域、值域
解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理.
定义域为 R
由得
∵xR, ∴△0, 即 , ∴, 又∵，∴
∴值域为.
2.1.2 指数函数及其性质（二）
（一）教学目标
1．知识与技能：
（1）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.
（2）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；
2．过程与方法：
展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.
（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.
2．教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.
（三）教学方法
采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，利用多媒体教学，使学生通过观察图象，总结出指数函数的性质，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．从而培养学生的观察能力，概括能力.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习指数函数的概念和图象.1.指数函数的定义一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.2.指数函数的图象问题：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 生：复习回顾师：总结完善 复习旧知，为新课作铺垫.
形成概念 图象特征 ＞1 0＜＜1 向轴正负方向无限延伸 图象关于原点和轴不对称 函数图象都在轴上方 函数图象都过定点（0，1） 自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1 师：引导学生观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.生：从渐进线、对称轴、特殊点、图象的升降等方面观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.师：帮助学生完善. 通过分析图象，得到图象特征，为进一步 得到指数函数的性质作准备.
概念深化 函数性质 ＞1 0＜＜1 函数的定义域为R 非奇非偶函数 函数的值域为R+ =1 增函数减函数 ＞0，＞1＞0，＜1 ＜0，＜1＜0，＞1 问题：指数函数（＞0且≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系. 生：从定义域、值域、定点、单调性、范围等方面研究指数函数的性质.师：帮助学生完善. 师：画出几个提出问题.生：画出几个底数不同的指数函数图象，得到指数函数（＞0且≠1），当底数越大时，在第一象限的函数图象越高.（底大图高） 获得指数函数的性质. 明确底数是确定指数函数的要素.
应用举例 例1 求下列函数的定义域、值域 （1） （2） 课堂练习（P64 2） 例2（P62例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )与 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 课堂练习： 1.已知按大小顺序排列；2. 比较（＞0且≠0）. 例3（P63例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 例1分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象. 解：（1）由得 所以函数定义域为. 由得，所以函数值域为. （2）由得 所以函数定义域为. 由得，所以函数值域为. 例2解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5, 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以 .解法2：用计算器直接计算： 所以，解法3：由函数的单调性考虑因为指数函数在R上是增函数，且2.5＜3，所以，仿照以上方法可以解决第（2）小题 .注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合 .由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小 .练习答案 1. ；2. 当时，则.当时，则. 分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题： 1999年底 人口约为13亿经过1年 人口约为13（1+1%）亿经过2年 人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过年 人口约为13(1+1%)亿经过20年 人口约为13(1+1%)20亿解：设今后人口年平均增长率为1%，经过年后，我国人口数为亿，则当=20时，答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间后总量，＞0且≠1）的函数称为指数型函数 . 掌握指数函数的应用.
归纳总结 本节课研究了指数函数性质及其应用，关键是要记住＞1或0＜＜1时的图象，在此基础上研究其性质 . 本节课还涉及到指数型函数的应用，形如（a＞0且≠1）. 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后作业 作业：2.1 第五课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力
备选例题
例1 求下列函数的定义域与值域
（1）；
（2）；
（3）；
【分析】由于指数函数且的定义域是，所以函数（且）与函数的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域.
【解析】（1）令得
定义域为且.
，
∴的值域为且.
（2）定义域为.
≥0，
≥
故的值域为≥.
（3）定义域为.
且.
故的值域为.
【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.
例2用函数单调性定义证明a＞1时，y = ax是增函数.
【解析】设x1，x2∈R且x?1＜x2，并令x2 = x1 + h (h＞0，h∈R)，
则有，
∵a＞1，h＞0，∴，
∴，即
故y = ax (a＞1)为R上的增函数，
同理可证0＜a＜1时，y = ax是R上的减函数.
