2.2.1对数与对数运算（一）
（一）教学目标
1．知识技能：
①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
②理解和掌握对数的性质；
③掌握对数式与指数式的关系 .
2. 过程与方法：
通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 .
3．情感、态度、价值观
（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.
（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .
（3）在学习过程中培养学生探究的意识.
（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.
（二）教学重点、难点
（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质
（2）难点：推导对数性质的
（三）教学方法
启发式
启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.
引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 1．提出问题（P72思考题）中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？即：在个式子中，分别等于多少？象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）. 老师提出问题，学生思考回答.启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数， 由实际问题引入，激发学生的学习积极性.
概念形成 合作探究：若1.01x=，则x称作是以1.01为底的的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.举例：如：，读作2是以4为底，16的对数.，则，读作是以4为底2的对数. 合作探究师：适时归纳总结，引出对数的定义并板书. 让学生经历从“特殊一一般”，培养学生“合情推理”能力，有利于培养学生的创造能力．
概念深化 1. 对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制＞0，且≠1（2）指数式对数式幂底数←→对数底数指 数←→对数幂 ←N→真数说明：对数式可看作一记号，表示底为（＞0，且≠1），幂为N的指数工表示方程（＞0，且≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为（＞0，且≠1）幂为N，求幂指数的运算. 因此，对数式又可看幂运算的逆运算.2. 对数的性质：提问：因为＞0，≠1时，则 由１、0=1 ２、1= 如何转化为对数式②负数和零有没有对数？③根据对数的定义，=？（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）由以上的问题得到① （＞0，且≠1）② ∵＞0，且≠1对任意的力，常记为. 恒等式：=N3. 两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，常记为.② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，常记为.以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即. 掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算. 通过本环节的教学，培养学生的用联系的关点观察问题.
应用举例 例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625；（2）2－6=；（3）（）m=5.73；（4）log16=－4；（5）lg0.01=－2；（6）ln10=2.303. 例2：求下列各式中x的值（1） （2） （3） （4） 课本P74练习第1，2，3，4题. 例1分析：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.（生口答，师板书）解：（1）log5625=4；（2）log2=－6；（3）log5.73=m；（4）（）－4=16；（5）10－2=0.01；（6）e2.303=10. 例2分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：（1）（2） （3） （4） 所以 练习（生完成，师组织学生进行课堂评价）解答：1.（1）log28=3；（2）log232=5；（3）log2=－1；（4）log27=－. 2.（1）32=9；（2）53=125；（3）2－2=；（4）3－4=. 3.（1）设x=log525，则5x=25=52，所以x=2；（2）设x=log2，则2x==2－4，所以x=－4；（3）设x=lg1000，则10x=1000=103，所以x=3；（4）设x=lg0.001，则10x=0.001=10－3，所以x=－3. 4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5. 通过这二个例题的解答，巩固所学的指数式与对数式的互化，提高运算能力．
归纳总结 1.对数的定义及其记法； 2.对数式和指数式的关系； 3.自然对数和常用对数的概念. 先让学生回顾反思，然后师生共同总结，完善． 巩固本节学习成果，形成知识体系.
课后作业 作业：2.2 第一课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力
备选例题
例1 将下列指数式与对数式进行互化.
（1） （2） （3） （4）
【分析】利用ax = Nx = logaN，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式.
【解析】（1）∵，∴x =64
（2）∵，∴
（3）∵，∴
（4）∵logx64 = –6，∴x－6 = 64.
【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义ab = Nb = logaN进行转换即可.
例2 求下列各式中的x.
（1）；
（2）；
（3）；
【解析】（1）由
得= 2–2，即 .
（2）由，得，
∴.
（3）由log2 (log5x) = 0得log5x = 20 = 1.
∴x = 5.
【小结】（1）对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.
（2）第（3）也可用对数性质求解.如（3）题由log2(log5x) = 0及对数性质loga1=0.
知log?5?x = 1，又log55 = 1. ∴x = 5.
2.2.1对数与对数运算（三）
（一）教学目标
1．知识与技能：
（1）掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.
（2）能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.
2．过程与方法：
（1）结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想.
（2）通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.
（3）通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.
3．情感、态度与价值观
（1）通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.
（2）在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：
（1）换底公式及其应用.
（2）对数的应用问题.
2．教学难点：
换底公式的灵活应用.
（三）教学方法
启发引导式
通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？ 师：从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数. 产生认知冲突，激发学生的学习欲望.
概念形成 1. 探求换底公式，明确换底公式的意义和作用. 例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算x=log1.01的值，利用换底公式与对数的运算性质，可得x=log1.01==≈=32.8837≈33（年）.由此可得，如果人口年增长率控制在1%，那么从2000年初开始，大约经过33年，即到2032年底我国的人口总数可达到18亿. 师：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）.（师生讨论并完成）当a＞0，且a≠1时，若ab=N， ①则logaN=b. ②在①的两边取以c（c＞0，且c≠1）为底的对数，则logcab=logcN，即blogca=logcN.∴b=. ③由②③得logaN=（c＞0，且c≠1）.一般地，logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0），这个公式称为换底公式. 推导换底公式
应用举例 （多媒体显示如下例题，生板演，师组织学生进行课堂评价）例1 计算：（1）log34·log48·log8m=log416，求m的值.（2）log89·log2732.（3）（log25+log4125）·. 合作探究：现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题.例2 20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）. 例3 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代. 课堂练习1.课本P79练习第4题. 2.在，，log，logan，（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，ab≠1，n∈N）中和logab相等的有 A.2个 B.3个 C.4个 D.1个 3.若log34·log48·log8m=log42，求m. 4.（1）已知log53=a，log54=b，试用a、b表示log2512；（2）已知log1227=a，求log616. 例1分析：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.（1）解：原方程等价于××=2，即log3m=2，∴m=9.（2）解法一：原式=·=·=.解法二：原式=·=·=.（3）解：原式=（log25+log25）·=log225·log52=log25·log52=log25·log52=.小结（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质logMn=logaM及换底公式logaN=.利用换底公式可以证明：logab=，即logablogba=1. 例2解：（1）M=lg20－lg0.001 =lg=lg20000=lg2+lg104≈4.3.因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.（2）由M=lgA－lgA0可得M=lg=10MA=A0·10M.当M=7.6时，地震的最大振幅为A1=A0·107.6；当M=5时，地震的最大振幅为A2=A0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是==107.6－5=102.6≈398.答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.合作探究：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以，7.6级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.例3解：我们先推算生物死亡t年后每克组织中的碳14含量.设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：死亡年数t 1 2碳14含量Pxx23 …t …x3 …xt …因此，生物死亡t年后体内碳14的含量P=xt.由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，所以=x5730，于是x==（），这样生物死亡t年后体内碳14的含量P=（）.由对数与指数的关系，指数式P=（）可写成对数式t=logP.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，即P=0.767，那么t=log0.767，由计算器可得t≈2193.所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址.课堂练习答案 1.（1）1；（2）1；（3）.2. A3. .4. （1）.（2）. 掌握换底公式的应用. 掌握利用对数知识解决实际问题.
归纳总结 1.换底公式及其应用条件（注意字母的范围）. 2.解决实际问题的一般步骤： 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后作业 作业：2.2 第三课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力
备选例题
例1 已知log189 = a，18b = 5，求log3645.
【解析】方法一：∵log189 = a，18b = 5，
∴log185 = b，
于是
=
=.
方法二：∵log189 = a，18b = 5，
∴lg9 = alg18，lg5 = blg8，
∴
=.
【小结】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质；
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数与对数互化，统一成一种形式.
例2 我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y = 10lg. 这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0 = 10－12w/m2，当I = I0时，y = 0，即dB = 0.
（1）如果I = 1w/m2，求相应的分贝值；
（2）70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的多少倍？
【解析】（1）∵I=1w/m2，
∴y =10lg
（2）由70 = 10lg，即，∴，
又60 = 10lg，即lg=6，∴=106.
∴=10，即I = 10I′
答： （1）I = 1w/m2，相应的分贝值为；
（2）70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的10倍
2.2.1对数与对数运算（二）
（一）教学目标
1．知识与技能：理解对数的运算性质．
2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3．情感、态态与价值观
通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．
（二）教学重点、难点
1．教学重点：对数运算性质及其推导过程.
2．教学难点： 对数的运算性质发现过程及其证明.
（三）教学方法
针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习：对数的定义及对数恒等式 （＞0，且≠1，N＞0），指数的运算性质. 学生口答，教师板书． 对数的概念和对数恒等式是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备．
提出问题 探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道，那如何表示，能用对数式运算吗？如：.于是 由对数的定义得到即：同底对数相加，底数不变，真数相乘提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？ 学生探究，教师启发引导．
概念形成 （让学生探究，讨论）如果＞0且≠1，M＞0，N＞0，那么：（1）（2）（3）证明：（1）令 则： 又由即：（3） 即当=0时，显然成立. 让学生多角度思考，探究，教师点拨．让学生讨论、研究，教师引导． 让学生明确由“归纳一猜想”得到的结论不一定正确，但是发现数学结论的有效方法，让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略．通过这一环节的教学，训练学生思维的广阔性、发散性，进一步加深学生对字母的认识和利用，体会从“变”中发现规律．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．
概念深化 合作探究：1. 利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？ 2. 性质能否进行推广？ （师组织，生交流探讨得出如下结论）底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.（生交流讨论）性质（1）可以推广到n个正数的情形，即 loga（M1M2M3…Mn）=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn（其中a＞0，且a≠1，M1、M2、M3…Mn＞0）.
应用举例 例1 用，，表示下列各式（1） （2） 例2 求下列各式的值.（1） （2） 例3计算：（1）lg14－2lg+lg7－lg18；（2）；（3）. 课本P79练习第1，2，3. 补充练习：若a＞0，a≠1，且x＞y＞0，N∈N，则下列八个等式：①（logax）n=nlogx；②（logax）n=loga（xn）；③－logax=loga（）；④=loga（）；⑤=logax；⑥logax=loga；⑦an=xn；⑧loga=－loga.其中成立的有________个. 学生思考，口答，教师板演、点评．例1分析：利用对数运算性质直接化简.（1） （2） =小结：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式. 例2解（1）（2）例3（1）解法一：lg14－2lg+lg7－lg18 =lg（2×7）－2（lg7－lg3）+lg7－lg（32×2） =lg2+lg7－2lg7+2lg3+lg7－2lg3－lg2=0.解法二：lg14－2lg+lg7－lg18=lg14－lg（）2+lg7－lg18=lg=lg1=0.（2）解：===.（3）解：===.小结：以上各题的解答，体现对数运算法则的综合运用，应注意掌握变形技巧，每题的各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系，要避免错用对数运算性质.课本P79练习第1，2，3.答案：1.（1）lg（xyz）=lgx+lgy+lgz；（2）lg=lg（xy2）－lgz =lgx+lgy2－lgz =lgx+2lgy－lgz；（3）lg=lg（xy3）－lg =lgx+lgy3－lgz =lgx+3lgy－lgz；（4）lg=lg－lg（y2z） =lgx－lgy2－lgz =lgx－2lgy－lgz. 2.（1）7；（2）4；（3）－5；（4）0.56. 3.（1）log26－log23=log2=log22=1；（2）lg5－lg2=lg；（3）log53+log5=log53×=log51=0；（4）log35－log315=log3 =log3=log33－1=－1.补充练习答案：4 通过例题的解答，巩固所学的对数运算法则，提高运算能力．
归纳总结 1.对数的运算性质. 2.对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；（2）要避免错用对数运算性质. 3.对数和指数形式比较：式子ab=N名称a——幂的底数b——幂的指数N——幂值运算性质am·an=am+nam÷an=am－n（am）n=amn（a＞0，且a≠1，m、n∈R）式子logaN=b名称a——对数的底数b——以a为底的N的对数N——真数运算性质loga（MN）=logaM+logaNloga=logaM－logaNlogaMn=nlogaM（n∈R）（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0） 学生先自回顾反思，教师点评完善． 通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.
课后作业 作业：2.1 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力
备选例题
例1 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【解析】（1）方法一：
原式=
=
=
=.
方法二：原式=
=
=.
（2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2
=2lg10 + (lg5 + lg2)2
= 2 + (lg10)2
= 2 + 1 = 3.
【小结】易犯lg52 = (lg5)2的错误.
这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1.
例2：（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg；
（2）设logax = m，logay = n，用m、n表示；
（3）已知lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc，求x.
【分析】由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.
【解析】（1）
0.4771+0.5 – 0.1505
= 0.8266
（2）
（3）由已知得：
，
∴.
【小结】①比较已知和未知式的真数，并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、乘方表示是解题的关键，并且应注意对数运算法则也是可逆的；②第（3）小题利用下列结论：同底的对数相等，则真数相等. 即logaN = logaMN = M.
