2.2.2 对数函数及其性质（一）
（一）教学目标
1．知识技能
（1）理解对数函数的概念.
（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
2．过程与方法
（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.
（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.
3．情感、态度与价值观
（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.
（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.
（二）教学重点、难点
1、重点：
（1）对数函数的定义、图象和性质；
（2）对数函数性质的初步应用.
2、难点：底数a对图象的影响.
（三）教学方法
通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 师：如2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t=logP估算出土文物或古遗址的年代.根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系t=logP，都有唯一确定的年代t与它对应，所以，t是P的函数. 师：你能据此得到此类函数的一般式吗？生：y=logax.师：这样就得到了我们生活中的又一类与指数函数有着密切关系的函数模型——对数函数.这就是我们下面将要研究的知识. 由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．
概念形成 对数函数概念一般地，函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y=logax的定义域是（0，+∞），值域是R.探究：（1）在函数的定义中，为什么要限定＞0且≠1．（2）为什么对数函数（＞0且≠1）的定义域是（0，+∞）． 组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.生答：①根据对数与指数式的关系，知可化为，由指数的概念，要使有意义，必须规定＞0且≠1．②因为可化为，不管取什么值，由指数函数的性质，＞0，所以． 掌握对数函数概念
概念深化 1. 对数函数的图象.借助于计算器或计算机在同一坐标系中画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，探求它们之间的关系.（1）y=2x，y=log2x；（2）y=（）x，y=logx.2.当a＞0，a≠1时，函数y=ax，y=logax的图象之间有什么关系？ 对数函数图象有以下特征图象的特征 （1）图象都在轴的右边 （2）函数图象都经过（1，0）点 （3）从左往右看，当＞1时，图象逐渐上升，当0＜＜1时，图象逐渐下降 . （4）当＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 . 对数函数有以下性质 0＜a＜1a＞1图 象定义域（0，+∞）值域R性 质（1）过定点（1，0），即x=1时，y=0（2）在（0，+∞）上是减函数（2）在（0，+∞）上是增函数 师：用多媒体演示函数图象，揭示函数y=2x，y=log2x图象间的关系及函数y=（）x，y=logx图象间的关系.学生讨论总结如下结论.（1）函数y=2x和y=log2x的图象关于直线y=x对称；（2）函数y=（）x和y=logx的图象也关于直线y=x对称.一般地，函数y=ax和y=logax（a＞0，a≠1）的图象关于直线y=x对称. 师生共同分析所画的两组函数的图象，总结归纳对数函数图象的特征，进一步推出对数函数性质. 由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力． 掌握对数函数图象特征，以及性质.
应用 举例 例1 求下列函数的定义域：（1）y=logax2；（2）y=loga（a＞0，a≠1）. 例2 求证：函数f（x）=lg是奇函数. 例3 溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH=－lg［H+］，其中［H+］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H+］=10－7摩尔/升，计算纯净水的pH. 课堂练习课本第85页练习1，2. 例1分析：求函数定义域时应从哪些方面来考虑？学生回答：①分母不能为0；②偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义.④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.（师生共同完成该题解答，师规范板书）解：（1）由x2＞0，得x≠0.∴函数y=logax2的定义域是{x|x≠0}.（2）由题意可得＞0，又∵偶次根号下非负，∴x－1＞0，即x＞1.∴函数y=loga（a＞0，a≠1）的定义域是{x|x＞1}.小结：求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.例2分析：根据函数奇偶性的定义来证明.证明：设f（x）=lg，由＞0，得x∈（－1，1），即函数的定义域为（－1，1），又对于定义域（－1，1）内的任意的x，都有f（－x）=lg=－lg=－f（x），所以函数y=lg是奇函数.注意：函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定，而必须进行严格的演算才能得出正确的结论.例3解：根据对数的运算性质，有pH=－lg［H+］=lg［H+］－1=lg.在（0，+∞）上，随着［H+］的增大，减小，相应地，lg也减小，即pH减小.所以，随着［H+］的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小.（2）当［H+］=10－7时，pH=－lg10－7，所以纯净水的pH是7.事实上，食品监督监测部门检测纯净水的质量时，需要检测很多项目，pH的检测只是其中一项.国家标准规定，饮用纯净水的pH应该在5.0～7.0之间.课堂练习答案1.函数y=log3x及y=logx的图象如图所示.相同点：图象都在y轴的右侧，都过点（1，0）.不同点：y=log3x的图象是上升的，y=logx的图象是下降的.关系：y=log3x和y=logx的图象关于x轴对称. 2.（1）（－∞，1）；（2）（0，1）∪（1，+∞）；（3）（－∞，）；（4）［1，+∞）. 掌握对数函数知识的应用.
归纳 总结 1.对数函数的定义. 2.对数函数的图象和性质. 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后 作业 作业：2.2 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力
备选例题
例1 求函数的定义域.
【解析】由，
得.
∴所求函数定义域为{x| –1＜x＜0或0＜x＜2}.
【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.
例2 求函数y = log2|x|的定义域，并画出它的图象.
【解析】函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}.
函数解析式可化为y =，
其图象如图所示（其特征是关于y轴对称）.
0
1 2
x
y
–2
·
·
·
·
·
·
–1
2.2.2 对数函数及其性质（三）
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.
（2）能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质.
2．过程与方法
（1）熟练利用对数函数的性质进行演算，通过交流，使学生学会共同学习.
（2）综合提高指数、对数的演算能力.
（3）渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想.
3. 情感、态度、价值观
（1）用联系的观点分析、解决问题.
（2）认识事物之间的相互转化.
（3）加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力.
（二）教学重点、难点
重点：对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.
难点：反函数概念的理解.
（三）教学方法
通过对应关系与图象的对称性，理解同底的对数函数与指数函数互为反函数.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1.复习函数及反函数的定义域、值域、图象之间的关系.2.指数式与对数式比较.3.画出函数y=2x与函数y=log2x的图象. 老师提问，学生回答. 为学习新知作准备.
形成概念 反函数概念指数函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数. 课堂练习：求下列函数的反函数：（1）y=0.2－x+1；（2）y=loga（4－x）. 师：在指数函数y=2x中，x为自变量（x∈R），y是x的函数（y∈（0，+∞）），而且它是R上的单调递增函数.可以发现，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点.另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式y=2x可得到对数式x=log2y.这样，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时我们就说x=log2y（y∈（0，+∞））是函数y=2x（x∈R）的反函数.师：请同学仿照上述过程，说明对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）和指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）互为反函数.生：在函数x=logay中，y是自变量，x是函数.但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此，我们常对调函数x=logay中的字母x、y，把它写成y=logax.这样，对数函数y=logax（x∈（0，+∞））是指数函数y=ax（x∈R）的反函数.由上述讨论可知，对数函数y=logax（x∈（0，+∞））是指数函数y=ax（x∈R）的反函数；同时，指数函数y=ax（x∈R）也是对数函数y=logax（x∈（0，+∞））的反函数.因此，指数函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.课堂练习答案（1）；（2） 理解反函数的概念.
应用举例 例1 已知函数y=loga（1－ax）（a＞0，a≠1）.（1）求函数的定义域与值域；（2）求函数的单调区间；（3）证明函数图象关于y=x对称. 例2 已知函数f（x）=（）x（x＞0）和定义在R上的奇函数g（x）.当x＞0时，g（x）=f（x），试求g（x）的反函数. 例3 探究函数y=log3（x+2）的图象与函数y=log3x的图象间的关系. 例1分析：有关于对数函数的定义域要注意真数大于0；函数的值域取决于1－ax的范围，可应用换元法，令t=1－ax以减小思维难度；运用复合函数单调性的判定法求单调区间；函数图象关于y=x对称等价于原函数的反函数就是自身，本题要注意对字母参数a的范围讨论.解：（1）1－ax＞0，即ax＜1，∴a＞1时，定义域为（－∞，0）；0＜a＜1时，定义域为（0，+∞）.令t=1－ax，则0＜t＜1，而y=loga（1－ax）=logat.∴a＞1时，值域为（－∞，0）；0＜a＜1时，值域为（0，+∞）.（2）∵a＞1时，t=1－ax在（－∞，0）上单调递减，y=logat关于t单调递增，∴y=loga（1－ax）在（－∞，0）上单调递减.∵0＜a＜1时，t=1－ax在（0，+∞）上单调递增，而y=logat关于t单调递减，∴y=loga（1－ax）在（0，+∞）上单调递减.（3）∵y=loga（1－ax），∴ay=1－ax.∴ax=1－ay，x=loga（1－ay）.∴反函数为y=loga（1－ax），即原函数的反函数就是自身.∴函数图象关于y=x对称. 例2分析：分段函数的反函数应注意分类讨论.由于f（x）为奇函数，故应考虑x＞0，x＜0，x=0三种情况.解：∵g（x）是R上的奇函数，∴g（－0）=－g（0），g（0）=0.设x＜0，则－x＞0，∴g（－x）=（）－x.∴g（x）=－g（－x）=－（）－x=－2x.∴g（x）= 当x＞0时，由y=（）x得0＜y＜1且x=logy，∴g－1（x）=logx（0＜x＜1＝；当x=0时，由y=0，得g－1（x）=0（x=0）；当x＜0时，由y=－2x，得－1＜y＜0，且x=log2（－y），∴g－1（x）=log2（－x）（－1＜x＜0＝.综上，g（x）的反函数为g－1（x）= 例3分析：函数的图象实际上是一系列点的集合，因此研究函数y=log3（x+2）的图象与函数y=log3x的图象间的关系可以转化为研究两个函数图象上对应点的坐标之间的关系. 解：将对数函数y=log3x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y=log3（x+2）的图象.小结：由函数y=f（x）的图象得到函数y=f（x+a）的图象的变化规律为：当a＞0时，只需将函数y=f（x）的图象向左平移a个单位就可得到函数y=f（x+a）的图象；当a＜0时，只需将函数y=f（x）的图象向右平移|a|个单位就可得到函数y=f（x+a）的图象.（2）由函数y=f（x）的图象得到函数y=f（x）+b的图象的变化规律为：当b＞0时，只需将函数y=f（x）的图象向上平移b个单位就可得到函数y=f（x）+b的图象；当b＜0时，只需将函数y=f（x）的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y=f（x）+b的图象. 进一步掌握对数函数的应用. 掌握根据奇偶性求函数表达式. 掌握函数图象之间的变换关系
归纳总结 （1）指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称. （2）求对数函数的定义域、值域、单调区间、及奇偶性的判定都依赖于定义法、数形结合及函数本身的性质.应熟练掌握对数函数的相关性质. 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后作业 作业：2.2 第六课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力
备选例题
例1 函数的反函数的图象经过点（1，4），求的值.
【解析】根据反函数的概念，知函数
的反函数的图象经过点（4，1），
∴，
∴.
【小结】若函数的图象经过点
，则其反函数的图象经过点.
例2 求函数y = log4 (7 + 6 x – x2)的单调区间和值域.
【分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域.
【解析】由7 + 6 x – x2＞0，得(x – 7) (x + 1)＜0，解得–1＜x＜7.
∴函数的定义域为{x|–1＜x＜7.
设g (x) = 7 + 6x – x2 = – (x – 3)2 + 16. 可知，x＜3时g (x)为增函数，x＞3时，g (x)为减函数.
因此，若–1＜x1＜x2＜3. 则g (x1)＜g (x2)
即7 + 6x1 – x12＜7 + 6x2 – x22，
而y = log4x为增函数.
∴log4 (7 + 6 x1 – x12)＜log4 (7 + 6x2 – x22)，
即y1＜y2.
故函数y = log4 (7 + 6x – x2)的单调增区间
为(–1, 3)，
同理可知函数y = log4 (7 + 6x – x2)的单调减区
间为(3, 7).
又g (x) = – (x – 3)2 + 16在(–1, 7)上的值域为
(0, 16.
所以函数y = log4(7 + 6x – x2)的值域为
(–∞, 2.
【小结】我们应明白函数的单调区间必须使函数有意义. 因此求函数的单调区间时，必先求其定义域，然后在定义域内划分单调区间. 求函数最值与求函数的值域方法是相同的，应用函数的单调性是常用方法之一.
2.2.2 对数函数及其性质（二）
（一）教学目标
1．知识技能
（1）掌握对数函数的单调性.
（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.
2．过程与方法
（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.
（2）培养学生的数学应用的意识.
3．情感、态度与价值观
（1）用联系的观点分析、解决问题.
（2）认识事物之间的相互转化.
（二）教学重点、难点
1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.
2、难点：不同底数的对数比较大小.
（三）教学方法
启发式教学
利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分和两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中含有字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.
对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 回顾对数函数的定义、图象、性质. 师：上一节，大家学习了对数函数y=logax的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题. 为学习新课作好了知识上的准备.
应用举例 例1 比较下列各组数中两个值的大小：（投影显示）（1）log23.4，log23.8；（2）log0.51.8，log0.52.1；（3）loga5.1，loga5.9；（4）log75，log67.请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小的方法和步骤，并完成以下练习.（生板演前三题，师组织学生进行课堂评价，师生共同讨论完成第四题） 例2 判断函数f（x）=ln（－x）的奇偶性. 例3（1）证明函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数；（2）问：函数f（x）=log2（x2+1）在（－∞，0）上是减函数还是增函数？ 例4 已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1.（1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数. 课堂练习课本P85练习3. 例1解：（1）对数函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，且3.4＜3.8.于是log23.4＜log23.8.（2）对数函数y=log0.5x在（0，+∞）上是减函数，且1.8＜2.1，于是log0.51.8＞log0.52.1.（3）当a＞1时，对数函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，对数函数y=logax在（0，+∞）上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.（4）因为函数y=log7x和函数y=log6x都是定义域上的增函数，所以log75＜log77=1=log66＜log67.所以log75＜log67.小结：本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较. 例2解：∵＞x恒成立，故（x）的定义域为（－∞，+∞），又∵f（－x）=ln（+x） =－ln =－ln =－ln（－x） =－f（x），∴f（x）为奇函数.在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f（x）和f（－x）之间的关系.f（x）为奇函数f（－x）=－f（x）f（x）+f（－x）=0=－1〔f（x）≠0〕，f（x）为偶函数f（－x）=f（x）f（－x）－f（x）=0=1〔f（x）≠0〕.在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断. 例3分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.（1）证明：设x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=log2（x12+1）－log2（x22+1），∵0＜x1＜x2，∴x12+1＜x22+1.又∵y=log2x在（0，+∞）上是增函数，∴log2（x12+1）＜log2（x22+1），即f（x1）＜f（x2）.∴函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）上是增函数.（2）解：是减函数，证明可以仿照上述证明过程.小结：利用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法. 例4分析：利用换元法，可令t=logax，求出f（x），从而求出f（x）.证明奇函数及增函数可运用定义.（1）解：设t=logax，则t∈R，∴x=at（x＞0）.则f（t）==（at－a－t）.（2）证明：∵f（－x）=（a－x－ax）=－（ax－a－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数.（3）证明：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=[（a－a－）－（a－a－）］ =[（a－a）+a－a－（a－a）］ =（a－a）（1+a－a－）.若0＜a＜1，则a2－1＜0，a＞a，∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数；若a＞1，则a2－1＞0，a＜a.∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数.综上，a＞0，且a≠1时，y=f（x）是增函数.课堂练习答案：（1）＜ （2）＜ （3）＞ （4）＞ 掌握对数函数知识的应用.
归纳 总结 通过本节的学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并能掌握分类讨论思想. 学生先自回顾反思，教师点评完善． 形成知识体系.
课后 作业 作业：2.2 第五课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力
备选例题
例1 比较下列各组数的大小：
（1）log0.7 1.3和log0.71.8；
（2）log35和log64.
（3）(lgn)1.7和(lgn)2 (n＞1)；
【解析】（1）对数函数y = log0.7x在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log0.71.8.
（2）log35和log64的底数和真数
都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.
因为log35＞log33 = 1 = log66＞log64，所以log35＞log64.
（3）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论.
若1＞lnn＞0，即1＜n＜10时，y = (lgn)x在R上是减函数，
所以(lgn)1.7＞(lgn)2；
若lgn＞1，即n＞10时，y = (lgn)2在R上是增函数，
所以(lgn)1.7＜(lgn)2.
若lnn = 1，即n = 10时，(lnn)1.7 = (lnn)2.
【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较. 在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a＞1时是增函数，0＜a＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.
例2 求证：函数f (x) =在(0, 1)上是增函数.
【分析】根据函数单调性定义来证明.
【解析】设0＜x1＜x2＜1，
则f (x2) – f (x1) =
= ∵0＜x1＜x2＜1，
∴＞1，＞1.
则＞0，
∴f (x2)＞f (x1). 故函数f (x)在(0, 1)上是增函数.
