新课标高中数学人教A版必修一教案3.1.2用二分法求方程的近似解（含例题解析）

3.1.2 用二分法求方程的近似解

（一）教学目标
1．知识与技能
掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解.
2．过程与方法
体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想.
3．情感、态度及价值观
在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力.
（二）教学重点与难点
重点：用二分法求方程的近似解；
难点：二分法原理的理解
（三）教学方法
讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题引入课题 1问题：一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式. 求根：如何求得方程的根呢？①函数f (x) = lnx + 2x – 6在区间(2，3)内有零点.②如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.④取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5)≈–0.084.因为f (2.5)·f (3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.再取内间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f (2.75)≈0.512.因为f (2.5)·f (2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.⑤由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.⑥例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5 – 2.531 25| = 0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x = 2.531 25作为函数f (x) = lnx + 2x – 6零点的近似值，也即方程lnx + 2x – 6 = 0根的近似值. 师：怎样求方程lnx + 2x – 6 = 0的根.引导：观察图形生：方程的根在(2，3)区间内师：能否用缩小区间的方法逼近方程的根生：应该可用师：我们现用一种常见的数学方法—二分法，共同探究已知方程的根.师生合作，借助计算机探求方程根的近似值.区间 中点的值 中点函数近似值 (2,3) 2.5–0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.5625 0.066 (2.5,2.5625) 2.53125–0.009 (2.53125,2.5625) 2.546875 0.029 (2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010 (2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001 由旧到新设疑、析疑导入课题，实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法.
形成概念 1．对于区间[a，b]上连续不断且f (a)·f (b)＜0的函数y = f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2．给定精确度，用二分法求函数f (x)零点近似值的步聚如下：（1）确定区间[a，b]，验证f (a)·f (b)＜0，给定精确度；（2）求区间(a，b)的中点c；（3）计算f (c)；①若f (c) = 0，则c就是函数的零点；②若f (a)·f (c)＜0，则令b = c(此时零点x0∈(a，c))；③若f (c)·f (b)＜0，则令a = c(此时零点x0∈(c，b)).（4）判断是否达到精确度：即若|a – b|＜，则得到零点近似值a(或b)；否则重复2~4. 师生合作回顾实例：求方程lnx + 2x – 6 = 0的近似解(精确度0.01)的操作过程.掌握二分法，总结应用二分法的步骤师：讲授二分法的定义.生：总结应用二分法的步骤.学生交流总结，学生代表口述步骤，老师完善并板书. 由特殊到一般形成概念，归纳总结应用二分法的步骤.
应用举例 例1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x + 3x = 7的近似解(精确度0.1). 师生合作应用二分法，遵循二分法的步骤求解，并借助函数图象检验.例1 解：原方程即2x + 3x –7 = 0，令f (x) = 2x + 3x –7，用计算器或计算机作出函数f (x) = 2x + 3x –7的对应值表与图象x 0 1 2 3 4 f(x)=2x+3x–7–6–2 3 10 21 x 5 6 7 8 f(x)=2x+3x–7 40 75 142 273 观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.取区间(1，2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1，1.5).再取(1，1.5)的中点x?2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25，1.5).同理可得x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375) 由于|1.375–1.4375| = 0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375. 尝试体验二分法，培养应用二分法从而固化基本理论技能
巩固练习 1．借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0，1)内的零点(精确度0.1). 2．借助计算器或计算机，用二分法求方程x = 3 – lgx在区间(2，3)内的近似解(精确度0.1). 学生动手尝试练习，师生借助计算机合作完成求解. 1．解：由题设可知f(0)= –1.4＜0，f(1)=1.6＞0， 于是f(0)·f(1)＜0， 所以，函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点. 下面用二分法求函数f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0，1)内的零点 取区间(0，1)的中点x1=0.5，用计算器可算得f(0.5)= –0.55.因为f(0.5)·f(1)＜0， 所以x0∈(0.5，1). 再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75，用计算器可算得f(0.75)≈0.32. 因为f(0.5)·f(0.75)＜0， 所以x0∈(0.5，0.75). 同理可得x0∈(0.625，0.75)，x0∈(0.625，0.6875)，x0∈(0.65625，0.6875) 由于|0.6875–0.65625|=0.3125＜0.1， 所以原方程的近似解可取为0.65625. 2．解原方程即x + lgx– 3 = 0，令f(x) = x + lgx– 3，用计算器可算得f(2)≈–0.70，f(3)≈0.48， 于是f(2)· f(3)＜0， 所以，这个方程在区间(2，3)内有一个解. 下面用二分法求方程x = 3 – lgx在区间(2，3)内的近似解. 取区间(2，3)的中点x1 = 2.5，用计算器可算得f(2.5)≈–0.10. 因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0?∈(2.5，3). 再取区间(2.5，3)的中点x2?? = 2.75，用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0?∈(2.5，2.75). 同理可得x0?∈(2.5，2.625)，x0?∈(2.5625，2.625). 由于|2.625–2.5625|=0.0625＜0.1， 所以原方程的近似解可取为2.5625. 进一步体验二分法，巩固应用二分法的方法与技巧及注意事项.
课后练习 3.1 第三课时 习案 学生独立完成 巩固二分法应用技能
备选例题
例1 用二分法求函数f (x) = x3 – 3的一个正实数零点(精确到0.1).
【解析】由于f (1) = –2＜0，f (2) = 5＞0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点的横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
a0 = 1，b0 = 2 f(1)= –2，f(2)=5 [1，2]
f (x0) = 0.375＞0 [1，1.5]
f (x1) = –1.0469＜0 [1.25，1.5]
f (x2) = –0.4004＜0 [1.375，1.5]
f (x3) = –0.0295＜0 [1.4375，1.5]
f (x4) = 0.1684＞0 [1.4375，1.46875]
f (x5)＞0 [1.4375，1.453125]
x6 = 1.4453125 f (x6)＞0 [1.4375，1.4453125]
由上表的计算可知区间[1.4375，1.4453125]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，所以1.4可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.





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