3.2.1 （1）几种函数增长快慢的比较
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法
（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律
2．过程与方程
利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.
3．情感、态度与价值观
通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.
（二）教学重点与难点
重点：函数增长快慢比较的常用途径；
难点：了解影响函数增长快慢的因素.
（三）教学方法
合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题引入课题 观察函数在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.在同一坐标中函数图象如下 结论：若0＜x＜16则若x＞16则 师：增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同？师生合作观察研究函数的增长快慢.①x∈(0，16)时，的图象在图象上方可知增长较快②时，的图在图象下方，可知增长较快 由问题引入课题，激发学习兴趣.
幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法. 1．实例探究：比较函数y=2x，y= x2，y = log2x的增长快慢.方法：①作图，列表比较、验证②应用二分法求2x = x2的根，即y = 2x与y = x2的交点横坐标.2．规律总结①一般地，对于指数函数y=ax(a＞1)和幂函数y=xn(n＞0)，在区间上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0?，当x＞x0?时，就会有ax＞xn.②对于对数函数y=logax(a＞1)和幂函数y = xn(n＞0)在区间上，随着x的增大，logax增长得越来越慢.在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.③在区间上，尽管函数y = ax(a＞1)，y = logax(a＞1)和y = xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增长，y = ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y = xn(n＞0)的增长速度，而y = logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax. 师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究①列表x0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 y =2x1.149 1.516 2 2.639 3.482 y =x20.04 0.36 1 1.96 3.24 y=log?2?x–2.322–0.737 0 0.485 0.848 x2.2 2.6 3.0 3.4 … y=2x4.595 6.063 8 10.556 … y=x24.84 6.76 9 11.56 … y=log?2?x 1.138 1.379 1.585 1.766 … ②作图③结论x∈R时log2x＜x2，且log2x＜2x.进一步探究y = x2与y = 2x的增长快慢.①列表x0 1 2 3 4 y=2x1 2 4 8 16 y=x2 0 1 4 9 16 x5 6 7 8 … y=2x32 64 128 256 … y=x2 25 36 49 64 … ②作图③结论x∈(0，2)时2x＞x2，x∈(2，4)时，2x＜x2，x∈时2x＞x2 由特殊到一般探究规律
巩固练习 在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况： （1）y=0.1ex–100,x∈[1,10]；（2）y=20lnx+100,x∈[1,10]； （3）y=20x, x∈[1,10]. 三个函数图象如下：由图象可以看到，函数（1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数（3）以稳定的速率增加. 进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤.
课后作业 3.2 第一课时 习案 学生独立完成 巩固知识，培养能力
备选例题
例1 某人现在一笔资金x万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案：
第一种方案：存入银行，年利润Q1? = 0.018x；
第二种方案：借给朋友投资，年利润Q2? = 0.02x + 0.2；
第三种方案：办工厂，年利润Q3 = 0.2x2 + 2x – 35；
问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案.
(2)投资10万元，选择哪种投资方案.
【解析】 (1)投资4万元，则有：
Q1 = 0.072；Q2 = 0.28；Q3 = – 23.8，
∴Q2＞Q1＞Q3
∴选择第二种方案
(2)投资10万元，则有：Q1 = 0.18；Q2 = 0.4；Q3 = 5，
∴Q3＞Q2＞Q1，
∴选择第三种方案.
例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y(元)的关系如图所示.
（1）分别求出通话费y1， y2?与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.
【分析】（1）由图象可设y1 = k1x +29，y2 = k2x，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y1，y2得.
∴.
（2）令y1 = y2，即，则.
当x = 96时，y1 = y2，两种卡收费一致；
当x＜96时，y1＞y?2，即如意卡便宜；
当x＞96时，y1＜y2，即便民卡便宜.
【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x，y之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题.
y
y
x
O
16
如意卡
便民卡
3.2.1 （2） 几类不同增长的函数模型
（一）教学目标
1．知识与技能
利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.
2．进程与方法
在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.
3．情感、态度与价值观
在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.
（二）教学重点与难点
重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升
难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.
（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾复习引入深题 ①增函数的增长快慢比较方法：利用列表与图象，借助二分法求根，探究快慢相应区间获得一般结论. 师：幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢一般性规律.生：回顾总结，口述回答. 以旧引新导入课题
实例分析 例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？ 例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x，y = log7x + 1，y = 1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？ 师生合作探究解答过程例1 解答：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y = 40 (x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y = 10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y = 0.4×2x–1(x∈N*)进行描述.三种方案所得回报的增长情况x/天 方案一 y/元 增加量/元 1 40 2 40 0 3 40 0 4 40 0 5 40 0 6 40 0 7 40 0 8 40 0 9 40 0 10 40 0 … …… 30 40 0 x/天 方案二 y/元 增加量/元 1 10 2 20 10 3 30 10 4 40 10 5 50 10 6 60 10 7 70 10 8 80 10 9 90 10 10 100 10 … …… 30 300 10 x/天 方案三 y/元 增加量/元 1 0.4 2 0.8 .4 3 1.6 0.8 4 3.2 1.6 5 6.4 3.2 6 12.8 6.4 7 25.6 12.8 8 51.2 25.6 9 102.4 51.2 10 204.8 102.4 … … … 30 214748364.8107374182.4 再作三个函数的图象在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.例2 解答：作出函数y=5，y=0.25x，y=log7x +1，y=1.002x的图象.观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有成立.令f(x)=log7?x+1– 0.25x，x∈[10,1000] 将实际问题转化为数学问题，利用图象、表格及恰当的推理，应用不同函数的增长快慢解决实际应用问题.
巩固练习 1．四个变量y1?，y2???，y3??，y?4随变量x变化的数据如下表x 0 5 10 15 y15 130 505 1130 y2 5 94.478 1785.2 33733 y3 5 30 55 80 y4 5 2.3107 1.4295 1.1407 x 20 25 30 y12005 3130 4505 y2 6.37×105 1.2×107 2.28×108 y3 105 130 155 y4 1.0461 1.0151 1.005 关于x呈指数型函数变化的变量是 .2．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？ 1．解：y22．解：设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染，第2轮，第3轮……依次有a2台，a3?台……被感染，依题意有a5=10×204=160.答：在第5轮病毒发作时会有160万台被感染. 动手尝试提升解题能力
归纳总结 2．中学数学建模的主要步骤（1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.（2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.（3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.（4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解. （5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模. （6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤. 师生合作 反思归纳总结完善 生：通过独立思考和必要的交流，分析归纳例1、例2的解题过程，简述建模的主要步骤. 师：点评、总理学生的回答，然后完善归纳步骤. 师生合作：结合上一课时总结函数增长快慢在实际应用问题中的应用体会. 培养整理知识的学习品质.通过知识整合培养数学应用能力.
课后练习 3.2 第二课时 习案 学生独立完成 强化基础提高能力
备选例题
例1 有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.
【解析】设单位购买x台影碟机，
在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x，则总费用
在乙商场购买，费用y = 600x.
（1）当0＜x＜10时，(800x – 20x2)＞600x
∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买.
（2）当x = 10时，(800x – 20x2) = 600x
∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.
（3）当10＜x≤18时，(800x – 20x2)＜600x
∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.
（4）当x≥18时，600x＞440x
∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买.
答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.
【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.
例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：y = ax + b，y = ax2 + bx + c，y = a+ b，y = abx + c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.
由题意知A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）.
（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有，解得
所以得y=0.1x+1.
因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.
（2）设y = ax2 + bx + c，将A、B、C三点代入，有，解得，
所以y= – 0.05x2+0.35x+0.7.
因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x=3.5），不合实际.
（3）设y=+b，将A，B两点的坐标代入，有，解得，
所以y=.
因此把x = 3和4代入，分别得到y=1.35和1.48，与实际产量差距较大.
（4）设y = abx + c，将A，B，C三点的坐标代入，得，解得，
所以y= – 0.8×(0.5)x+1.4.
因此把x= 4代入得y= – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.
因此，选用y= –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.
【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.
