3.1.1 （1） 方程的根与函数的零点
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系.
（2）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想.
2．过程与方法
由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.
3．情感、态度与价值观
在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣.
（二）教学重点与难点
重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法.
难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用.
（三）教学方法
在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 观察下列三组方程与函数方 程 函 数 x2–2x–3 = 0y=x2–2x–3 x2–2x+1 = 0y=x2–2x+1 x2–2x+3 = 0y=x2–2x+3 利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系 师生合作师：方程x2 – 2x –3 = 0的根为–1，3函数y = x2 – 2x – 3与x轴交于点(–1，0) (3，0)生：x2 – 2x + 1 = 0有相等根为1.函数y= x2 – 2x + 1与x轴有唯一交点 (1，0).x2 – 2x + 3 = 0没有实根函数y = x2 – 2x + 3与x轴无交点 以旧引新，导入课题
概念形成 1.零点的概念对于函数y=f (x),称使 y=f (x)= 0的实数x为函数 y=f (x)的零点2.函数的零点与方程根的关系方程f (x) = 0有实数根函数y = f (x)的图象与x轴有交点函数y = f (x)的零点3.二次函数零点的判定对于二次函数y = ax2 + bx + c与二次方程ax2 + bx + c，其判别式△= b2 – 4ac判别式 方程ax2 + bx + c = 0的根 函数y = ax2 + bx + c的零点 △＞0 两不相等实根 两个零点 △=0 两相等实根 一个零点 △＜0 没有实根 0个零点 师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数的零点,请同学归纳零点的定义师：考察函数①y = lgx②y = lg2(x + 1) ③y = 2x④y = 2x – 2的零点生：①y = lgx的零点是x = 1②y = lg2(x + 1)的零点是x=0③y = 2x没有零点④y = 2x – 2的零点是x = 1 归纳总结感知概念分析特征形成概念
概念深化 引导学生回答下列问题①如何求函数的零点？②零点与图象的关系怎样？ 师生合作，学生口答，老师点评，阐述生①零点即函数为零对应的自变量的值,零点即对应方程的根②零点即函数图象与x轴交点的横坐标③求零点可转化为求方程的根 以问题讨论代替老师的讲援
应用举例 练习1.求函数y = –x2 – 2x + 3的零点，并指出y＞0，y = 0的x的取值范围 练习2.求函数y =x3 – 2x2 – x + 2的零点，并画出它的图象 练习3.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1） –x2+3x+5 = 0；（2）2x (x–2) = –3； （3）x2 = 4x – 4； （4）5x2+2x=3x2+5. 学生自主尝试练习完成练习1、2、3 生：练习1解析：零点–3，1x∈(–3，1)时y＞0时y＜0 练习2解析：因为x3–2x2–x+2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x–2) (x2–1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1)， 所以已知函数的零点为–1，1，2. 3个零点把x轴分成4个区间：，[–1，1]，[1，2]， 在这4个区间内，取x的一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表：x …–1.5–1–0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y …–4.38 0 1.88 2 1.13 0–0.63 0 2.63 … 在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示 练习3解析：（1）令f (x) = –x2 + 3x + 5，作出函数f (x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程–x2 + 3x + 5 = 0有两个不相等的实数根. （2）2x (x – 2) = –3可化为2x2–4x+3=0 令f (x) = 2x2–4x+3作出函数f (x)的图象，它与x轴没有交点，所以方程2x (x – 2) = –3无实数根 （3）x2 = 4x – 4可化为x2 – 4x + 4 = 0,令f (x) = x2 – 4x + 4，作出函数f (x)的图象，它与x轴只有一个交点（相切），所以方程x2 = 4x – 4有两个相等的实数根 （4）5x2+2x=3x2+5可化为2x2 + 2x – 5 = 0，令f (x) = 2x2 + 2x–5，作出函数f (x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根 师：点评板述练习的解答过程 让学生动手练习或借助多媒体演示，加深对概念的说明，培养思维能力
归纳总结 （1）知识方面 零点的概念、求法、判定 （2）数学思想方面 函数与方程的相互转化，即转化思想 借助图象探寻规律，即数形结合思想 学生归纳，老师补充、点评、完善 回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力
课后作业 3.1 第一课时 习案 学生独立完成 固化知识，提升能力
备选例题
例：已知a∈R讨论关于x的方程|x2 – 6x + 8| = a的实数解的个数.
【解析】令f (x) = |x2 – 6x + 8|，g (x) = a，在同一坐标系中画出f (x)与g (x)的图象，如图所示，
f (x) = | (x – 3)2 – 1|，
下面对a进行分类讨论，由图象得，
当a＜0时，原方程无实数解；
当a = 0时，原方程实数解的个数为3；
当0＜a＜1时，原方程实数解的个数为4；
当a＞1或a = 0时，原方程实数解的个数为2.
3.1.1（2） 函数零点的存在性定理
（一）教学目标
1．知识与技能
体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间.
2．过程与方法
经历由特殊到一般的过程，在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养成研究问题的良好的思维习惯.
3．情感、态度与价值观
经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程，学会观察问题，发现问题，从而解决问题；养成良好的科学态度，享受探究数学知识的乐趣.
（二）教学重点与难点
重点：掌握零点存在性定理并能应用.
难点：零点存在性定理的理解
（三）教学方法
通过问题发现生疑，通过问题解决析疑，从而获取知识形成能力；应用引导与动手尝试结合教学法，即学生自主探究与教师启发，引导相结合.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习回顾提出问题 1．函数零点的概念2．函数零点与方程根的关系3．实例探究已知函数y= x2+4x– 5，则其零点有几个？分别为多少？ 生：口答零点的定义，零点与根的关系师：回顾零点的求法生：函数y= x2+4x– 5的零点有2个，分别为–5，1 回顾旧知，引入新知
示例探究引入课题 1．探究函数y = x2 + 4x – 5的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的关系 师：引导学生利用图象观察零点的所在区间，说明区间端一般取整数.生：零点–5∈(–6，–4)零点1∈(0，2)且f (–6)·f (–4)＜0f (0)·f (2)＜0师：其它函数的零点是否具有相同规律呢？观察下列函数的零点及零点所在区间.①f (x) = 2x – 1，②f (x) = log2(x – 1)生：函数f (x) = 2x – 1的零点为且f (0) f (1)＜0.函数f (x) = log2(x – 1)的零点为2∈(1，3)且f (1) f (3)＜0 由特殊到一般，归纳一般结论，引入零点存在性定理
发现定理 零点存在性定理如果函数y = f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)＜0那么，函数y = f (x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根 师生合作分析，并剖析定理中的关键词①连续不断②f (a)·f (b)＜0师：由于图象连续不断，若f (a)＞0，f (b)＜0，则y = f (x)的图象将从x轴上方变化到下方，这样必通过x轴，即与x轴有交点 形成定理，分析关键词，了解定理.
深化理解 定理的理解（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 师：函数y = f (x) = x2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点.②有1个零点，分别求a的取值范围.生：①f(x)在(0，1)内有2个零点，则其图象如下则②f(x)在(0，3)内有1个零点则 通过实例分析，从而进一步理解定理，深化定理.
应用举例 例1 求函数f (x) = lnx + 2x – 6的零点的个数. 师生合作探求解题思路，老师板书解答过程例1 解：用计算器或计算机作出x，f (x)的对应值表和图象.x1 23 4 5 f (x)–4–1.0369 1.0986 3.3863 5.6094 x6 7 8 9 f (x)7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 由表和图可知，f (2)＜0，f (3)＞0，则f (2)· f (3)＜0，这说明函数f (x)在区间(2，3)内有零点.由于函数f (x)在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点. 师生合作交流，体会定理的应用
练习巩固 练习1.利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f (x) = –x3 –3x + 5； （2）f (x) = 2x·ln(x – 2) – 3； （3）f (x) =ex–1 + 4x – 4； （4）f (x) = 3 (x + 2) (x – 3) (x + 4) + x. 学生尝试动手练习，老师借助计算机作图，师生合作交流分析，求解问题.练习1解：（1）作出函数图象，因为f (1) = 1＞0，f (1,5 ) = –2.875＜0所以f (x) = –x3 –3x + 5在区间(1，1.5)上有一个零点. 又因为 f(x)是上的减函数，所以f(x) = –x3 –3x + 5在区间(1，1.5)上有且只有一个零点. （2）作出函数图象，因为f(3)＜0，f(4)＞0，所以f(x)=2x·ln(x–2) –3在区间(3，4)上有一个零点. 又因为f(x)=2x·ln(x–2) –3在上是增函数，所以f(x) 在上有且仅有一个(3，4)上的零点 （3）作出函数图象，因为f(0)＜0，f(1)＞0，所以f (x) =ex–1 + 4x – 4在区间(0，1)上有一个零点 又因为f(x) =ex–1 + 4x – 4在上是增函数，所以f(x)在上有且仅有一个零点. （4）作出函数图象，因为f (–4)＜0，f (–3)＞0，f (–2)＜0，f (2)＜0，f (3)＞0，所以f (x) = 3 (x + 2) (x – 3) (x + 4) + x在(–4，–3)，(–3, –2)，(2，3)上各有一个零点 . 尝试学生动手模仿练习，老师引导、启发，师生合作完成问题求解，从而固化知识与方法，提升思维能力.
归纳总结 1．数形结合探究函数零点 2．应用定理探究零点及存在区间. 3．定理应用的题型：判定零点的存在性及存在区间. 学生总结师生完善补充 学会整理知识，培养自我归纳知识的能力
课后练习 3.1第二课时 习案 学生自主完成 整合知识，提升能力
备选例题
例1 已知集合A = {x∈R|x2 – 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x∈R|x＜0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围.
【解析】设全集U = {a|△= (–4a)2 – 4 (2a + 6)≥0}
=
=
若方程x2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x1，x2均非负，则
因为在全集U中集合的补集为{a|a≤–1}，所以实数a的取值范围是{a|a≤–1}.
例2 设集合A = {x | x2 + 4x = 0，x∈R}，B = {x | x2 + 2 (a + 1) x + a2 – 1 = 0， x∈R}，若A∪B = A，求实数a的值.
【解析】∵A = {x | x2 + 4x = 0，x∈R}，∴A = {–4，0}.
∵A∪B=A，∴BA.
1°当B = A，即B = {–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得
2°当B=，即方程x2 + 2 (a + 1)x + a2 –1 = 0无实解.
∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a2 – 1) = 8a + 8＜0.
解得，a＜–1.
3°当B = {0}，即方程x2 + 2(a + 1)x + a2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，
4°当B = {–4}时，即需
无解.
综上所述，若A∪B=A，则a≤–1或a = 1.
3
y
x
O
